東大寺学園数学研究部　懸賞問題2025　４と11の解説

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去年9月に行われた東大寺学園の文化祭で、数学研究部の懸賞問題に2問自作問題を提供（？）したのでそれの答えを書いておきます。

問題

$4$番

$3$つの三角形 $A_1B_1C_1$、$A_2B_2C_2$、$A_3B_3C_3$ において、
$B_1C_1＝B_2C_2＝B_3C_3$
$∠B_1A_1C_1+∠B_2A_2C_2+∠B_3A_3C_3＝90°$
$∠B_1C_1A_1＝∠B_2C_2A_2＝∠B_3C_3A_3＝90°$
$A_1C_1＝4,A_2C_2＝5,A_3C_3＝7$
が成り立ちました。これら$3$つの三角形の面積の和を求めてください。

（略記）

それぞれの三角形を$2$個ずつ用意し、うまく貼り合わせることで$3$辺の長さがそれぞれ$4+5、5+7、7+4$であるような大きな三角形を作ることができる。この大きな三角形の面積はヘロンの公式より$8\sqrt{35}$であるから、求めたい面積の和は$4\sqrt{35}$とわかる。
画像の名前

（丁寧）

$A_1B_1C_1$、$A_2B_2C_2$ を二個ずつ下図のように貼り合わせる。
画像の名前
すると $\triangle D_1C_1B_1 \equiv \triangle D_1C_2B_2 \equiv \triangle A_3C_3B_3$
がわかる。あとは略記と同様。

$11$番

三角形 $ABC$ において、
直線 $BC$ 上に $A_1,A_2$ を $A_1BCA_2$ の順に $A_1B＝BC＝CA_2$ を満たすようにとり、
直線 $CA$ 上に $B_1,B_2$ を $B_1ACB_2$ の順に $A_1B＝BC＝CA_2$ を満たすようにとり、
直線 $AB$ 上に $C_1,C_2$ を $C_1BAC_2$ の順に $A_1B＝BC＝CA_2$ を満たすようにとると、三角形 $A_1B_1C_1$ と三角形 $A_2B_2C_2$ の外接円どうしの$2$交点と点 $A$ は同一直線上にあることを示せ。
画像の名前

三角形 $A_1B_1C_1$ の外接円を $\omega_1$、三角形 $A_2B_2C_2$ の外接円を $\omega_2$ とする。$A$ が $\omega_1$ と $\omega_2$ の根軸上にあることを示せばよいから、$\omega_1$ と $\omega_2$ の $A$ の方べきが等しいことを示す。
$\omega_1$ と直線 $AC_1$ の交点を $D$、$\omega_2$ と直線 $AC_2$ の交点を $E$ とする。
$B_1A_1 // AC_1$、$C_1A_1 // AB_1$、$C_2A_2 // AB_2$、$B_2A_2 // AC_2$
より、$∠AB_1A_1＝∠A_1C_1A＝∠BAC＝∠A_2B_2A＝∠EC_2A_2$
よって、$∠DB_1A＝180°－2∠BAC＝∠AB_2E$
また、$∠DAB＝∠EAB_2$ だから、
$\triangle AB_1D \backsim \triangle AB_2E$ であり、相似比は $1:2$
$DA \times C_1A ＝ EA \times C_2A$ となり、$\omega_1$ と $\omega_2$ の $A$ の方べきが等しいことがわかる。よって示された。