0

積分 問題③

146
0

はじめに

こんにちは、ベーコンです。実は私毎日投稿をしようと思っていたのですが、一回さぼってしまったので今日は三個上げます。
この問題が私が解説を上げようと思っている問題の中で一番骨がありました。ぜひ挑戦してみてください。

問題

limnk=12n(1)k(k2n)2024

考えたい人用空白











解説

まずシグマの中身の(1)kが邪魔なのでシグマを分解します。
k=12n(1)k(k2n)2024
=k=1n(2k2n)2024k=1n(2k12n)2024
=k=1n((kn)2024(kn12n)2024)
ここで平均値の定理を用いる
=(knkn+12n)k=1n2024(c)2023(kn12nckn)
=12nk=1n2024(c)2023
はさみうちの原理より
limnc=limnknであるから、
よって、
limn12nk=1n2024(kn)2023
limn12nk=1n2024(kn)2023
=2024201x2023dx
=20242(12024)
=12

区分求積、平均値の定理、はさみうちの原理を利用した良問だと思います。

さいごに

最後まで読んでいただき、ありがとうございます。これは2003年 京都大学 理系 後期で出題された問題の類題です。京都大学を目指す人は頑張ってください。

おまけ

一般化
f(x)0<x<1
limnk=12n(1)kf(k2n)=12(f(1)f(0))

上記の問の考え方を丸々使えば簡単に証明できますので、ぜひやってみてください。

投稿日:2023531
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

数弱なので許してください

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中
  1. はじめに
  2. 問題
  3. 解説
  4. さいごに
  5. おまけ