Legendre多項式の変数付きの拡張について

$(a)_n:=\prod_{k=0}^{n-1}(a+k), \beta_n:=\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}$とする. この記事において, $\beta_n$が入った級数に関して良い拡張を与えることを考える. まず, 一般二項定理から,
\begin{align*} (1-x)^{-a}=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}x^n \end{align*}
が成り立ち, その特別な場合として
\begin{align*} \frac 1{\sqrt{1-x}}=\sum_{0\leq n}\beta_nx^n \end{align*}
を得る. ここで,
\begin{align*} (1-x)^{-a}=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}x^n \end{align*}
は$\frac 1{\sqrt{1-x}}$における$\beta_n$が$[a]_n:=\frac{(a)_n}{n!}$に置き換わったものと考え, $(1-x)^{-a}$を$\frac 1{\sqrt{1-x}}$の$a$類似ということにする. つまり, 様々な等式に現れる$\beta_n$を$[a]_n$または$[1-a]_n$に置き換えて得られるようなものを$a$類似ということにする.

Legendre多項式は,
\begin{align*} P_n(x):=\sum_{k=0}^n\frac{(-n,1+n)_k}{k!^2}\left(\frac{1-x}2\right)^n \end{align*}
によって定義され,
\begin{align*} \int_{-1}^1P_n(x)P_m(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{n,m} \end{align*}
を満たす直交多項式である. ここで, $\delta_{n,m}$はKroneckerのデルタを表す.

$\rho_n(x):=P_{2n}(\sqrt x)$と定義すると, $P_{2n}(x)$は偶関数であるから, $\rho_n(x)$は$n$次の多項式であり, 微分方程式の確定特異点は$0,1,\infty$となる. 直交性は
\begin{align*} \int_0^1\rho_n(x)\rho_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{x}}=\frac 1{2n+\frac 12}\delta_{n,m} \end{align*}
となり, $\rho_n(x)$は$(0,1)$において, 完全直交系をなすことが分かる. 積分
\begin{align*} \int_0^1\frac{\rho_n(x)}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx=\pi\beta_n^2 \end{align*}
を計算することによって, 関数$\frac 1{\sqrt{1-x}}$は区間$(0,1)$において, 以下のようにFourier-Legendre展開される.
\begin{align*} \sum_{0\leq n}\beta_nx^n=\frac 1{\sqrt{1-x}}&=\pi\sum_{0\leq n}\left(2n+\frac 12\right)\beta_n^2\rho_n(x) \end{align*}
$\rho_n$の$a$類似を考える. まず, $\rho_n$は次のような超幾何関数による表示を持つ.

\begin{align*} \rho_n(x)=(-1)^n\beta_n\sum_{k=0}^n\frac{\left(-n,\frac 12+n\right)_k}{k!\left(\frac 12\right)_k}x^k \end{align*}
ここにおいて現れる$\frac 12$の部分を全て$a$に置き換えることによって, Legendre多項式の$a$類似としての$a$-Legendre多項式が
\begin{align*} \rho_n^{(a)}(x):=(-1)^n[a]_n\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+n)_k}{k!(a)_k}x^k \end{align*}
として定義できる. このとき, $\rho_n$がJacobi多項式の特別な場合になっていることから, 以下が成立する.

さらに, 以下の積分が成り立つこともGaussの超幾何定理などを用いた計算によって示される.

これらを合わせると, $a$-Fourier-Legendre展開
\begin{align*} \sum_{0\leq n}[a]_nx^n=(1-x)^{-a}&=\pi_a\sum_{0\leq n}\left(2n+a\right)[a]_n^2\rho_n^{(a)}(x) \end{align*}
を得ることができる. このように, $\beta_n$が入った級数が$a$類似にどこまで一般化できるのかは興味深い研究課題だと思っているので, これからも考えていきたいと思う.