自作問題あなぐら 5（すこし面倒にした確率漸化式）

(1) $S_n$を4で割った余りが1，3となる確率をそれぞれ$r_n$，$s_n$とおく．$X_n$を4で割った余りを考えると
$$ X_n = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \qquad \text{に対してそれぞれ} \qquad X_n \equiv 1,\ 2,\ 3,\ 0,\ 1,\ 2 $$
となる．状態推移を考えると
\begin{align} p_{n+1} &= \frac{1}{6} p_n + \frac{2}{6} q_n + \frac{1}{6} r_n + \frac{2}{6} s_n, \\ q_{n+1} &= \frac{2}{6} p_n + \frac{1}{6} q_n + \frac{2}{6} r_n + \frac{1}{6} s_n, \\ r_{n+1} &= \frac{2}{6} p_n + \frac{1}{6} q_n + \frac{1}{6} r_n + \frac{2}{6} s_n, \\ s_{n+1} &= \frac{1}{6} p_n + \frac{2}{6} q_n + \frac{2}{6} r_n + \frac{1}{6} s_n. \end{align}
第1・2式の差をとって$a_{n+1} = - \dfrac{1}{6} a_n - \dfrac{1}{6} (r_n - s_n)$．第3・4式の差をとって$r_{n+1} - s_{n+1} = \dfrac{1}{6} a_n - \dfrac{1}{6} (r_n - s_n)$．よって前者から$r_n - s_n = -6 a_{n+1} - a_n$を得て，これを$r_{n+1} - s_{n+1} = \dfrac{1}{6} a_n - \dfrac{1}{6} (r_n - s_n)$に用いると
$$ -6 a_{n+2} - a_{n+1} = \frac{1}{6} a_n - \frac{1}{6} (-6 a_{n+1} - a_n). $$
よって
$$ a_{n+2} = - \frac{1}{3} a_{n+1} - \frac{1}{18} a_n. $$
(2) 2次方程式$\lambda^2 = - \dfrac{1}{3} \lambda - \dfrac{1}{18}$の解を$\alpha = \dfrac{-1+i}{6}$，$\beta = \dfrac{-1-i}{6}$とおく．すると(1)で求めた$a_n$の漸化式は
\begin{align} a_{n+2} - \alpha a_{n+1} &= \beta (a_{n+1} - \alpha a_n), \\ a_{n+2} - \beta a_{n+1} &= \alpha (a_{n+1} - \beta a_n) \end{align}
と変形できる．$p_1 = \dfrac{1}{6}$，$q_1 = \dfrac{2}{6}$，$r_1 = \dfrac{2}{6}$，$s_1 = \dfrac{1}{6}$であり，ここから$p_2 = q_2 = \dfrac{1}{4}$を得て$a_1 = - \dfrac{1}{6}$，$a_2 = 0$がわかる．したがって
\begin{align} a_{n+1} - \alpha a_{n} &= \beta^{n-1} (a_{2} - \alpha a_1) = \frac{-1+i}{36} \beta^{n-1}, \\ a_{n+1} - \beta a_{n} &= \alpha^{n-1} (a_{2} - \beta a_1) = \frac{-1-i}{36} \alpha^{n-1}. \end{align}
辺々差をとって計算すると$a_n = p_n - q_n = \dfrac{\alpha^n + \beta^n}{2}$を得る．
　次に$p_n + q_n$を求める．全確率の和は1ゆえ$p_n + q_n + r_n + s_n = 1$．(1)の議論より
$$ p_{n+1} + q_{n+1} = \frac{p_n + q_n + r_n + s_n}{2} = \frac{1}{2}. $$
$p_1 = \dfrac{1}{6}$，$q_1 = \dfrac{2}{6}$と合わせて，全ての自然数$n$に対して$p_n + q_n = \dfrac{1}{2}$が成立．
　以上，$p_n = \dfrac{(p_n + q_n) + (p_n - q_n)}{2}$ゆえ
$$ p_n = \frac{1}{4} \left\{1 + \left(\frac{-1+i}{6}\right)^n + \left(\frac{-1-i}{6}\right)^n\right\}. $$