数列の問題を解く

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今回は、青チャート新課程版に乗っていた京都薬科大学の類題の解法とその一般化について扱っていこうと思います。著作権とか大丈夫なのかな。

類　京都薬大

数列 ${x_{n}}, {y_{n}}$ を次のように定める
${(3 + 2 \sqrt{2})}^{n} = x_{n} + y_{n} \sqrt{2} (\forall n \in N, x_{n}, y_{n} \in Z)$
(1) $x_{n + 1}, y_{n + 1}$ を $x_{n}, y_{n}$ を用いて表せ。
(2) $x_{n} - y_{n} \sqrt{2}$ を $n$ で表せ。このことを用いて $x_{n}, y_{n}$ を $n$ で表せ。

それでは解法を書いていきます。
(1) ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{n + 1} = (3 + 2 \sqrt{2}) (x_{n} + y_{n} \sqrt{2})$ よって
$x_{n + 1} = 3 x_{n} + 4 y_{n} y_{n + 1} = 2 x_{n} + 3 y_{n}$ (答)
(2) (1)の漸化式より、 $x_{n + 1} - y_{n} \sqrt{2} = (3 x_{n} + 4 y_{n}) - (2 x_{n} + 3 y_{n}) \sqrt{2}$
これをいい感じに変形して(ムズカシイ)
$x_{n + 1} - y_{n + 1} \sqrt{2} = (3 - 2 \sqrt{2}) (x_{n} - y_{n} \sqrt{2})$
ここで、 $x_{n} - y_{n} \sqrt{2}$ を一つの数列としてみると、初項1、公比 $3 - 2 \sqrt{2}$
の等比数列としてみることができるので、 $x_{n} - y_{n} \sqrt{2} = {(3 - 2 \sqrt{2})}^{n}$
このことと、問題文より
$x_{n} = \frac{1}{2} {{(3 + 2 \sqrt{2})}^{n} + {(3 - 2 \sqrt{2})}^{n}}$

$y_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} {{(3 + 2 \sqrt{2})}^{n} - {(3 - 2 \sqrt{2})}^{n}}$

本題　一般化

数列 $x_{n}, y_{n}$ を次のように定める。
${(a + b \sqrt{c})}^{n} = x_{n} + y_{n} \sqrt{c}$

STEP 1 漸化式を求める
${(a + b \sqrt{c})}^{n + 1} = x_{n + 1} + y_{n + 1} \sqrt{c}$
${(a + b \sqrt{c})}^{n + 1} = (a + b \sqrt{c}) (x_{n} + y_{n} \sqrt{c})$
この二つの式を係数比較して、 $x_{n + 1} = a x_{n} + b c \cdot y_{n}, y_{n + 1} = b \cdot x_{n} + a \cdot y_{n}$
ここまでは簡単ですね。
STEP 2 どうにかする
STEP1より、 $x_{n + 1} = a x_{n} + b c \cdot y_{n}, y_{n + 1} = b \cdot x_{n} + a \cdot y_{n}$
という連立2項間漸化式が得られたのでした。ここでは3項間漸化式に帰着させて解くという方法があります。導出してみましょう。
$x_{n + 1} = a x_{n} + b c \cdot y_{n}$ より、 $y_{n} = \frac{x_{n + 1} - a x_{n}}{b c}$ また、 $x_{n + 2} = a x_{n + 1} + b c \cdot y_{n + 1}$
これらをいい感じに組み合わせて
$x_{n + 2} = a x_{n + 1} + b c (b \cdot x_{n} + a \cdot \frac{x_{n + 1} - a x_{n}}{b c})$
$x_{n + 2} = 2 a x_{n + 1} + (b^{2} c - a^{2}) x_{n}$
この数列の特性方程式は、 $t^{2} = 2 a t + (b^{2} c - a^{2})$
これを解こうとして $(t - a)^{2} = b^{2} c - a^{2} + a$
よって $t = a \pm \sqrt{b^{2} c - a^{2} + a}$
視界がごちゃごちゃにならないように、この2解を $α, β (α \leq β)$ とさせていただく。
(もちろん、根号の中身は0以上であることは前提である。そのためには、 $a^{2} - a < b^{2} c$ であるべきである。)
よって、
$x_{n + 2} - α x_{n + 1} = β (x_{n + 1} - α x_{n})$
$x_{n + 2} - β x_{n + 1} = α (x_{n + 1} - β x_{n})$
ゆえに数列 ${x_{n + 1} - α x_{n}}$ は、初項 $a^{2} + b^{2} c - α a$ で公比が $β$ の等比数列としてみることが出来るので、一般項 $x_{n + 1} - α x_{n}$ は $x_{n + 1} - α x_{n} = (a^{2} + b^{2} c - α a) β^{n}$ ①
同様にして、数列 ${x_{n + 1} - β x_{n}}$ は初項 $2 a b$ 公比 $α$ の等比数列としてみなせるので、一般項 $x_{n + 1} - β x_{n}$ は $x_{n + 1} - β x_{n} = 2 a b α^{n}$ ②(意外と綺麗?)
①-②より $(α - β) x_{n} = (a^{2} + b^{2} c - α a) β^{n} - 2 a b α^{n}$
ここで、 $α, β$ はそれぞれ $α = a - \sqrt{b^{2} c - a^{2} + a}, β = a + \sqrt{b^{2} c - a^{2} + a}$ であるので、左辺の $α - β = - 2 \sqrt{b^{2} c - a^{2} + a}$ よって、 $x_{n} = - \frac{{a^{2} + b^{2} c - (a - \sqrt{b^{2} c - a^{2} + a})} (a + \sqrt{b^{2} c - a^{2} + a})^{n} + 2 a b (a - \sqrt{b^{2} c - a^{2} + a})^{n}}{2 \sqrt{b^{2} c - a^{2} + a}}$
ﾊｧ????汚いにもほどがある。
それでは重すぎる腰をあげて $y_{n}$ についてもやっていきましょう。
$x_{n}$ と同様に3項間漸化式に帰着させてみましょう。
$x_{n + 1} = a x_{n} + b c \cdot y_{n}, y_{n + 1} = b \cdot x_{n} + a \cdot y_{n}$ であるから
$x_{n} = \frac{y_{n + 1} - a y_{n}}{b}$ まだ多少は綺麗ですね
これらをいい感じに組み合わせて
$y_{n + 2} = a y_{n + 1} + (b^{2} c - a^{2} + a) y_{n}$
特性方程式は、 $t^{2} - a t - (b^{2} c - a^{2} + a) = 0$ これを解いて
$t = \frac{a \pm \sqrt{a^{2} + 4 (b^{2} c - a^{2} + a)}}{2}$
ここで、この2解を $ε, δ$ と置く( $ε \leq δ$ )
そうすると $x_{n}$ の時と同様に
$y_{n + 2} - ε y_{n + 1} = δ (y_{n + 1} - ε y_{n})$
$y_{n + 2} - δ y_{n + 2} = ε (y_{n + 1} - δ y_{n})$
の2式が立つ。よって数列 ${y_{n + 1} - δ y_{n}}$ と ${y_{n + 1} - ε y_{n}}$ はそれぞれ初項が $2 a b - δ b$ と $2 a b - ε b$ で公比が $ε, δ$ の等比数列とみなすことが出来るので、それぞれの一般項は