テトレーションを微分しよう

こ҈҉ん҈҉に҈҉ち҈҉は҈҉〜

久しぶりに数学をしようかな〜〜〜。というわけで今日はテトレーション${}^{x} e$について微分していきます!

テトレーションについて

テトレーションとは、加算、乗算、冪乗に続く第四の演算のことです。冪乗の繰り返しということですね。その中でもテトレーションには$2$種類あります。左結合型テトレーションと右結合型テトレーションです。

なぜ$2$種類あるのかというと、冪乗では交換法則が成り立たないからです。例えば$a^b$と$b^a$は区別されます。前述したようにテトレーションは冪乗の繰り返しですから、$2$つの流派ができてしまうわけです。

左結合型と右結合型の違い

左結合型は$${}^{b}a=(((a^a)^a)^a)^{\cdots}$$
右結合型は$${}^{b}a=a^{(a^{(a^{(a^{({\cdot}^{{\cdot}^{\cdot}})})})})}$$
と表されます。どちらも$a$が$b$個あります。底が$2$の場合、次の表のようになります。

右結合型の方が左結合型よりも増加が速いですね!このようにテトレーションといえば増加が速い右結合型を指すことが多いです。

微分について

意外かもしれませんが、実は微分にも種類がありまして〜〜〜、今回は普通の微分と乗法的微分について計算していきます。
乗法的微分とは、普通の微分が
$$f'(x)= \lim_{n \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$に対し、
$$f^*(x)= \lim_{n \to 0}(\frac{f(x+h)}{f(x)})^{1/h}$$
と表せる微分のことです。普通の微分がどれだけ増えるかを表しているのに対し、乗法的微分はどれだけ倍になっているかを表しているわけですね。

微分してみよう

今回は左結合型を使って微分していきます。理由はあとで分かります。

普通の微分

$f(x)={}^{x} e$とすると、
$x=1$なら$e$
$x=2$なら$e^e$
$x=3$なら${(e^e)}^e=e^{e^2}$
$x=4$なら${({(e^e)}^e)}=e^{e^3}$
というように、
$${}^{x} e=e^{e^{x-1}}$$です。よって、
$$f'(x)=e^{e^{x-1}}e^{x-1}$$さらに、
$$f'(x)={}^{x} e\cdot e^{x-1}$$
となります。

乗法的微分

乗法的微分では次が成り立ちます。

$${}^{x} e=e^{e^{x-1}}$$なので、
$$f^*(x)=\exp{( \frac{d}{dx}e^{x-1}})$$
$$f^*(x)=e^{e^{x-1}}$$
よって、$$f^*(x)={}^{x} e$$
なんと乗法的微分しても形が変わらないことが分かりました!
実は左結合型テトレーションは乗法的微分では、$e^x$と同じような振る舞いをします。これが今日左結合型を選んだ理由です!

𒀱おわり𒀱

いかがだったでしょうか？乗法的微分は面白いので気になったら調べてください。またミスとかあれば教えてください。ここまで読んでくださりありがとうございました！

余白

一般の底$a$について考える。

普通の微分

$f(x)={}^{x} a$とする。
底が$e$の場合と同じように、
$${}^{x} a=a^{a^{x-1}}$$が成り立つ。
$t=a^{x-1}$とおく。
$$f'(x)=\frac{df(t)}{dt}\frac{dt}{dx}$$
$$f'(x)=\frac{da^t}{dt}\frac{da^{x-1}}{dx}$$
$$f'(x)=a^ta^{x-1}(\ln(a))^2$$
$$f'(x)=a^{a^{x-1}}a^{x-1}(\ln(a))^2$$また
$$f'(x)={}^{x} a\cdot a^{x-1}(\ln(a))^2$$

乗法的微分

$$f^*(x)=\exp{( \frac{d}{dx}\ln f(x))}$$なので、
$$f^*(x)=\exp{( \frac{d}{dx}a^{x-1}\ln (a))}$$
$$f^*(x)=\exp{(a^{x-1}(\ln (a))^2)}$$
$$f^*(x)=a^{a^{x-1}\ln (a)}$$
$$f^*(x)=a^{\ln (a^{a^{x-1}})}$$また
$$f^*(x)=a^{\ln ({}^{x} a)}$$