積分　問題③

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{2n}(-1{)}^k(\frac{k}{2n}{)}^{2024}の値を求めよ。$$

まずシグマの中身の$(-1{)}^k$が邪魔なのでシグマを分解します。
$$\sum _{k=1}^{2n}(-1{)}^k(\frac{k}{2n}{)}^{2024}$$
$$=\sum _{k=1}^n(\frac{2k}{2n}{)}^{2024}-\sum _{k=1}^n(\frac{2k-1}{2n}{)}^{2024}$$
$$=\sum _{k=1}^n((\frac{k}{n}{)}^{2024}-(\frac{k}{n}-\frac{1}{2n}{)}^{2024})$$
ここで平均値の定理を用いる
$$=(\frac{k}{n}-\frac{k}{n}+\frac{1}{2n})\sum _{k=1}^{n}2024(c{)}^{2023}(\frac{k}{n}-\frac{1}{2n}\le c\le \frac{k}{n})$$
$$=\frac{1}{2n}\sum _{k=1}^{n}2024(c{)}^{2023}$$
はさみうちの原理より
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}c=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{k}{n}$$であるから、
よって、
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}\sum _{k=1}^{n}2024(\frac{k}{n}{)}^{2023}を求めればよいと分かる$$
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}\sum _{k=1}^{n}2024(\frac{k}{n}{)}^{2023}$$
$$=\frac{2024}{2}{\int }_0^1{x}^{2023}dx$$
$$=\frac{2024}{2}(\frac{1}{2024})$$
$$=\frac{1}{2}$$

一般化
$f(x)が0<x<1で連続で、微分可能であるとする$
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{2n}(-1{)}^{k}f(\frac{k}{2n})=\frac{1}{2}(f(1)-f(0))$$