東大寺学園数学研究部　懸賞問題2025　４と11の解説

去年9月に行われた東大寺学園の文化祭で、数学研究部の懸賞問題に2問自作問題を提供（？）したのでそれの答えを書いておきます。

問題

4番

3つの三角形A₁B₁C₁、A₂B₂C₂、A₃B₃C₃において、
B₁C₁＝B₂C₂＝B₃C₃
∠B₁A₁C₁＋∠B₂A₂C₂＋∠B₃A₃C₃＝90°
∠B₁C₁A₁＝∠B₂C₂A₂＝∠B₃C₃A₃＝90°
A₁C₁＝4,A₂C₂＝5,A₃C₃＝7
が成り立ちました。これら3つの三角形の面積の和を求めてください。

（略記）

それぞれの三角形を2個ずつ用意し、うまく貼り合わせることで3辺の長さがそれぞれ4＋5、5＋7、7＋5であるような大きな三角形を作ることができる。この大きな三角形の面積はヘロンの公式より8√35であるから、求めたい面積の和は4√35とわかる。
略記

（丁寧）

A₁B₁C₁、A₂B₂C₂を二個ずつ下図のように貼り合わせる。
丁寧
すると$\triangle$D₁C₁B₁$\equiv$$\triangle$D₁C₂B₂$\equiv$$\triangle$A₃C₃B₃
がわかる。あとは略記と同様。

11番

三角形ABCにおいて、
直線BC上にA₁、A₂をA₁BCA₂の順にA₁B＝BC＝CA₂を満たすようにとり、
直線CA上にB₁、B₂をB₁ACB₂の順にA₁B＝BC＝CA₂を満たすようにとり、
直線AB上にC₁、C₂をC₁BAC₂の順にA₁B＝BC＝CA₂を満たすようにとると、三角形Ａ₁Ｂ₁Ｃ₁と三角形Ａ₂Ｂ₂Ｃ₂の外接円どうしの2交点と点Ａは同一直線上にあることを示せ。
にもんめ

三角形Ａ₁Ｂ₁Ｃ₁の外接円をω₁、三角形Ａ₂Ｂ₂Ｃ₂の外接円をω₂とする。Ａがω₁とω₂の根軸上にあることを示せばよいから、ω₁とω₂のＡの方べきが等しいことを示す。
ω₁と直線ＡＣ₁の交点をＤ、ω₂と直線ＡＣ₂の交点をＥとする
Ｂ₁Ａ₁//ＡＣ₁、　Ｃ₁Ａ₁//ＡＢ₁、　Ｃ₂Ａ₂//ＡＢ₂、　Ｂ₂Ａ₂//ＡＣ₂
より、∠ＡＢ₁Ａ₁＝∠Ａ₁Ｃ₁Ａ＝∠ＢＡＣ＝∠Ａ₂Ｂ₂Ａ＝∠ＥＣ₂Ａ₂

よって、∠ＤＢ₁Ａ＝180°－２∠ＢＡＣ＝∠ＡＢ₂Ｅ
また、∠ＤＡＢ＝∠ＥＡＢ₂だから、
$\triangle$ＡＢ₁Ｄ$\backsim$$\triangle$ＡＢ₂Ｅであり、相似比は1：2
ＤＡ×Ｃ₁Ａ＝ＥＡ×Ｃ₂Ａとなり、ω₁とω₂のＡの方べきが等しいことがわかる。よって示された。