arcsin絡みの級数

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はじめに

どうも、色数です。
今回は $\arcsin x$ や反復ベータ積分などを用いて級数を解いていきます。
1番大変な積分は数楽さんに解いていただきました。ありがとうございます。
証明などを共有する意図で記事を書いているわけではないのでおおまかな流れ以外は割愛します。

内容

\arcsin^{k} x

の級数展開

$\arcsin^{2 r - 1} x = \frac{(2 r - 1)!}{2^{2 r - 1}} \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{2^{2 n_{r}}}{n_{1}^{2} \dots n_{r - 1}^{2} n_{r} (\binom{2 n_{r}}{n_{r}})} x^{2 n_{r} - 1} \sqrt{1 - x^{2}}$

$\arcsin^{2 r} x = \frac{(2 r)!}{2^{2 r}} \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{2^{2 n_{r}}}{n_{1}^{2} \dots n_{r}^{2} (\binom{2 n_{r}}{n_{r}})} x^{2 n_{r}}$

証明のスケッチ

$\begin{aligned} \arcsin^{3} x & = 6 \int_{0}^{x} \frac{d t_{3}}{\sqrt{1 - t_{3}^{2}}} \int_{0}^{t_{3}} \frac{d t_{2}}{\sqrt{1 - t_{2}^{2}}} \int_{0}^{t_{2}} \frac{d t_{1}}{\sqrt{1 - t_{1}}} \\ = 3 \int_{0}^{x} \frac{\arcsin^{2} t_{3}}{\sqrt{1 - t_{3}^{2}}} d t_{3} \\ = \frac{3}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{2 n}}{n^{2} (\binom{2 n}{n})} \int_{0}^{x} \frac{t_{3}^{2 n}}{\sqrt{1 - t_{3}^{2}}} d t_{3} \\ = \frac{3}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{2 n}}{n^{2} (\binom{2 n}{n})} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} \sum_{n < m} \frac{2^{2 m}}{2 m (\binom{2 m}{m})} x^{2 m - 1} \sqrt{1 - x^{2}} \\ = \frac{3}{4} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{2^{2 n_{2}}}{n_{1}^{2} n_{2} (\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} x^{2 n_{2} - 1} \sqrt{1 - x^{2}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \arcsin^{4} x & = 4 \int_{0}^{x} \frac{\arcsin^{3} t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t \\ = 3 \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{2^{2 n_{2}}}{n_{1}^{2} n_{2} (\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} \int_{0}^{x} t^{2 n_{2} - 1} d t_{2} \\ = 3 \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{2^{2 n_{2}}}{2 n_{1}^{2} n_{2}^{2} (\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} x^{2 n_{2}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \arcsin^{5} x & = 5 \int_{0}^{x} \frac{\arcsin^{4} t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t \\ = \frac{15}{2} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{2^{2 n_{2}}}{n_{1}^{2} n_{2}^{2} (\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} \int_{0}^{x} \frac{t^{2 n_{2}}}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t \\ = \frac{15}{4} \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < n_{3}} \frac{2^{2 n_{3}}}{n_{1}^{2} n_{2}^{2} n_{3} (\binom{2 n_{3}}{n_{3}})} x^{2 n_{3} - 1} \sqrt{1 - x^{2}} \end{aligned}$

$\sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2} (\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} = \frac{π^{3}}{162 \sqrt{3}}$
$\sum_{0 < n_{1} < n_{2} < n_{3}} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{2} n_{3} (\binom{2 n_{3}}{n_{3}})} = \frac{π^{5}}{29160 \sqrt{3}}$
$⋮$

一般に $R ({2}^{r}, 1)$ が求まります。

1 / β, β

の級数間の関係式

$\sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{2^{2 n_{r}}}{n_{1}^{2} \dots n_{r - 1}^{2} n_{r} (\binom{2 n_{r}}{n_{r}})} x^{2 n_{r} - 1} \sqrt{1 - x^{2}} = \sum_{0 \leq n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{(\binom{2 n_{r}}{n_{r}})}{2^{2 n_{r}} (n_{1} + \frac{1}{2})^{2} \dots (n_{r - 1} + \frac{1}{2})^{2} (n_{r} + \frac{1}{2})} x^{2 n_{r} + 1}$

メモ

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} t^{2 r - 1} \arcsin^{2} t d t & = {[\frac{t^{2 r}}{2 r} \arcsin^{2} t]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{t^{2 r} \arcsin t}{r \sqrt{1 - t^{2}}} d t \\ = \frac{π^{2}}{8 r} - {[\frac{(\binom{2 r}{r})}{r 2^{2 r}} \sum_{r < m} \frac{2^{2 m} t^{2 m - 1} \sqrt{1 - t^{2}}}{2 m (\binom{2 m}{m})} \arcsin t]}_{0}^{1} + \frac{(\binom{2 r}{r})}{r 2^{2 r}} \sum_{r < m} \frac{2^{2 m}}{2 m (\binom{2 m}{m})} \int_{0}^{1} t^{2 m - 1} d t \\ = \frac{π^{2}}{8 r} - \frac{(\binom{2 r}{r})}{r 2^{2 r}} \sum_{r < m} \frac{2^{2 m}}{4 m^{2} (\binom{2 m}{m})} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \arcsin^{2} t arctanh t d t & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n - 1} \int_{0}^{1} t^{2 n - 1} \arcsin^{2} t d t \\ = \frac{π^{2}}{8} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 n - 1) n} + \frac{1}{4} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{2^{2 n_{1} - 2 n_{2}} n_{1}^{2} n_{2}^{2}} \frac{(\binom{2 n_{1}}{n_{1}})}{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} - \frac{1}{2} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{2^{2 n_{1} - 2 n_{2}} (2 n_{1} - 1) n_{2}^{2}} \frac{(\binom{2 n_{1}}{n_{1}})}{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} \\ = \frac{π^{2}}{4} \ln 2 + \frac{1}{4} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{2^{2 n_{1} - 2 n_{2}} n_{1}^{2} n_{2}^{2}} \frac{(\binom{2 n_{1}}{n_{1}})}{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} - \frac{1}{2} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{2^{2 n_{1} - 2 n_{2}} (2 n_{1} - 1) n_{2}^{2}} \frac{(\binom{2 n_{1}}{n_{1}})}{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} \end{aligned}$
$\frac{1}{4} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{2^{2 n_{1} - 2 n_{2}} n_{1}^{2} n_{2}^{2}} \frac{(\binom{2 n_{1}}{n_{1}})}{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} - \frac{1}{2} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{2^{2 n_{1} - 2 n_{2}} (2 n_{1} - 1) n_{2}^{2}} \frac{(\binom{2 n_{1}}{n_{1}})}{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} = \frac{7}{8} ζ (3) - 2 \ln 2 + \frac{1}{4} π^{2} \ln 2 - \frac{π^{2}}{4}$
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \arcsin^{2} t \tanh^{- 1} t d t & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n - 1} \int_{0}^{1} t^{2 n - 1} \arcsin^{2} t d t \\ = \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n - 1} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{2^{2 m}}{m^{2} (\binom{2 m}{m})} \int_{0}^{1} t^{2 m + 2 n - 1} d t \\ = \frac{1}{2} \sum_{0 < n, m} \frac{2^{2 m}}{(2 n - 1) (2 n + 2 m) m^{2} (\binom{2 m}{m})} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{7}{8} ζ (3) - 2 \ln 2 + \frac{1}{2} π^{2} \ln 2 - \frac{π^{2}}{4} & = \frac{1}{2} \sum_{0 < n, m} \frac{2^{2 m}}{(2 n - 1) (2 n + 2 m) m^{2} (\binom{2 m}{m})} \\ = \frac{π^{2}}{4} \ln 2 + \frac{1}{4} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{2^{2 n_{1} - 2 n_{2}} n_{1}^{2} n_{2}^{2}} \frac{(\binom{2 n_{1}}{n_{1}})}{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} - \frac{1}{2} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{2^{2 n_{1} - 2 n_{2}} (2 n_{1} - 1) n_{2}^{2}} \frac{(\binom{2 n_{1}}{n_{1}})}{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} t^{2 r - 1} \arcsin^{3} t d t & = {[\frac{t^{2 r}}{2 r} \arcsin^{3} t]}_{0}^{1} - 3 \int_{0}^{1} \frac{t^{2 r}}{2 r} \frac{\arcsin^{2} t}{\sqrt{1 - t^{2}}} \\ = \frac{π^{3}}{16 r} - \frac{3}{2 r} {[\sum_{r < m} \frac{2^{2 m} t^{2 m - 1} \sqrt{1 - t^{2}}}{2 m (\binom{2 m}{m})} \arcsin^{2} t]}_{0}^{1} + \frac{3}{4 r} \sum_{r < m} \int_{0}^{1} \frac{2^{2 m} t^{2 m - 1} \sqrt{1 - t^{2}}}{m (\binom{2 m}{m})} \arcsin^{2} t d t \\ = \frac{π^{3}}{16 r} + \frac{3}{4 r} \sum_{r < m} \frac{2^{2 m}}{m (\binom{2 m}{m})} ({[(\frac{t^{2 m}}{2 m} \sqrt{1 - t^{2}} + \frac{1}{2 m} \frac{2^{2 m + 2}}{2 (m + 1) (\binom{2 m + 2}{m + 1})} \sum_{m + 1 \leq n} \frac{2^{2 n} t^{2 n - 1} \sqrt{1 - t^{2}}}{2 n (\binom{2 n}{n})}) \arcsin^{2} t]}_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} (\frac{t^{2 m}}{2 m} \sqrt{1 - t^{2}} + \frac{1}{2 m} \frac{2^{2 m + 2}}{2 (m + 1) (\binom{2 m + 2}{m + 1})} \sum_{m + 1 \leq n} \frac{2^{2 n} t^{2 n - 1} \sqrt{1 - t^{2}}}{2 n (\binom{2 n}{n})}) \frac{\arcsin t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t) \\ = \frac{π^{3}}{16 r} - \frac{3}{4 r} \sum_{r < m} \frac{2^{2 m}}{m^{2} (\binom{2 m}{m})} (\int_{0}^{1} t^{2 m} \arcsin t d t + \frac{2^{2 m + 2}}{2 (m + 1) (\binom{2 m + 2}{m + 1})} \sum_{m + 1 \leq n} \frac{2^{2 n}}{2 n (\binom{2 n}{n})} \int_{0}^{1} t^{2 n - 1} \arcsin t d t) \\ = \frac{π^{3}}{16 r} - \frac{3}{4 r} \sum_{r < m} \frac{2^{2 m}}{m^{2} (\binom{2 m}{m})} (\frac{π}{4 m + 2} - \frac{1}{2 m + 1} \frac{2^{2 m + 2}}{2 (m + 1) (\binom{2 m + 2}{m + 1})} + \frac{2^{2 m + 2}}{2 (m + 1) (\binom{2 m + 2}{m + 1})} \sum_{m < n} \frac{2^{2 n}}{2 n (\binom{2 n}{n})} \frac{π}{4} (\frac{1}{n} - \frac{(\binom{2 n}{n})}{n 2^{2 n}})) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{3 π}{8} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{2 m - 1} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{2^{2 n_{2}}}{n_{1}^{2} n_{2} (\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} \frac{(\binom{2 n_{2} + m}{n_{2} + m})}{2^{2 n_{2} + 2 m}} & = \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < n_{3}} \frac{1}{2 n_{1} - 1} (\frac{π^{3}}{16 n_{1}} - \frac{3}{4 n_{1}} \frac{2^{2 n_{2}}}{n_{2}^{2} (\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} (\frac{π}{4 n_{2} + 2} - \frac{1}{2 n_{2} + 1} \frac{2^{2 n_{2} + 2}}{2 (n_{2} + 1) (\binom{2 n_{2} + 2}{n_{2} + 1})} + \frac{2^{2 n_{2} + 2}}{2 (n_{2} + 1) (\binom{2 n_{2} + 2}{n_{2} + 1})} \frac{2^{2 n_{3}}}{2 n_{3} (\binom{2 n_{3}}{n_{3}})} \frac{π}{4} (\frac{1}{n_{3}} - \frac{(\binom{2 n_{3}}{n_{3}})}{n_{3} 2^{2 n_{3}}}))) \end{aligned}$

最後に

うん、反復ベータ積分凄い。

投稿日：2024年6月19日

更新日：2024年6月19日

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