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K^aK'^b/(K^2+K'^2) に適当な多項式を掛けると積分値が閉形式で書ける

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概要

楕円積分K(x),K(x)および適当な多項式p(x)からなる積分

I(a,b;p(x))=01K(x)aK(x)bK(x)2+K(x)2p(x)dx(a,bZ)

は,数値的にπ,Γ(14)などを用いて表すことができるようです.
分母が無い場合のものは,例えば次に示すようにいくつかの文献で見ることがあります.
Integrals of K and E from Lattice Sums
Moments of elliptic integrals and critical L-values
これを受けて,上記のかたちの積分での振る舞いも PARI/GP を用いて数値的に調べてみました.
a+b1を重みとします.A=πΓ(34)4,G=n=0(1)n(2n+1)2とします.

重み3

I(4,0;x)=ζ(3)I(3,1;x)=14(π2)3I(2,2;x)=34ζ(3)

重み4

I(6,1;8x)=165(π2)4A2I(5,0;4x)=(π2)4A2I(4,1;1)=415(π2)4A2I(3,2;4x)=(π2)4A2I(2,3;1)=25(π2)4A2I(1,4;4x)=83(π2)4A2I(0,5;1)=85(π2)4A2I(1,6;89x)=32(π2)4A2

重み5

I(6,0;2x3x)=398ζ(5)I(5,1;2x3x)=14(π2)5I(4,2;2x3x)=1516ζ(5)

重み6

I(6,1;146x2+61x4)=11521(π2)6I(4,3;146x2+61x4)=1021(π2)6I(2,5;146x2+61x4)=3221(π2)6I(0,7;146x2+61x4)=36821(π2)6

重み7

I(8,0;1768x51424x)=8775ζ(7)I(7,1;16136x2+136x4)=9(π2)7

146x261x4といえば

Jacobiの楕円関数cd(K(x)z,x)の冪級数展開

cd(z,x)=11x22!z2+(1x2)(15x2)4!z4(1x2)(146x2+61x4)6!z6+(1x2)(1411x2+1731x41385x6)8!z8

を思い出します.そう考えると,2x3xsdと関係していそうな気がします.4xはよくわかりません.
これを参考に,p(x)=15x2,1411x2+1731x41385x6について数値をさすると,

I(2,7;15x2)=(32G3215)(π2)4I(0,5;15x2)=3215(π2)4I(2,3;15x2)=215(π2)4I(4,1;15x2)=1315(π2)4I(6,1;15x2)=(5ln21315)(π2)4I(2,11;1411x2+1731x41385x6)=(15872G435215)(π2)8I(0,9;1411x2+1731x41385x6)=435215(π2)8I(2,7;1411x2+1731x41385x6)=27215(π2)8I(4,5;1411x2+1731x41385x6)=3215(π2)8I(6,3;1411x2+1731x41385x6)=11815(π2)8I(8,1;1411x2+1731x41385x6)=103315(π2)8I(10,1;1411x2+1731x41385x6)=(1385ln2103315)(π2)8

などがわかりました.したがって,

cd(z,x)1x2=p0cd(x)p1cd(x)z2+p2cd(x)z4p3cd(x)z6+p4cd(x)z8

と書くとき,非負整数nに対して

01K(x)2mK(x)2n2m+1K(x)2+K(x)2pncd(x)dx

は,m=0,1,2,,nにおいて(π2)2nの有理数倍になると予想できます。具体的な場合の似非証明を以下に示します。

I(0,5;15x2)

(15x2)K(x)3=π5x(1x2)K(x)2n=0(1)n(n+12)4sinhπ(n+12)K(x)K(x)なので

01K(x)5K(x)2+K(x)2(15x2)dx=π5n=0(1)n(n+12)401(K(x)K(x))51+(K(x)K(x))21sinhπ(n+12)K(x)K(x)1x(1x2)K(x)2dx=2π4n=0(1)n(n+12)40t51+t21sinhπ(n+12)tdx=2π4n=0(1)n(n+12)40(t1+t2t+t3)1sinhπ(n+12)tdx=2(π2)4n=0(1)n(2n+1)4(k=n2(1)k+n2k+112n+11(2n+1)2+2(2n+1)4)=2(π2)4(n=02(1)n2n+1k=0n(2k+1)4+n=0(1)n((2n+1)3(2n+1)2+2))=2(π2)4(n=02(1)n2n+1(n+1)(2n+1)(2n+3)(12n2+24n+5)15+n=0(1)n((2n+1)3(2n+1)2+2))=2(π2)4n=0(1)n(215(n+1)(2n+3)(12n2+24n+5)(2n+1)3(2n+1)2+2)=2(π2)4limx1n=0(1)n(215(n+1)(2n+3)(12n2+24n+5)(2n+1)3(2n+1)2+2)xn=2(π2)4limx12(1580x+386x280x3+15x4)15(1+x)5=2(π2)41615=3215(π2)4

投稿日:202421
更新日:202462
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