Airy関数の一般化１：一般化されたAiryの微分方程式と級数解

ここで$(\omega_m)_n$はパラメータ内の数のPocchammer記号をすべて掛け合わせたものとします。
$$\Omega_{\mu\nu m}(x)=\frac{x^m}{m!}{}_{0}F_{\mu-1}\left[\begin{matrix}-\\\omega_m\end{matrix};\frac{x^\omega}{\omega^\mu}\right] =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\omega n+m}}{n!m!\omega^{\mu n}(\omega_m)_n} $$
これを$\mu$回微分します。
$$\begin{align*}D^{\mu}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\omega n+m}}{n!m!\omega^{\mu n}(\omega_m)_n} &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\omega n+m-\mu}}{n!m!\omega^{\mu n}(\omega_m)_n}\frac{(\omega n+m)!}{(\omega n+m-\mu)!} \\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\omega (n-1)+m+\nu}}{n!m!\omega^{\mu n}(\omega_m)_n}\frac{(\omega n+m)!}{(\omega (n-1)+m+\nu)!} \end{align*}$$
ここで$n=0$のとき、$m+\nu<\omega$で$m,\mu$は正の整数なので$1/(-\omega+m+\nu)!=0$です。
よって、最初の項は消えて次のようになります。
$$\begin{align*}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\omega (n-1)+m+\nu}}{n!m!\omega^{\mu n}(\omega_m)_n}\frac{(\omega n+m)!}{(\omega (n-1)+m+\nu)!} &=x^\nu\frac{x^m}{m!}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\omega (n-1)}}{n!\omega^{\mu n}(\omega_m)_n}\frac{(\omega n+m)!}{(\omega (n-1)+m+\nu)!}\\ &=x^\nu\frac{x^m}{m!}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\omega n}}{(n+1)!\omega^{\mu (n+1)}(\omega_m)_{n+1}}\frac{(\omega n+m+\omega)!}{(\omega n+m+\nu)!}\\ &=x^\nu\frac{x^m}{m!}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\omega n}}{n!\omega^{\mu n}(\omega_m)_{n}}\frac{(\omega n+m+\omega)!}{(n+1)\omega^\mu(\omega_m+n)(\omega n+m+\nu)!}\\ \end{align*}$$
ここで$\omega_m+n$は$\left(1-\frac{\mu-(m+1)}\omega+n\right)...\left(1-\frac{1}\omega+n\right)\left(1+\frac{1}\omega+n\right)...\left(1+\frac{m}\omega+n\right) $のように、
$\omega_m$のすべての成分に$n$を足したものの積です。
これによって、
$$\frac{(\omega n+m+\omega)!}{(n+1)\omega^\mu(\omega_m+n)(\omega n+m+\nu)!}=1$$
が成立していればいいことが分かります。$\omega_m$が$\mu-1$個の数を持つことに注意すれば、
$$\begin{align*}\omega^\mu(n+1)(\omega_m+n)&=\omega^\mu(n+1)\left(1-\frac{\mu-(m+1)}\omega+n\right)...\left(1-\frac{1}\omega+n\right)\left(1+\frac{1}\omega+n\right)...\left(1+\frac{m}\omega+n\right)\\ &=(\omega n+\omega)(\omega-\mu+(m+1)+\omega n)...(\omega-1+\omega n)(\omega+1+\omega n)...(\omega+m+\omega n)\\ &=(\omega n+\omega+(m+1)-\mu)...(\omega n+\omega-1)(\omega n+\omega)(\omega n+\omega+1)...(\omega n+\omega+m)\\ &=\frac{(\omega n+\omega +m)!}{(\omega n+\nu +m)!} \end{align*} $$
よって求めていた式は成立しているため、$\Omega_{\mu\nu m}(x)$は$\Omega^\mu_\nu$の解になっています。
厳密には$m=0,\mu-1$の時は場合分けしなければいけませんが全く同様に示せるので省略しています。
$\bar{\Omega}^\mu_\nu$の解については$\Omega_{\mu\nu m}(e^{\pi i/\omega}x)$を普通に$\mu$回微分すればわかります。

$$\begin{align*}\Omega^{(k)}_{\mu\nu m}(0)&=D^{k}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\omega n+m}}{n!m!\omega^{\mu n}(\omega_m)_n} \\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\omega n+m-k}}{n!m!\omega^{\mu n}(\omega_m)_n}\frac{(\omega n+m)!}{(\omega n+m-k)!} \\ \end{align*}$$
ここで、$m$と$k$の大小関係で場合分けします。
・$m>k$
この場合$m-k$は正の整数になるので、それを$n_+$と書くことにします。この場合、
$$ \Omega^{(k)}_{\mu\nu m}(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\omega n+n_+}}{n!m!\omega^{\mu n}(\omega_m)_n}\frac{(\omega n+m)!}{(\omega n+n_+)!} =\frac{x^{n_+}}{n_+!}+o(x^{\omega+n_+}) $$
となるので$\Omega^{(k)}_{\mu\nu m}(0)=0$となります
・$m< k$
この場合$m-k$は負の整数になるので、それを$n_-$と書くことにします。最初の項が$1/n_-!=0$のおかげで消えることに注意すれば、
$$ \Omega^{(k)}_{\mu\nu m}(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\omega n+n_-}}{n!m!\omega^{\mu n}(\omega_m)_n}\frac{(\omega n+m)!}{(\omega n+n_-)!} =\frac{x^{\omega+n_-}}{(\omega+n_-)!}+o(x^{2\omega+n_-}) $$
となるのでこの場合も$\Omega^{(k)}_{\mu\nu m}(0)=0$となります
・$m=k$
最後の場合です。$m-k=0$なので、
$$ \Omega^{(k)}_{\mu\nu m}(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\omega n}}{n!m!\omega^{\mu n}(\omega_m)_n}\frac{(\omega n+m)!}{(\omega n)!} =1+o(x^{\omega}) $$
となります。よって$\Omega^{(k)}_{\mu\nu m}(0)=1$です。