【問題】紙面模試１（2026.3.25.15:00-2026.4.15.15:00）

$n$を自然数とする。$2$種類の文字$\text{O,X}$を一列に並べて次の【条件】を満たすような長さ$n$文字列$\text{S}_{n}$をつくる。以下の問いに答えよ。

ただし，文字列の左右は区別する。たとえば，$\text{S}_{5}$としてつくることのできる次の$2$つの文字列$e_{1},e_{2}$は区別するものとする。

$e_{1}:\text{OXOXX}$, $e_{2}:\text{XXOXO}$

【条件】

次の$[C1],[C2]$を満たす：
$[C1]$ 文字$\text{O}$ は連続しない。
$[C2]$ 文字$\text{X}$ は$3$文字以上連続しない。

【例】
以下は例である。
・例$1$：文字列$e_{3}:\text{XX}$は【条件】を満たす。
・例$2$：文字列$e_{4}:\text{OXO}$は【条件】を満たす。
・例$3$：文字列$e_{5}:\text{XXOO}$は文字$\text{O}$が連続しているため，【条件】を満たさない。
・例$4$：文字列$e_{6}:\text{XXXOX}$は文字$\text{X}$が$3$つ連続しているため，【条件】を満たさない。

$\text{(1)}$ 【条件】を満たす長さ$n$の文字列$\text{S}_{n}$で，文字$\text{O}$から始まるようなものの総数を$a_{n}$ で表す。$a_{n},\;a_{n+1},\;a_{n+2}$ のうち必要なものを用いて$a_{n+3}$を表せ。

$\text{(2)}$ 【条件】を満たす長さ$17$の文字列$\text{S}_{17}$は何種類できるか。

$N,n$を自然数とする。$xy$平面上で隣り合う$2$辺を除く正方形$A:0< x\leq1,0< y\leq1$があり，$A$内にランダムに打った点と原点との距離の期待値について考えよう。

以下の【前置き】【実験１】【実験２】を考える。

【前置き】

$1$以上$N$以下の整数$j,k$を用いて座標$\displaystyle \left(\frac{j}{N},\frac{k}{N}\right)$ で表される$N^2$個の点を分点と呼ぶこととする。

【実験１】

$N^2$個の分点から等確率で$1$個を選び，その$x$座標，$y$座標，原点からの距離をそれぞれ確率変数$X_{N},Y_{N},R_{N}$で表す。
また，$N\rightarrow\infty$ のときの確率変数$X_{N},Y_{N},R_{N}$をそれぞれ$X,Y,R$とする。

【実験２】

$N$が十分に大きいとする。このとき，実験１の内容の$3$つの確率変数$X_{N},Y_{N},R_{N}$の分布や期待値，分散がそれぞれ$X,Y,R$のそれとほぼ等しいとみなせるものとして考える。
$N^2$個の分点から等確率に$1$点選ぶことを独立して合計$n$回行う。こうして選んだのべ$n$点の原点からの距離の平均値を確率変数$W$で表す

以下の問いに答えよ。
ただし，必要であれば以下の【情報】を用いてよい。

【情報】

・$\displaystyle E(R)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\sqrt{x^2+y^2}\;dx\;dy \approx 0.7652 \approx \sqrt{0.58552}$
・$\sqrt{811}\approx 28.48$　・$6\sqrt{7} \approx 15.88$
・$Z$が標準正規分布$N(0,1^2)$に従うとすると，$\displaystyle P(0\leq Z\leq t)=f(t) \quad (t>0)$ として，
$f(1.6449)=0.4500,\quad f(1.9600)=0.4750,\quad f(2.5758)=0.4950$

$\text{(1) 〜 (3)}$：まず，【前置き】のもと【実験１】を行うことを考える。

$\text{(1)}$ $X_{N},Y_{N}$ の確率分布をそれぞれ書け。
$\hspace{2em}$また，期待値$E(X_{N}),E(Y_{N})$，分散$V(X_{N}),V(Y_{N})$ を$N$で表せ。
$\text{(2)}$ $X_{N},Y_{N}$は互いに独立であることを示せ。
$\text{(3)}$ 確率変数$R$の分散$V(R)$は $\displaystyle V(R)=\lim_{N\rightarrow\infty}V(R_{N})$ で定まることを用いて，$V(R)$を求めよ。ただし，値は四捨五入することで小数第$4$位まで求めよ。

$\text{(4) 〜 (5)}$：次に，【前置き】のもと【実験２】を行い，こうして得られる$E(R)$の実験値は理論値とどれだけ近くなるのかを調べよう。ただし，$V(R)$は$\text{(3)}$の値を用いることとする。

$\text{(4)}$ 【実験２】において，$N$が十分に大きいので，$n$が十分に大きければ，$W$は近似的に正規分布に従う。数値は必要であれば【情報】および$\text{(3)}$の数値を用いることとして，必要ならば$n$を用いることで，$W$の期待値$m$と標準偏差$\sigma'$を求めよ。
$\text{(5)}$ $n$が$10^{4}$より大きいときを考える。このとき，$n$は十分大きいと考えてよいとする。$\text{(4)}$の$m$を用いて，【実験２】で$P(\left|W-m\right|\leq10^{-3})\geq0.95$を満たすような最小の$n$の値を$n_{0}$とする。$n_{0}$を有効数字$2$桁で求めよ。

$a$を$1$より大きい定数とする。$\displaystyle 0\leq x<\frac{\pi}{2}$ において，以下の不等式を$①$とする。以下の問いに答えよ。

$\displaystyle x\leq \tan{x}\leq ax \quad-①$

$\text{(1)}$ 次の【条件$1$】を満たすような実数 $\alpha$ が $a$ の値によらず存在することを示せ。

【条件$1$】
次の$[1][2]$を同時に満たす：
$[1]$ $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ を満たす。
$[2]$ $\displaystyle 0\leq x\leq \alpha $ を満たすすべての実数に対して不等式$①$ を満たす。

$\text{(2)}$ 次の【条件$2$】を満たすような実数 $\alpha$ が $a$ の値によらず存在することを示せ。

【条件$2$】
次の$[3][4]$を同時に満たす：
$[3]$ $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ を満たす。
$[4]$ $\displaystyle 0\leq x\leq \alpha $ を満たすすべての実数に対して次の不等式$②$を満たす。

$\displaystyle x+\frac{1}{3}x^3\leq \tan{x}\leq x+\frac{a^2}{3}x^3 \quad-②$

$\text{(3)}$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan{x}-x}{x^3}=\frac{1}{3}$ を示せ。

$\text{(4)}$ 実数$p,q$ をそれぞれ以下の極限の極限値で定める。$p,q$ を求めよ。

$\displaystyle p=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan{x}-\left(x+\frac{1}{3}x^3\right)}{x^5},\quad q=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan{x}-\left(x+\frac{1}{3}x^3+px^5\right)}{x^7}$

$\displaystyle y=\sqrt{1-x^2}$ で表される半円$C$ と，$2$つの動点$\text{A,B}$ を結ぶ長さ$\pi$の線分$\text{AB}$がある。
はじめ，2点の座標は$\text{A} (1,\pi), \; \text{B} (1,0)$に位置しており，線分$\text{AB}$はこの状態から，はじめて$x$軸と平行になるまで，半円$C$に接しながら滑ることなく移動する。このとき，線分$\text{AB}$は常に領域$y\geq0$に含まれる。以下の問いに答えよ。

$\text{(1)}$ 線分$\text{AB}$ が通過した部分の領域を$D$とする。領域$D$を図示せよ。
$\text{(2)}$ $D$の面積を求めよ。

$t$を実数とする。$t$が実数全体をくまなく動くとき，$xy$平面上の点$\displaystyle \text{P}\left(\frac{\frac{4}{\sqrt{3}}t+2-2t^2}{1+t^2},\frac{\frac{4}{\sqrt{3}}t-1+3t^2}{1+t^2}\right)$が動いてできる軌跡を$C$とする。以下の問いに答えよ。

$\text{(1)}$ $\displaystyle t=\tan\frac{\theta}{2} \quad \left(-\pi<\theta<\pi\right)$ とおくことで，軌跡$C$を$\theta$を用いて媒介変数表示し，$xy$平面上に図示せよ。また$C$は，ある$1$つの定点$\text{A}$と合わせることではじめて閉曲線$C_{1}$となる。$\text{A}$の座標を求めよ。

$\text{(2)}$ $xy$平面上で$C_{1}$の方程式を$x,y$で表せ。

$\text{(3)}$ $C_{1}$を$x$軸を軸に$y\geq0$に折り返してできる図形を$C_{2}$とする。$C_{2}$が$y>0$において自己交差する点を求めよ。

$\text{(4)}$ ここで，原点を通り$xy$に垂直な$z$軸を加えて座標空間として考える。$xy$平面上の曲線$C_{1}$を$x$軸を回転軸として一回転させた曲面を$S$とすると，曲面$S$は座標空間を$4$つの領域に分割する。このうち，空間上の$2$点$(-2,0,0),(2,0,0)$ のいずれも含まない領域は$2$つあり，ともに有限の体積をもつ。この$2$つの領域の体積の和を求めよ。

$a$を正の定数とする。放物線$C_1:y=ax^2$，楕円$\displaystyle C_2:\frac{(x+2)^2}{16}+\frac{1}{12}\left(y-\frac{1}{4a}\right)^2=1$ がある。以下の問いに答えよ。

$\text{(1)}$ $C_1$ の焦点$F$の座標と準線$l$の方程式を求めよ。
$\text{(2)}$ $C_2$ 上の点$(x,y)$ について，$\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+\left(y-\frac{1}{4a}\right)^2}}{6-x}$ の値を求めよ。また，$C_2$の離心率$\text{(*1)}$を求めよ。

$\text{(*1)}$ 二次曲線の離心率を$e$とすると，曲線上の点について，焦点からの距離と準線からの距離の比が$e:1$である。

$\text{(3)}$ $C_1$と$C_2$がちょうど$2$つの共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ。また，そのとき，この$2$つの共有点を通る直線の方程式を求めよ。