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解けない定積分の整数部分について~2023東工大数学を題材に~

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導入

 解けない定積分について考察する場面は多いです.入試問題であれば定積分の極限や整数部分などを考察することになるでしょうし,機械学習やベイズ推定の文脈でも考察することがあります.なんにせよ,解けない定積分は私たちの前によく現れます.今回は,2023年の東工大の数学を題材に解けない定積分,特にその整数部分について考察してみようと思います.

背景

題材

 今回,題材となる問題は以下の問題です.またlogは自然対数とします.

問題

2023 東京工業大学(前期)第1問

 実数020232x+exdxの整数部分を求めよ.

完答は中々に難しい(はず)です.解答を以下に付しておきます.

解答

 I=020232x+exdxとおく.NI<N+1なるNZを求めればよい.Iを上から評価すると
I020232exdx=2(1e2023)<2
を得るので,N=1が予想できる.以下,I1を示す.exのTaylor展開を考えると,x>0での不等式ex1+xすなわちxex1を得る.よって
I0202322ex1dx=020232ex2exdx=2log(2e2023).
ここでe2023<0.2 (e2023>23>5)ゆえ
I>2log(1.8)=log(3.24)>loge=1.
以上より1I<2がいえたのでN=1.よって求める整数部分は1

問題

 それでは,少し一般化した以下の問題を考察してみます.

一般化した問題

 実数I(a)=020232x+axdxの整数部分I(a)を求めよ.ただし,a>0とする.

まず,すぐ分かることはI(a)は単調減少であるということです.さらに(いきなりこの操作をするのは微妙ですが)lima+0I(a)=limaI(a)=0が成り立ちます.そしてI(e)=1であることが分かっています.というわけで

I(a)の整数部分について

 I(a)は任意の非負整数をとり,広義単調減少.さらに,aが大きくなるといずれI(a)=0となって以降も常にI(a)=0となる.

が成り立ちそうです.また,axは,a=1を境に単調増加と単調減少が切り替わるので
(1) 1<a
(2) 0<a1
aの値で場合分けするのがよさそうです.

考察

 以下の補題を準備します.

 以下の不等式が成立する:
I(a)2(1a2023)loga.

被積分関数の大小関係を利用する

 0x2023においてaxx+axゆえ2x+ax2ax.よってI(a)020232axdx=2(1a2023)loga

1<aのとき

e2aのとき

 補題1を用いると以下の命題が証明できます.

 ae2のとき,I(a)=0

命題1を利用する

 補題1よりI(a)2(1a2023)loga<2logaゆえae2のときI(a)<1.また,I(a)の被積分関数は常に正ゆえI(a)>0.よって0<I(a)<1だからI(a)=0

1<a<e2のとき

 a>1のときに成立する,以下の不等式を証明します.

 a>1のとき,以下の不等式が成立する:
I(a)2logloga+1a2023loga.

 ax1+(loga)xが成立する(これは微分法により示せる).よってa>1のときxax1logaが成立するので
I(a)020232ax1loga+axdx=202023axloga(loga+1)axdx=2logloga+1a2023loga.

補題3で導出した下界2logloga+1a2023logaを用いて,以下の命題が証明できます.

 ある実数ξ(1, e2)が存在して,1<aξのときI(a)1

補題3と微分法を用いる

 まず,2logloga+1a2023loga11a2023(e1)loga0である.次にf(a)=1a2023(e1)loga (定義域は 1<a<e2)とおき,f(a)0となる条件を調べる.
f(a)=(e1)a2024(2023e1a2023)
ゆえ,X:=(2023e1)12023(>1)の前後でfは正から負へ切り替わる.またlima1+0f(a)=0limae20f(a)=32ee4046<0fの連続性から,ある実数ξ(X, e2)が唯一つ存在して,1<aξのときf(a)0ξ<a<e2のときf(a)<0がわかる.
 よって補題3と合わせて,ある実数ξ(1, e2)が存在して,1<aξのときI(a)2logloga+1a2023loga1が成立する.

上記の証明でのξの最大値(つまり下界の値が1と一致し,以降1より小さくなるようなξ)が,ξと一致することに注意します.もう既に1<I(e)<2であることは分かっているので,eξが成り立つことも分かります.

0<a1のとき

 現在,いろいろ試行錯誤中です.何か結果が出たら追記します.

結論

 いろいろ計算をした結果,少なくとも次のようなことが分かりました:
I(a)={unknown(0<a<e),1(eaξ),unknown(ξ<a<e2),0(e2a).

あとがき

 私の数学力の低さにより,完全な解析解を導出することはできませんでした.おそらく数値計算で数値解をある程度見つけるしかないんでしょうかね?今回,考察しきれなかった部分は
I(a)=020232x+axdx1nk=12023n2kn+akn=:J(a,n)
と近似して,数値計算することが必要になりそうです.

投稿日:202461
更新日:202462
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  7. 0<a1のとき
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