床関数[x]の弱微分を求めるだけ

はじめに

実数$x$に対して, $x$を超えない最大の整数を返す関数のことをガウス記号や床関数と言い, $[x]$や$\lfloor x\rfloor$と表される. この記事では床関数と$\lfloor x\rfloor$をメインの表記として使う.

微分

床関数の微分

微分の定義式から確認する.
$$\frac{d}{dx}\lfloor x\rfloor =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\lfloor x+h\rfloor -\lfloor x\rfloor }{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\lfloor (x-\lfloor x\rfloor +h)+\lfloor x\rfloor \rfloor -\lfloor x\rfloor }{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\lfloor x-\lfloor x\rfloor +h\rfloor }{h}$$

$x\notin \mathbb{Z}\iff x-\lfloor x\rfloor \ne 0$のとき

$x-\lfloor x\rfloor$は$x$の小数部分で十分に小さい$h$を取れば, $0\le x-\lfloor x\rfloor +h<1$となるので
$$\frac{d}{dx}\lfloor x\rfloor =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\lfloor x-\lfloor x\rfloor +h\rfloor }{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{0}{h}=0$$

$x\in \mathbb{Z}\iff x-\lfloor x\rfloor =0$のとき

小数部分が$0$つまり$x$が整数のときでは, 左極限$h\to -0$で$\lfloor h\rfloor =-1$, 右極限$h\to +0$で$\lfloor h\rfloor =0$なので
$$\frac{d}{dx}\lfloor x\rfloor =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\lfloor x-\lfloor x\rfloor +h\rfloor }{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\lfloor h\rfloor }{h}$$
${\displaystyle \underset{h\to -0}{lim}\frac{\lfloor h\rfloor }{h}=-\mathrm{\infty },\underset{h\to +0}{lim}\frac{\lfloor h\rfloor }{h}=0}$となり, 微分係数は定まらない.

このことから通常の微分の意味では
$$\frac{d}{dx}\lfloor x\rfloor =\{\begin{array}{ll}0& (x\notin \mathbb{Z})\\ \mathrm{Undefined}& (x\in \mathbb{Z})\end{array}$$
となる.

床関数の弱微分

弱微分の導入

$C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$の元の関数は$\mathrm{\Omega }$の境界の近傍で恒等的に$0$である.

汎関数とは, ある$x_0$を固定して定義域に関数$f$を取り, $f$を動かした関数$g_{x_0}:f\mapsto f(x_0)$のことである.

$\lfloor x\rfloor$の弱微分の導出

$H_1$は$\mathbb{R}$上局所可積分関数であり, $\phi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathbb{R})$に対して,
$${\int }_{\mathbb{R}}\lfloor x\rfloor {\phi }^{\prime }(x)dx=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{\int }_n^{n+1}n{\phi }^{\prime }(x)dx=\sum _{n\in \mathbb{Z}}n(\phi (n+1)-\phi (n))=\sum _{n\in \mathbb{Z}}-\phi (n)$$
Diracの超関数より

$$=\sum _{n\in \mathbb{Z}}-{\int }_{\mathbb{R}}\delta (x-n){\phi }^{\prime }(x)dx$$
${\phi }^{\prime }$はコンパクト台を持つので
$$=-{\int }_{\mathbb{R}}\sum _{n\in \mathbb{Z}}\delta (x-n){\phi }^{\prime }(x)dx$$
となるので, 床関数の弱微分は
$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\lfloor x\rfloor =\sum _{n\in \mathbb{Z}}\delta (x-n)$$
となる.

余談だが, Diracの超関数を周期$T$で並べた関数として, くし型関数
$${\mathrm{comb}}_T(x):=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\delta (x-nT)$$
というものがあり, 今回の床関数の弱微分は${\displaystyle \frac{d}{dx}}\lfloor x\rfloor ={\mathrm{comb}}_1(x)$とも書ける.

$n\in \mathbb{Z}$に対して, ${\displaystyle H_1(x-n)-H_1(x-n-1)=\{\begin{array}{ll}1& (x\in [n,n+1))\\ 0& (\mathrm{otherwise})\end{array}}$が成り立つので,
$$\lfloor x\rfloor =\sum _{n\in \mathbb{Z}}n(H_1(x-n)-H_1(x-n-1))=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{H}_1(x-n)$$
と得られる.

また, $H_1$の弱微分が${\displaystyle \frac{d}{dx}}{H}_1(x)=\delta (x)$であることからもこの式は証明できる.