K^aK'^b/(K^2+K'^2) に適当な多項式を掛けると積分値が閉形式で書ける

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概要

$\hspace{5pt}$楕円積分$K(x),\D K'(x)$および適当な多項式$p(x)$からなる積分

$\BA\D I\L(a,b;p(x)\R)=\int_0^1 \cfrac{\D K(x)^aK'(x)^b}{K(x)^2+K'(x)^2}\,p(x)\,dx \qquad (a,b\in{\mathbb Z}) \EA$

は，数値的に$\pi,\Gamma\L(\frac{1}{4}\R)$などを用いて表すことができるようです．
分母が無い場合のものは，例えば次に示すようにいくつかの文献で見ることがあります．
$\hspace{5pt}\checkmark$ Integrals of $K$ and $E$ from Lattice Sums
$\hspace{5pt}\checkmark$ Moments of elliptic integrals and critical $L$-values
これを受けて，上記のかたちの積分での振る舞いも PARI/GP を用いて数値的に調べてみました．
$\hspace{5pt}$$a+b-1$を重みとします．$\D A=\cfrac{\pi}{\Gamma\L(\frac{3}{4}\R)^4}$とします．

重み$3$

$\BA\D I(4,0;x)&=\zeta(3)\\ I(3,1;x)&=\frac{1}{4}\L(\frac{\pi}{2}\R)^3\\ I(2,2;x)&=\frac{3}{4}\zeta(3)\\ \EA$

重み$4$

$\BA\D I(6,-1;8-x)&=\frac{16}{5}\L(\frac{\pi}{2}\R)^4A^2\\ I(5,0;4-x)&=\L(\frac{\pi}{2}\R)^4A^2\\ I(4,1;1)&=\frac{4}{15}\L(\frac{\pi}{2}\R)^4A^2\\ I(3,2;4-x)&=\L(\frac{\pi}{2}\R)^4A^2\\ I(2,3;1)&=\frac{2}{5}\L(\frac{\pi}{2}\R)^4A^2\\ I(1,4;4-x)&=\frac{8}{3}\L(\frac{\pi}{2}\R)^4A^2\\ I(0,5;1)&=\frac{8}{5}\L(\frac{\pi}{2}\R)^4A^2\\ I(-1,6;8-9x)&=32\L(\frac{\pi}{2}\R)^4A^2 \EA$

重み$5$

$\BA\D I(6,0;2x^3-x)&=\frac{39}{8}\zeta(5)\\ I(5,1;2x^3-x)&=\frac{1}{4}\L(\frac{\pi}{2}\R)^5\\ I(4,2;2x^3-x)&=\frac{15}{16}\zeta(5) \EA$

重み$6$

$\BA\D I(6,1;1-46x^2+61x^4)&=\frac{115}{21}\L(\frac{\pi}{2}\R)^6\\ I(4,3;1-46x^2+61x^4)&=-\frac{10}{21}\L(\frac{\pi}{2}\R)^6\\ I(2,5;1-46x^2+61x^4)&=-\frac{32}{21}\L(\frac{\pi}{2}\R)^6\\ I(0,7;1-46x^2+61x^4)&=\frac{368}{21}\L(\frac{\pi}{2}\R)^6 \EA$

重み$7$

$\BA\D I(8,0;1768x^5-1424x)&=8775\zeta(7)\\ I(7,1;16-136x^2+136x^4)&=9\L(\frac{\pi}{2}\R)^7 \EA$

$\BA\D \EA$

投稿日：2月1日

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