［奇偶関数／対数の指数］積分道場#68、#83を解いてみよう

今回もやってきました、積分道場のお時間です。
今回は 第68問 と 第83問 とを一気にやってみます。

ほっほぉ～、$(-1,1)$での定積分ですか。
任意の奇関数$I$とまたもや任意の偶関数$O$に対して
${\displaystyle {}^{\mathrm{\exists }}a\in \mathbb{R};{\int }_{-a}^{a}I(x)\mathrm{d}x=0,{\int }_{-a}^{a}O(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{a}O(x)\mathrm{d}x}$
になる性質を使っていこうと思います。
奇関数は$I(-x)=-I(x)$、偶関数は$O(-x)=O(x)$となるような関数ですね。
$(-a,a)$とかじゃなくても、$(-4,7)$のように正と負をまたぐ範囲での定積分でも使えると思います。

${\displaystyle a,b>0,a<b;{\int }_{-a}^{b}I(x)\mathrm{d}x=\cancel{{\int }_{-a}^{a}I(x)\mathrm{d}x}+{\int }_a^{b}I(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}I(x)\mathrm{d}x}$
になるので、マイナスを入れなくても済む。

さて、話がそれてしまいました。やっていきましょう。
まぁこれは展開したほうがはやいかな～。

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^1(1+x+x^2{)}^2\mathrm{d}x& ={\int }_{-1}^1(1+x^2+x^4+2x^2+2x^3+2x)\mathrm{d}x\\ & =2{\int }_0^1(1+3x^2+x^4)\mathrm{d}x\\ & =2{[x+x^3+\frac{1}{5}{x}^5]}_0^1\\ & =2(1+1+\frac{1}{5})=\frac{22}{5}◼\end{array}$$

指数に$\ln$があるとそれを引き下げたくなりますよね。
底変換を使って$x$を引きずりだしてやります。
${\displaystyle \ln x=\frac{{\log }_{5}x}{{\log }_{5}e}=\ln 5{\log }_{5}x}$から$5^{\ln x}=5^{\ln 5{\log }_{5}x}=x^{\ln 5}$なので

$$\begin{array}{rl}{\int }_1^e{5}^{\ln x}\mathrm{d}x& ={\int }_1^e{x}^{\ln 5}\mathrm{d}x\\ & ={\left[\frac{1}{\ln 5+1}{x}^{1+\ln 5}\right]}_1^e\\ & =\frac{1}{\ln 5+1}(e^{1+\ln 5}-1^{1+\ln 5})\\ & =\frac{1}{\ln 5+1}(e\cdot e^{\ln 5}-1)\\ & =\frac{5e-1}{\ln 5+1}◼\end{array}$$

はい、なんかちょっと汚い形になりましたが一応問題ないと思います。
検証た～いむ。Geogebraくんよろしくです

おっ、やったね。${\displaystyle \frac{5e-1}{\ln 5+1}}$も$\approx 4.8$なので大丈夫そうです。

以上！　次の記事でお会いしましょ～。