床関数[x]の弱微分を求めるだけ
はじめに
実数$x$に対して, $x$を超えない最大の整数を返す関数のことをガウス記号や床関数と言い, $[x]$や$\floor{x}$と表される. この記事では床関数と$\floor{x}$をメインの表記として使う.
微分
床関数の微分
微分の定義式から確認する.
$$
\frac{d}{dx}\floor{x}=\lim_{h\to0}\frac{\floor{x+h}-\floor{x}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\floor{(x-\floor{x}+h)+\floor{x}}-\floor{x}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\floor{x-\floor{x}+h}}{h}
$$
$x\not\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x-\floor{x}\neq0$のとき
$x-\floor{x}$は$x$の小数部分で十分に小さい$h$を取れば, $0\leq x-\floor{x}+h<1$となるので
$$
\frac{d}{dx}\floor{x}=\lim_{h\to0}\frac{\floor{x-\floor{x}+h}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}=0
$$
$x\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x-\floor{x}=0$のとき
小数部分が$0$つまり$x$が整数のときでは, 左極限$h\to-0$で$\floor{h}=-1$, 右極限$h\to+0$で$\floor{h}=0$なので
$$
\frac{d}{dx}\floor{x}=\lim_{h\to0}\frac{\floor{x-\floor{x}+h}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\floor{h}}{h}
$$
$\displaystyle \lim_{h\to-0}\frac{\floor{h}}{h}=-\infty,\,\lim_{h\to+0}\frac{\floor{h}}{h}=0$となり, 微分係数は定まらない.
このことから通常の微分の意味では
$$
\frac{d}{dx}\floor{x}=\begin{cases}
0 & (x\not\in\mathbb{Z}) \\
\mathrm{Undefined} & (x\in\mathbb{Z})
\end{cases}
$$
となる.
床関数の弱微分
弱微分の導入
$\Omega\subset\mathbb{R}^N$を開集合とするとき, $\Omega$上の連続関数$\varphi$の台$\mathrm{supp}\,\varphi:=\overline{\{x\in\Omega\mid \varphi (x)\neq0\}}$(上線は閉包)がコンパクト部分集合となっているような, $\Omega$上の無限回微分可能な関数全体の集合を$C_0^\infty(\Omega)$と表し, これを$\Omega$上のテスト空間と言う.
$C_0^\infty(\Omega)$の元の関数は$\Omega$の境界の近傍で恒等的に$0$である.
$\Omega\subset\mathbb{R}^N$:開集合, $C_0^\infty(\Omega)$上の線型汎関数(線型性を持ち, 定義域が関数からなり, 値域が数からなる関数)$T$で次を満たすものを$\Omega$上の超関数と言う:
$C_0^\infty(\Omega)$の関数列$\{\varphi_n\}_n$が次の(1), (2)を満たすとき, $T(\varphi_n)\to 0$が必ず成り立つ.
(1) あるコンパクト集合$K(\subset\Omega)$が存在して任意の$n$に対して, $\mathrm{supp}\,\varphi_n\subset K$
(2) $\varphi_n$のすべての階の偏導関数が$n\to\infty$のとき, $K$上で$0$に一様収束
汎関数とは, ある$x_0$を固定して定義域に関数$f$を取り, $f$を動かした関数$g_{x_0}: f\mapsto f(x_0)$のことである.
$\Omega\subset\mathbb{R}^N$:開集合, $\Omega$上の可測関数かつ$\Omega$に含まれる任意のコンパクト集合上で可積分な関数全体の集合:$L_{loc}^1(\Omega)$とする.
$u\in L_{loc}^1(\Omega)$に対して, 任意の$\varphi\in C_0^\infty(\Omega)$で
$$
\int_\Omega u(x)\frac{\partial \varphi}{\partial x_i}(x)\,dx=-\int_\Omega v_i(x)\varphi (x)\,dx
$$
が成り立つような, 局所可積分関数$v_i$が存在するとき, これを$u$の$x_i$方向の弱導関数, または超関数の意味での導関数と言う.
$\floor{x}$の弱微分の導出
たDiracの超関数を$\delta$と表す. $\delta$は任意のテスト関数$\varphi\in C_0^\infty(\Omega)$に対して, 次の(1), (2)を満たすことで定義される.
(1) $x_0\not\in\mathrm{supp}\,\varphi\Rightarrow\delta(\varphi)=0$
(2) $\displaystyle \int_\Omega \delta(x-x_0)\varphi(x)\,dx=\varphi(x_0)$
また, 性質として
$\displaystyle \forall \epsilon>0; \int_{B(x_0,\,\epsilon)}\delta(x-x_0)\varphi(x)\,dx=\varphi(x_0)$
が成り立つ.
$H_1$は$\mathbb{R}$上局所可積分関数であり, $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$に対して,
$$
\int_\mathbb{R} \floor{x}\varphi'(x)\,dx
=\sum_{n\in\mathbb{Z}} \int_n^{n+1} n\varphi' (x)\,dx
=\sum_{n\in\mathbb{Z}} n(\varphi(n+1)-\varphi(n))
=\sum_{n\in\mathbb{Z}} -\varphi(n)
$$
Diracの超関数より
$$
=\sum_{n\in\mathbb{Z}} -\int_\mathbb{R} \delta(x-n)\varphi'(x)\,dx
$$
$\varphi'$はコンパクト台を持つので
$$
=-\int_\mathbb{R} \sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta(x-n)\varphi'(x)\,dx
$$
となるので, 床関数の弱微分は
$$
\dfrac{d}{dx}\floor{x}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta(x-n)
$$
となる.
余談だが, Diracの超関数を周期$T$で並べた関数として, くし型関数
$$
\mathrm{comb}_T(x):=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta(x-nT)
$$
というものがあり, 今回の床関数の弱微分は$\dfrac{d}{dx}\floor{x}=\mathrm{comb}_1(x)$とも書ける.
$$ \dfrac{d}{dx}\floor{x}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta(x-n) $$
Heavisideの階段関数$\displaystyle H_1(x):=\begin{cases}
1 & (0\leq x)\\
0 & (x<0)
\end{cases}$を用いて,
$$
\floor{x}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}H_1(x-n)
$$
と表せる.
$n\in\mathbb{Z}$に対して, $\displaystyle H_1(x-n)-H_1(x-n-1)=\begin{cases}
1 & (x\in[n,\,n+1))\\
0 & (\mathrm{otherwise})
\end{cases}$が成り立つので,
$$
\floor{x}=\sum_{n\in\mathbb{Z}} n(H_1(x-n)-H_1(x-n-1))=\sum_{n\in\mathbb{Z}} H_1(x-n)
$$
と得られる.
また, $H_1$の弱微分が$\dfrac{d}{dx}H_1(x)=\delta(x)$であることからもこの式は証明できる.
