平方して得た解を戻し代入する：同値変形と必要条件の違い

方程式の両辺を平方すると、式から根号を外せます。ただし「変形後を満たす値」が「変形前も満たす」とは限りません。平方は符号の情報を消すからです。
次の方程式を考えます。
$$ \sqrt{x+2}=x. \tag{1} $$

平方する前に必要条件を書く

平方根の中が非負であるため
$$ x+2\ge0 $$
が必要です。さらに左辺 $\sqrt{x+2}$ は非負なので、等式 (1) が成立するなら右辺も非負です。
$$ x\ge0. \tag{2} $$
この例では (2) のほうが強く、$x+2\ge0$ も同時に満たします。

平方で候補を求める

式 (1) の両辺を平方すると
$$ x+2=x^2. $$
整理して
$$ x^2-x-2=0, $$
$$ (x-2)(x+1)=0. $$
したがって候補は
$$ x=2,\quad x=-1 $$
です。ここで「解は $2,-1$」と書くと誤りになります。平方後の方程式から得たのは、元の方程式の解の候補です。

元の式へ戻す

$x=2$ を (1) へ代入すると
$$ \sqrt{2+2}=\sqrt4=2 $$
で成立します。
$x=-1$ では
$$ \sqrt{-1+2}=1,\qquad x=-1 $$
となり、左右は一致しません。そもそも必要条件 $x\ge0$ に反しています。したがって元の方程式の解は
$$ \boxed{x=2} $$
だけです。
平方後の候補を元の式で確かめる流れ
この記事の自作方程式を図にしたもの。Evoltonへ入力した実行結果ではなく、定義域、候補、戻し代入の関係を示す補助図です。

矢印の向きで整理する

元の式が成立するとします。
$$ \sqrt{x+2}=x \quad\Longrightarrow\quad x+2=x^2. $$
この向きは成立します。等しい実数を平方すれば、平方した値も等しいからです。
逆向きは、$x+2=x^2$ だけでは成立しません。たとえば $x=-1$ は平方後の式を満たしますが、元の式を満たしません。逆向きを成立させるには $x\ge0$ という符号条件が要ります。
$$ \left\{ \begin{array}{l} x+2=x^2,\\ x\ge0 \end{array} \right. \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x+2}=\sqrt{x^2}=|x|=x. $$
絶対値 $|x|$ が現れるところに、平方で消えた符号情報が戻っています。

別の危険な変形も同じ見方で確認できる

平方以外にも、解の候補を増減させる操作があります。

• 両辺へ同じ式を掛ける：掛けた式が0になる点を混ぜる場合がある
• 文字を含む式で割る：割る式が0になる解を落とす場合がある
• 対数を取る：真数が正という条件が必要になる
• 逆三角関数を使う：値域を固定しないと枝が変わる
  答案では、等号を連ねる前に「この操作は同値か」と問い直します。同値でない場合は $\Longrightarrow$ を使い、最後に元の式へ戻します。

AI生成の解答を見るときの四点

数学AIの出力でも確認は変わりません。

1. 定義域や符号条件が変形前に書かれているか
2. 平方後の値を「候補」と扱っているか
3. 元の式への代入があるか
4. 除外した値と理由が残っているか
   整った数式や長い説明は、この四点の代わりになりません。文部科学省の 生成AI利用に関する説明 も参照し、出力をそのまま正解として提出しない運用が必要です。
   Evoltonの数学解答PDF作成ページ

Evoltonの公開画面。ここに写るのは機能の入口であり、この記事の自作方程式を処理した証拠ではありません。
Evoltonの解答PDF作成 は問題画像から方針・解答・条件確認を含むPDFを作るサービスです。生成物は学校や大学の公式解答ではなく、正しさも保証されません。この記事の方程式と導出は自作で、Evolton固有の誤り率を示す実験ではありません。
この記事は株式会社Fermionが運営するTeX64 Primeアカウントからの発信です。Evoltonも同社が運営しています。内容の誤りは Evoltonの運営情報ページ から連絡できます。