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arcsin絡みの級数

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目次

・はじめに
・内容
・最後に

はじめに

どうも、色数です。
今回はarcsinxや反復ベータ積分などを用いて級数を解いていきます。
1番大変な積分は数楽さんに解いていただきました。ありがとうございます。
証明などを共有する意図で記事を書いているわけではないのでおおまかな流れ以外は割愛します。

内容

arcsinkxの級数展開

arcsin2r1x=(2r1)!22r10<n1<<nr22nrn12nr12nr(2nrnr)x2nr11x2

arcsin2rx=(2r)!22r0<n1<<nr22nrn12nr2(2nrnr)x2nr

証明のスケッチ

arcsin3x=60xdt31t320t3dt21t220t2dt11t1=30xarcsin2t31t32dt3=32n=122nn2(2nn)0xt32n1t32dt3=32n=122nn2(2nn)(2nn)22nn<m22m2m(2mm)x2m11x2=340<n1<n222n2n12n2(2n2n2)x2n211x2

arcsin4x=40xarcsin3t1t2dt=30<n1<n222n2n12n2(2n2n2)0xt2n21dt2=30<n1<n222n22n12n22(2n2n2)x2n2
arcsin5x=50xarcsin4t1t2dt=1520<n1<n222n2n12n22(2n2n2)0xt2n21t2dt=1540<n1<n2<n322n3n12n22n3(2n3n3)x2n311x2

0<n1<n21n12n2(2n2n2)=π31623
0<n1<n2<n31n12n22n3(2n3n3)=π5291603

一般にR({2}r,1)が求まります。

1/β,βの級数間の関係式

0<n1<<nr22nrn12nr12nr(2nrnr)x2nr11x2=0n1<<nr(2nrnr)22nr(n1+12)2(nr1+12)2(nr+12)x2nr+1

メモ

01t2r1arcsin2tdt=[t2r2rarcsin2t]0101t2rarcsintr1t2dt=π28r[(2rr)r22rr<m22mt2m11t22m(2mm)arcsint]01+(2rr)r22rr<m22m2m(2mm)01t2m1dt=π28r(2rr)r22rr<m22m4m2(2mm)
01arcsin2tarctanhtdt=n=112n101t2n1arcsin2tdt=π28n=11(2n1)n+140<n1<n2122n12n2n12n22(2n1n1)(2n2n2)120<n1<n2122n12n2(2n11)n22(2n1n1)(2n2n2)=π24ln2+140<n1<n2122n12n2n12n22(2n1n1)(2n2n2)120<n1<n2122n12n2(2n11)n22(2n1n1)(2n2n2)
140<n1<n2122n12n2n12n22(2n1n1)(2n2n2)120<n1<n2122n12n2(2n11)n22(2n1n1)(2n2n2)=78ζ(3)2ln2+14π2ln2π24
01arcsin2ttanh1tdt=n=112n101t2n1arcsin2tdt=12n=112n1m=122mm2(2mm)01t2m+2n1dt=120<n,m22m(2n1)(2n+2m)m2(2mm)

78ζ(3)2ln2+12π2ln2π24=120<n,m22m(2n1)(2n+2m)m2(2mm)=π24ln2+140<n1<n2122n12n2n12n22(2n1n1)(2n2n2)120<n1<n2122n12n2(2n11)n22(2n1n1)(2n2n2)

01t2r1arcsin3tdt=[t2r2rarcsin3t]01301t2r2rarcsin2t1t2=π316r32r[r<m22mt2m11t22m(2mm)arcsin2t]01+34rr<m0122mt2m11t2m(2mm)arcsin2tdt=π316r+34rr<m22mm(2mm)([(t2m2m1t2+12m22m+22(m+1)(2m+2m+1)m+1n22nt2n11t22n(2nn))arcsin2t]01201(t2m2m1t2+12m22m+22(m+1)(2m+2m+1)m+1n22nt2n11t22n(2nn))arcsint1t2dt)=π316r34rr<m22mm2(2mm)(01t2marcsintdt+22m+22(m+1)(2m+2m+1)m+1n22n2n(2nn)01t2n1arcsintdt)=π316r34rr<m22mm2(2mm)(π4m+212m+122m+22(m+1)(2m+2m+1)+22m+22(m+1)(2m+2m+1)m<n22n2n(2nn)π4(1n(2nn)n22n))

3π8m=112m10<n1<n222n2n12n2(2n2n2)(2n2+mn2+m)22n2+2m=0<n1<n2<n312n11(π316n134n122n2n22(2n2n2)(π4n2+212n2+122n2+22(n2+1)(2n2+2n2+1)+22n2+22(n2+1)(2n2+2n2+1)22n32n3(2n3n3)π4(1n3(2n3n3)n322n3)))

最後に

うん、反復ベータ積分凄い。

投稿日:2024619
更新日:2024619
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