A2数列

$A2$数列は、自然数の列と自然数の組から、自然数を計算するプロセスである。
入力$(S,n)$に対する出力$A2(S,n)$を、以下のように再帰的に定める。

1. もし$S$が空列ならば、$n$を出力し、プロセスを終了する。
2. $S=(S_1,S_2,\ldots,S_X)$とする。
3. もし$S_X = 0$ならば、出力は以下である。
   $A2(S,n) = A2((S_1,S_2,\ldots,S_{X-1}),n+1)$
4. さもなくば、以下の手順で、良い部分と悪い部分$g,b \in \mathbb{N}^{< \omega}$を決定する。
   1. 集合$R = \set{k \mid A_k \lt A_X}$を定める。
   2. もし$R$が空集合なら、以下の手順で決定する。
      1. $g$は空列とする。
      2. もし$A_X = 1$ならば、$b = (S_1,S_2,\ldots,S_X - 1)$とする。
      3. そうでないなら、$b = (S_1,S_2,\ldots,(S_X - 1)^{\times n})$とする。
   3. そうでないなら、以下の手順で決定する。
      1. 自然数$r = \max R$を定める。
      2. $g = (S_1,S_2,\ldots,S_r)$とする。
      3. もし$A_X = 1$ならば、$b = (S_{r+1},\ldots,S_X - 1)$とする。
      4. そうでないなら、$b = (S_{r+1},\ldots,(S_X - 1)^{\times n})$とする。
5. 関数$f(x) = A2(g \frown b,x)$を定める。
6. 出力は以下である。
   $A2(S,n) = (\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_n)(n)$

巨大数 $A2$数列数 を以下で定める。

1. 関数$A(n) = A2((n^{\times n},(n-1)^{\times n},\ldots,1^{\times n}),n)$を定める。
2. $A2$数列数を$A^{10^{100}}(10^{100})$と定義する。