文献あり

Pivotal isogonal circular cubic と Vu circlecevian point

Pivotal isogonal circular cubic と Vu circlecevian point について、~~実用性の全くない極めてささいな~~ある性質を発見したのでまとめます。
以下、基準三角形を $△ A B C$ とします。
定理7程度までは読み飛ばしていただいても構いません。

前提知識

等角共役点...本記事では点 $P$ の等角共役点を $P^{*}$ と書く。
Cayley-Bacharachの定理
射影幾何学の少しの知識

語句説明

Circlecevian三角形

点 $P$ について、それぞれ直線 $A P, B P, C P$ と円 $(P B C), (P C A), (P A B)$ の再び交わる点を頂点とする三角形をCirclecevian三角形という。

Pivotal isogonal cubic

直線 $P P^{*}$ が点 $Q$ を通るような点 $P$ の軌跡を、pivotを $Q$ とするPivotal isogonal cubicという。

虚円点（Circular points at infinity）

任意の円が通る無限遠直線上の2点を虚円点という。
また、虚円点を通る曲線をcircularであるという。

pivotが無限遠にあるPivotal isogonal cubicはcircularである。例えばK001やK021。

Ceva商（Cevian quotient）

点 $P, Q$ について、 $P$ のCeva三角形（Cevian triangle）と $Q$ の反Ceva三角形（Anticevian triangle）の配景中心をCeva商 $(P / Q)$ という。
特に $(P / (P / Q)) = Q$ が成立する。

補題

Pivotal isogonal cubicとは、直接関係のない事象を補題とする。

点 $P, P^{*}$ のCirclecevian三角形の $A$ 側の頂点をそれぞれ $P_{A}, P_{A}^{*}$ として、
$P_{A}, P_{A}^{*}$ は等角共役で、 $P P^{*} / / P_{A} P_{A}^{*}$ .

簡単な角度追跡で証明可能。

Vu circlecevian 点（Vu circlecevian point）

点 $P, Q$ のCirclecevian三角形をそれぞれ $△ P_{A} P_{B} P_{C}, △ Q_{A} Q_{B} Q_{C}$ とする。
$P_{A} Q_{A} \cap B C, P_{B} Q_{B} \cap C A, P_{C} Q_{C} \cap A B$ はCeva三角形になる。このCeva三角形の元の点 $V (P, Q)$ をVu circlecevian 点という。
また、 $A, B, C, P, Q, V (P, Q)$ は共円錐曲線（Randy Hutson, 2019）。

Vu円（Vu circle）

点 $P$ のCirclecevian三角形を $△ P_{A} P_{B} P_{C}$ 、点 $Q$ のCeva三角形を $△ Q_{a} Q_{b} Q_{c}$ とする。
円 $(P B C P_{A}), (P C A P_{B}), (P A B P_{C})$ と $P_{A} Q_{a}, P_{B} Q_{b}, P_{C} Q_{c}$ のそれぞれの第2交点と $P$ は共円。
この円をVu円という。

補題2,3ともにVu Thanh Tungによる。

Telv Cohl & Luis González（2014）

$P, Q, Q^{*}$ の共線 $\Leftrightarrow P^{*}, Q, (P / Q)$ の共線。

本題

以下では無限遠直線を $L_{\infty}$ 、2つの虚円点を $I, J$ 、pivotを $Ω \in L_{\infty}$ とするPivotal isogonal cubicを $K$ とかく。
また円周、直線をそれぞれ $⊙$ 、オーバーラインで表すことがある。

$P \in K$ について $P, P^{*}$ を通る円と $K$ の他の2交点をそれぞれ $D, E$ としたとき、 $D, E, Ω^{*}$ は共線。

$Ω Ω^{*}$ は $K$ の漸近線である。
$(P, P^{*}, D, E, I, J, Ω, Ω, Ω^{*}) = K \cap (⊙ (P P^{*} D E I J) \cup \overset{―}{Ω Ω Ω^{*}})$ .
$(P, P^{*}, Ω), (I, J, Ω)$ の共線とCayley-Bacharachの定理より $D, E, Ω^{*}$ は共線。

$P, Q \in K$ について直線 $P Q, P^{*} Q^{*}$ と $K$ の第3交点をそれぞれ $D, E$ とすると、 $D, E, Ω^{*}$ は共線。

定理5と $P P^{*} / / Q Q^{*}$ 、Reimの定理より示される。

一般にそれぞれ $P, P^{*}$ を通る直線と $K$ の4交点は共円（Feuerbach-Gergonne in AoPS, 2024）。

$P \in K$ のCirclecevian三角形を $△ P_{A} P_{B} P_{C}$ とすると、 $P_{A}, P_{B}, P_{C} \in K$ .

$K$ の定義と補題1より明らか。

Telv Cohl in AoPS（2017）

$P, Q \in K$ のCirclecevian三角形をそれぞれ $△ P_{A} P_{B} P_{C}, △ Q_{A} Q_{B} Q_{C}$ とすると、 $P_{A} Q_{A}, P_{B} Q_{B}, P_{C} Q_{C}, P^{*} Q^{*}, K$ は共点。

$P, P_{A}$ に定理6を使用すると、 $A$ における $K$ のある接線が $Ω^{*}$ を通ることが分かる。
$(A, A, Ω^{*}, P, P^{*}, Ω, Q, Q^{*}, Ω) = K \cap (\overset{―}{A A Ω^{*}} \cup \overset{―}{P P^{*} Ω} \cup \overset{―}{Q Q^{*} Ω})$ .
$Ω, Ω, Ω^{*}$ の共線より、 $A, A, P, P^{*}, Q, Q^{*}$ は共円錐曲線。
次に、 $P^{*} Q^{*}$ と $K$ の、 $P^{*}, Q^{*}$ とは異なる交点を $S$ とすると、
$(A, P, P_{A}, A, Q, Q_{A}, S, P^{*}, Q^{*}) = K \cap (\overset{―}{A P P_{A}} \cup \overset{―}{A Q Q_{A}} \cup \overset{―}{P^{*} Q^{*} S})$ .
$A, A, P, P^{*}, Q, Q^{*}$ の共円錐曲線より、 $P_{A}, Q_{A}, S$ は共線。
対称性より $P_{A} Q_{A}, P_{B} Q_{B}, P_{C} Q_{C}, P^{*} Q^{*}, K$ は $S$ で交わる。

$P, S \in K$ について、 $P$ のCirclecevian三角形を $△ P_{A} P_{B} P_{C}$ とする。
$P_{A} S, P_{B} S, P_{C} S$ と円 $P B C, P C A, P A B$ のそれぞれの第2交点と $P$ は共円。

定理8より $P_{A} S, P_{B} S, P_{C} S$ と $K$ の第3交点はCirclecevian三角形となる。
したがって、 $P_{A} S \cap B C, P_{B} S \cap C A, P_{C} S \cap A B$ は補題2よりCeva三角形となるから、
補題3より題意は示された。

第2Fermat点 $X_{14}$ は第1Napoleon三角形の外接円すなわち $X_{14}, X_{2}$ のVu円上にある。

$P, Q \in K$ のVu Circlecevian 点を $V$ 、 $P^{*} Q^{*}$ と $K$ の第3交点を $S$ とする。このとき、 $V \in S S^{*}$ 。

$P, Q, P^{*}, Q^{*}$ のCirclecevian三角形をそれぞれ $△ P_{A} P_{B} P_{C}, △ Q_{A} Q_{B} Q_{C}, △ P_{A}^{*} P_{B}^{*} P_{C}^{*}, △ Q_{A}^{*} Q_{B}^{*} Q_{C}^{*}$ とする。
補題2のRandy Hutsonの結果から、 $A, B, C, P, Q, V$ は共円錐曲線なので、 $P^{*}, Q^{*}, V^{*}$ は共線。
補題4より、 $(V / S)$ が $P^{*} Q^{*}$ 上に存在することを示せばよい。
今、 $R = P Q \cap P^{*} Q^{*}$ として $(V / S) = R$ を証明する。 $R$ のCeva三角形を $△ R_{a} R_{b} R_{c}$ とする。
$P P^{*} / / Q Q^{*}$ などより、 $P_{A} Q_{A}, P_{A}^{*} Q_{A}^{*}, A R$ は共点。この点を $R^{'}$ とする。
$P P_{A} \cap P^{*} P_{A}^{*} = A$ より、 $(P P_{A}^{*} \cap P^{*} P_{A}) \in B C$ 。
この構図を $P P_{A} Q Q_{A}$ にあたる部分が等脚台形となるように射影変換する等して、 $A, R_{a}, R, R^{'}$ にあたる部分が調和点列を成すことが分かるから、 $R^{'}$ は $R$ の反Ceva三角形の頂点となるので $(V / R) = S$ が示された。
一方 $(V / (V / S)) = S$ であるから、 $(V / S) = R$ 。

おまけ

$P, Q, P^{*}, Q^{*}$ のCirclecevian三角形をそれぞれ $△ P_{A} P_{B} P_{C}, △ Q_{A} Q_{B} Q_{C}, △ P_{A}^{*} P_{B}^{*} P_{C}^{*}, △ Q_{A}^{*} Q_{B}^{*} Q_{C}^{*}$ とする。完全四角形 $P_{A} Q_{A} P_{A}^{*} Q_{A}^{*}, P_{B} Q_{B} P_{B}^{*} Q_{B}^{*}, P_{C} Q_{C} P_{C}^{*} Q_{C}^{*}$ のNewton線の作る三角形は完全四角形 $P Q P^{*} Q^{*}$ のNewton線の三線極のCeva三角形である。

上の射影変換の要領で証明が可能です。

最後に

Pivotal isogonal circular cubicとは関係ない、未証明の問題を書いて終わろうと思います（定理10の証明の一部に出てくる部分の一般化です）。

点 $P, Q, P^{*}, Q^{*}$ のCirclecevian三角形をそれぞれ $△ P_{A} P_{B} P_{C}, △ Q_{A} Q_{B} Q_{C}, △ P_{A}^{*} P_{B}^{*} P_{C}^{*}, △ Q_{A}^{*} Q_{B}^{*} Q_{C}^{*}$ としたとき、3つの直線 $A (P_{A} Q_{A} \cap P_{A}^{*} Q_{A}^{*}), B (P_{B} Q_{B} \cap P_{B}^{*} Q_{B}^{*}), C (P_{C} Q_{C} \cap P_{C}^{*} Q_{C}^{*})$ は共点。