K^aK'^b/(K^2+K'^2) に適当な多項式を掛けると積分値が閉形式で書ける

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概要

楕円積分 $K (x), K^{'} (x)$ および適当な多項式 $p (x)$ からなる積分

\begin{array}{r} I (a, b; p (x)) = \int_{0}^{1} \frac{K (x)^{a} K^{'} (x)^{b}}{K (x)^{2} + K^{'} (x)^{2}} p (x) d x (a, b \in Z) \end{array}

は，数値的に $π, Γ (\frac{1}{4})$ などを用いて表すことができるようです．
分母が無い場合のものは，例えば次に示すようにいくつかの文献で見ることがあります．
$✓$ Integrals of $K$ and $E$ from Lattice Sums
$✓$ Moments of elliptic integrals and critical $L$ -values
これを受けて，上記のかたちの積分での振る舞いも PARI/GP を用いて数値的に調べてみました．
$a + b - 1$ を重みとします． $A = \frac{π}{Γ {(\frac{3}{4})}^{4}}, G = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{{(2 n + 1)}^{2}}$ とします．

重み $3$

\begin{aligned} I (4, 0; x) & = ζ (3) \\ I (3, 1; x) & = \frac{1}{4} {(\frac{π}{2})}^{3} \\ I (2, 2; x) & = \frac{3}{4} ζ (3) \end{aligned}

重み $4$

\begin{aligned} I (6, - 1; 8 - x) & = \frac{16}{5} {(\frac{π}{2})}^{4} A^{2} \\ I (5, 0; 4 - x) & = {(\frac{π}{2})}^{4} A^{2} \\ I (4, 1; 1) & = \frac{4}{15} {(\frac{π}{2})}^{4} A^{2} \\ I (3, 2; 4 - x) & = {(\frac{π}{2})}^{4} A^{2} \\ I (2, 3; 1) & = \frac{2}{5} {(\frac{π}{2})}^{4} A^{2} \\ I (1, 4; 4 - x) & = \frac{8}{3} {(\frac{π}{2})}^{4} A^{2} \\ I (0, 5; 1) & = \frac{8}{5} {(\frac{π}{2})}^{4} A^{2} \\ I (- 1, 6; 8 - 9 x) & = 32 {(\frac{π}{2})}^{4} A^{2} \end{aligned}

重み $5$

\begin{aligned} I (6, 0; 2 x^{3} - x) & = \frac{39}{8} ζ (5) \\ I (5, 1; 2 x^{3} - x) & = \frac{1}{4} {(\frac{π}{2})}^{5} \\ I (4, 2; 2 x^{3} - x) & = \frac{15}{16} ζ (5) \end{aligned}

重み $6$

\begin{aligned} I (6, 1; 1 - 46 x^{2} + 61 x^{4}) & = \frac{115}{21} {(\frac{π}{2})}^{6} \\ I (4, 3; 1 - 46 x^{2} + 61 x^{4}) & = - \frac{10}{21} {(\frac{π}{2})}^{6} \\ I (2, 5; 1 - 46 x^{2} + 61 x^{4}) & = - \frac{32}{21} {(\frac{π}{2})}^{6} \\ I (0, 7; 1 - 46 x^{2} + 61 x^{4}) & = \frac{368}{21} {(\frac{π}{2})}^{6} \end{aligned}

重み $7$

\begin{aligned} I (8, 0; 1768 x^{5} - 1424 x) & = 8775 ζ (7) \\ I (7, 1; 16 - 136 x^{2} + 136 x^{4}) & = 9 {(\frac{π}{2})}^{7} \end{aligned}

$1 - 46 x^{2} - 61 x^{4}$ といえば

Jacobiの楕円関数 $c d (K (x) z, x)$ の冪級数展開

\begin{array}{r} c d (z, x) = 1 - \frac{1 - x^{2}}{2!} z^{2} + \frac{(1 - x^{2}) (1 - 5 x^{2})}{4!} z^{4} - \frac{(1 - x^{2}) (1 - 46 x^{2} + 61 x^{4})}{6!} z^{6} + \frac{(1 - x^{2}) (1 - 411 x^{2} + 1731 x^{4} - 1385 x^{6})}{8!} z^{8} - \dots \end{array}

を思い出します．そう考えると， $2 x^{3} - x$ は $s d$ と関係していそうな気がします． $4 - x$ はよくわかりません．
これを参考に， $p (x) = 1 - 5 x^{2}, 1 - 411 x^{2} + 1731 x^{4} - 1385 x^{6}$ について数値をさすると，

\begin{aligned} I (- 2, 7; 1 - 5 x^{2}) & = (32 G - \frac{32}{15}) {(\frac{π}{2})}^{4} \\ I (0, 5; 1 - 5 x^{2}) & = \frac{32}{15} {(\frac{π}{2})}^{4} \\ I (2, 3; 1 - 5 x^{2}) & = - \frac{2}{15} {(\frac{π}{2})}^{4} \\ I (4, 1; 1 - 5 x^{2}) & = - \frac{13}{15} {(\frac{π}{2})}^{4} \\ I (6, - 1; 1 - 5 x^{2}) & = - (5 \ln 2 - \frac{13}{15}) {(\frac{π}{2})}^{4} \\ I (- 2, 11; 1 - 411 x^{2} + 1731 x^{4} - 1385 x^{6}) & = (15872 G - \frac{4352}{15}) {(\frac{π}{2})}^{8} \\ I (0, 9; 1 - 411 x^{2} + 1731 x^{4} - 1385 x^{6}) & = \frac{4352}{15} {(\frac{π}{2})}^{8} \\ I (2, 7; 1 - 411 x^{2} + 1731 x^{4} - 1385 x^{6}) & = - \frac{272}{15} {(\frac{π}{2})}^{8} \\ I (4, 5; 1 - 411 x^{2} + 1731 x^{4} - 1385 x^{6}) & = \frac{32}{15} {(\frac{π}{2})}^{8} \\ I (6, 3; 1 - 411 x^{2} + 1731 x^{4} - 1385 x^{6}) & = \frac{118}{15} {(\frac{π}{2})}^{8} \\ I (8, 1; 1 - 411 x^{2} + 1731 x^{4} - 1385 x^{6}) & = - \frac{1033}{15} {(\frac{π}{2})}^{8} \\ I (10, - 1; 1 - 411 x^{2} + 1731 x^{4} - 1385 x^{6}) & = - (1385 \ln 2 - \frac{1033}{15}) {(\frac{π}{2})}^{8} \end{aligned}

などがわかりました．したがって，

\begin{array}{r} \frac{c d (z, x)}{1 - x^{2}} = p_{0}^{c d} (x) - p_{1}^{c d} (x) z^{2} + p_{2}^{c d} (x) z^{4} - p_{3}^{c d} (x) z^{6} + p_{4}^{c d} (x) z^{8} - \dots \end{array}

と書くとき，非負整数 $n$ に対して

\begin{array}{r} \int_{0}^{1} \frac{{K (x)}^{2 m} {K^{'} (x)}^{2 n - 2 m + 1}}{K (x)^{2} + K^{'} (x)^{2}} p_{n}^{c d} (x) d x \end{array}

は， $m = 0, 1, 2, \dots, n$ において ${(\frac{π}{2})}^{2 n}$ の有理数倍になると予想できます。具体的な場合の似非証明を以下に示します。

$I (0, 5; 1 - 5 x^{2})$

$(1 - 5 x^{2}) K (x)^{3} = \frac{π^{5}}{x (1 - x^{2}) {K (x)}^{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} {(n + \frac{1}{2})}^{4}}{\sinh π (n + \frac{1}{2}) \frac{K^{'} (x)}{K (x)}}$ なので

\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{{K^{'} (x)}^{5}}{{K (x)}^{2} + {K^{'} (x)}^{2}} (1 - 5 x^{2}) d x & = π^{5} \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} {(n + \frac{1}{2})}^{4} \int_{0}^{1} \frac{{(\frac{K^{'} (x)}{K (x)})}^{5}}{1 + {(\frac{K^{'} (x)}{K (x)})}^{2}} \frac{1}{\sinh π (n + \frac{1}{2}) \frac{K^{'} (x)}{K (x)}} \frac{1}{x (1 - x^{2}) {K (x)}^{2}} d x \\ = 2 π^{4} \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} {(n + \frac{1}{2})}^{4} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{5}}{1 + t^{2}} \frac{1}{\sinh π (n + \frac{1}{2}) t} d x \\ = 2 π^{4} \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} {(n + \frac{1}{2})}^{4} \int_{0}^{\infty} (\frac{t}{1 + t^{2}} - t + t^{3}) \frac{1}{\sinh π (n + \frac{1}{2}) t} d x \\ = 2 {(\frac{π}{2})}^{4} \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} {(2 n + 1)}^{4} (\sum_{k = n}^{\infty} \frac{{2 (- 1)}^{k + n}}{2 k + 1} - \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{{(2 n + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 n + 1)}^{4}}) \\ = 2 {(\frac{π}{2})}^{4} (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2 {(- 1)}^{n}}{2 n + 1} \sum_{k = 0}^{n} (2 k + 1)^{4} + \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} (- {(2 n + 1)}^{3} - {(2 n + 1)}^{2} + 2)) \\ = 2 {(\frac{π}{2})}^{4} (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2 {(- 1)}^{n}}{2 n + 1} \frac{(n + 1) (2 n + 1) (2 n + 3) (12 n^{2} + 24 n + 5)}{15} + \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} (- {(2 n + 1)}^{3} - {(2 n + 1)}^{2} + 2)) \\ = 2 {(\frac{π}{2})}^{4} \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} (\frac{2}{15} (n + 1) (2 n + 3) (12 n^{2} + 24 n + 5) - {(2 n + 1)}^{3} - {(2 n + 1)}^{2} + 2) \\ = 2 {(\frac{π}{2})}^{4} lim_{x \to 1} \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} (\frac{2}{15} (n + 1) (2 n + 3) (12 n^{2} + 24 n + 5) - {(2 n + 1)}^{3} - {(2 n + 1)}^{2} + 2) x^{n} \\ = 2 {(\frac{π}{2})}^{4} lim_{x \to 1} \frac{2 (15 - 80 x + 386 x^{2} - 80 x^{3} + 15 x^{4})}{15 (1 + x)^{5}} \\ = 2 {(\frac{π}{2})}^{4} \cdot \frac{16}{15} \\ = \frac{32}{15} {(\frac{π}{2})}^{4} \end{aligned}

\begin{array}{r}  \end{array}

投稿日：2024年2月1日

更新日：2024年6月2日

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重み $5$
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$1 - 46 x^{2} - 61 x^{4}$ といえば
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