積分 問題③
はじめに
こんにちは、ベーコンです。実は私毎日投稿をしようと思っていたのですが、一回さぼってしまったので今日は三個上げます。
この問題が私が解説を上げようと思っている問題の中で一番骨がありました。ぜひ挑戦してみてください。
問題
$$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k(\frac{k}{2n})^{2024}の値を求めよ。$$
考えたい人用空白
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解説
まずシグマの中身の$(-1)^k$が邪魔なのでシグマを分解します。
$$\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k(\frac{k}{2n})^{2024}$$
$$=\sum_{k=1}^{n}(\frac{2k}{2n})^{2024}-\sum_{k=1}^{n}(\frac{2k-1}{2n})^{2024}$$
$$=\sum_{k=1}^{n} ( (\frac{k}{n})^{2024}-(\frac{k}{n}-\frac{1}{2n})^{2024})$$
ここで平均値の定理を用いる
$$=(\frac{k}{n}-\frac{k}{n}+\frac{1}{2n})\sum_{k=1}^{n}2024(c)^{2023}\qquad(\frac{k}{n}-\frac{1}{2n}\leq c \leq \frac{k}{n})$$
$$=\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}2024(c)^{2023}$$
はさみうちの原理より
$$\lim_{n \to \infty}c=\lim_{n \to \infty}\frac{k}{n}$$であるから、
よって、
$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}2024(\frac{k}{n})^{2023}を求めればよいと分かる$$
$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}2024(\frac{k}{n})^{2023}$$
$$=\frac{2024}{2}\int_{0}^{1}x^{2023}dx$$
$$=\frac{2024}{2}(\frac{1}{2024})$$
$$=\frac{1}{2}$$
区分求積、平均値の定理、はさみうちの原理を利用した良問だと思います。
さいごに
最後まで読んでいただき、ありがとうございます。これは2003年 京都大学 理系 後期で出題された問題の類題です。京都大学を目指す人は頑張ってください。
おまけ
一般化
$f(x)が0< x<1で連続で、微分可能であるとする$
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^kf(\frac{k}{2n})=\frac{1}{2}(f(1)-f(0))$$
上記の問の考え方を丸々使えば簡単に証明できますので、ぜひやってみてください。
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