楕円積分K(x),K′(x)および適当な多項式p(x)からなる積分
は,数値的にπ,Γ(14)などを用いて表すことができるようです.分母が無い場合のものは,例えば次に示すようにいくつかの文献で見ることがあります.✓ Integrals of K and E from Lattice Sums ✓ Moments of elliptic integrals and critical L-values これを受けて,上記のかたちの積分での振る舞いも PARI/GP を用いて数値的に調べてみました.a+b−1を重みとします.A=πΓ(34)4,G=∑n=0∞(−1)n(2n+1)2とします.
Jacobiの楕円関数cd(K(x)z,x)の冪級数展開
を思い出します.そう考えると,2x3−xはsdと関係していそうな気がします.4−xはよくわかりません.これを参考に,p(x)=1−5x2,1−411x2+1731x4−1385x6について数値をさすると,
などがわかりました.したがって,
と書くとき,非負整数nに対して
は,m=0,1,2,⋯,nにおいて(π2)2nの有理数倍になると予想できます。具体的な場合の似非証明を以下に示します。
(1−5x2)K(x)3=π5x(1−x2)K(x)2∑n=0∞(−1)n(n+12)4sinhπ(n+12)K′(x)K(x)なので
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