Hirsch 微分トポロジーの問題1.1.9 長い直線

　Hausdorff性と局所$1$次元ユークリッド性は、簡単な位相の問題のため省略する。(下図参照)

Hausdorff性
(赤い部分が同じ順序数の時の分離開集合の取り方で、青い部分が別の順序数の時の分離集合の取り方)

局所1次元ユークリッド性
(赤い部分が$(0,\infty)$に点をとった時の開近傍で、青い部分が$0$に点を取った時の開近傍)

　よって、まずはパラコンパクトでない事を示す。

　各$\alpha \in C\backslash \{0\}$に対して$J(\alpha)$を
$J(\alpha)=\{x\in M|x<(\alpha,0)\}$と定め、$\{J(\alpha)\}$により$M$を被覆する。
　この時、各$J(\alpha)$は明らかに$\mathbb R$と同相のため連結であり、点(0,1)を共有するため、その合併である$\cup J(\alpha)=M$もまた連結である。

　いま、$M$がLindelöfであるとする。
　このとき、可算部分被覆が取れるので、それを$\{J(\alpha_n)\}$とする。
　各$\alpha_n$は$\omega_1$より小さいから、その点列の極限もまた$\omega_1$より小さい。よって、それよりも大きい可算順序数$\beta$を取ると、$\cup J(\alpha_n)\subset J(\beta)$を得る。しかし$J(\beta)$は$M$を被覆しないので、$\{J(\alpha_n)\}$が$M$を被覆できることに矛盾する。
　故に$M$はLindelöfではなく、従って、第二可算ではない。

　いま、多様体論の一般論として、連結で距離化可能な多様体(ここでの多様体は、Hausdorff局所ユークリッド的ということ)は第二可算である、というものがある。しかし今、$M$は連結な第二可算ではない多様体のため、これより距離化不能である事が従う。
　パラコンパクトな多様体は距離化可能であるという性質があるため、これにより$M$はパラコンパクトでない事がわかる。

　続いてリーマン計量が入らない事を見る。
　多様体の一般論として、もしリーマン計量が存在するなら多様体は距離化可能である、というものがある。(2点間の距離を、リーマン計量による2点を結ぶ曲線長のinfで定めれば良い。)
　しかし今、$M$は距離化可能でないことを見たので、よってリーマン計量が入らないことがわかる。

　$S$は単純なので、チャート$(A_z,\phi)$を持つ。このチャートの座標関数は単調連続関数であるが、特に単調増加有界連続であり、$\lim_{x\to z}\phi(x)=0$を満たすとして良い。これは、以下で正当化される:
1.$\phi$が単調減少なら$-\phi$に置き換える。
2.$\phi$が上に発散するなら$-e^{-\phi}$に置き換える。
3.$c=\lim_{x\to z}\phi(x)\neq 0$なら、$\phi-c$で置き換える。
　これにより、常に考えたい座標関数の性質をもつチャートを得る。今、$z=(\alpha,t)$なら、$w\in M$と$A_w$上の関数$\phi'$を以下で定める:
1.$\phi'(x)=\phi(x),(x< z)$;
2.$\phi'(\alpha,s)=s-t,(t\leq s )$;
3.$w=(\alpha+1,0)$。
　これは$A_w$上の単調増加連続関数であり、$(A_w,\phi')$はチャートとなっていて、よってこれにより$A_w$の単純な実解析構造$S'$が定まる。また構成方法から、$A_z$上で$S$と一致する。よってこの$S'$が求める$S$の延長である。

　各$S^{(n)}$のチャートは互いに互換性があり$A_z$を被覆するので、それによる極大アトラスを取る事で実解析構造$S^*$を定める。

　以下、この$S^*$が単純である事を示す。

　各$S^{(n)}$が単純なので、$A_{z_n}$から実軸のある区間$T_n: a_n < t_n < c_n$
への位相同相写像$\phi_n$が定まっている。ここで、$\phi_n$は単調増加であるとして良い。
　いま、$f_n = \phi_{n+1} \phi_n^{-1}$は、$S^{(n)},S^{(n+1)}$が互いに互換性を持つので単調増加実解析関数で、$T_n$から$T_{n+1}$の部分
$U_{n+1}: a_{n+1} < t_{n+1} < b_{n+1} (a_{n+1} < b_{n+1} < c_{n+1})$
へ写す。
　$f_n$が増加で逆$f_n^{-1} = \phi_n \phi_{n+1}^{-1}$が$U_{n+1}$で実解析的なので、$f_n’(t_n) > 0 (t_n ∈ T_n)$。(逆が実解析的であることを注意しているのは、$f_n’(t_n) \geq 0$ではなく$f_n’(t_n) > 0$である事を強調するため。)

　よって、実軸対称な領域$G_n$を複素平面(これを$t_n$平面といってラベル付けをする)に与え、$T_n$を含み、$f_n$の解析的延長で$H_{n+1} = f_n(G_n)$に1対1に対応するようにできる。(いわゆる解析接続。)

　ここで$G_n$は上半平面の$a_n$と$c_n$を結ぶ滑らかな弧とその下半平面の鏡像を境界とする開集合で、各弧上で$f_n$が正則で$f_n’ \neq 0$となるように取る。($T_n$上で$f_n$の微分は常に正なので、$T_n$に十分近い所でこのように取れる。)
　$G_n$の各弧の像は$a_{n+1}$と$c_{n+1}$を結ぶ滑らかな弧で$H_{n+1}$の境界を形成する。$n > 1$で$H_n$が定まっているなら、$G_n$を各弧が$H_n$の対応する弧をそれぞれ1点で交差するように選び、$n > 2$ならその点が$f_{n-1}(G_{n-1} ∩ H_{n-1})$に属さないようにする。
　これを$G_n$を$T_n$の十分狭い近傍に選ぶことで構成する(近傍を“拡張”するのは注意が必要だが、“縮小”する分には問題ない)。

　今、$G_n$の点は$f_n$による$G_n$から$G_{n+1}$への同一視と$t_n$平面の複素構造で、単連結リーマン面$R$を形成し、各$t_n$平面で実軸鏡像の対称性を持つ。
　一様化定理(単連結リーマン面は、球面・複素平面・開円板のいずれかに等角(複素構造を保つ)同型となる)により複素構造を保ち、特に$R$の$\lim_{n\to \infty}c_n$近傍においてコンパクトでなく、またそれを構成する$G_n$の虚軸の幅が0に向かうため、球面や平面と同型ではないことから、その中点を実軸に置いた複素平面の円板に等角に写り、対称線が実直径$L$に写る。

　この写像の$G_n$上の変換を$\Phi_n$と呼ぶと、$\Phi_n \phi_n:A_{z_n}\to T_n(\subset G_n)\to L(\subset\mathbb D)$は$S^{(n)}$と互換性のある$A_{z_n}$から直線への写像、つまり$S^{(n)}$のチャートとなり、これを全て集めたものは$S^*$のチャートとなる。

　特にこのチャートについて、$m < n$なら、$\Phi_m \phi_m$と$\Phi_n \phi_n$は$A_{z_m}$で一致。
　よってこれらすべてをまとめた写像$\Phi$を考えれば$A_z$から$L$への$S^*$と互換性のある1対1写像、つまり$A_z$全体の$S^*$のチャートを与え、$L$は開区間であるから、このチャートにより$S^*$は単純となる。

　超限帰納法で$M$のすべての区間$J(\alpha)=A_{(\alpha,0)}$に実解析構造$S^{(\alpha)}$を与え、これらはすべて互いに互換性があり、したがって$M$の実解析構造を定めることを見る。
　$\alpha = 1$の場合、$S^{(1)}$は$J(1)$から$0 < t$への$\phi((0, t)) = t$で定義できる。
　$\alpha = \kappa + 1$の場合、$S^{(\kappa)}$が定義されると、補題1より$z = (\kappa, 0), w = (\kappa + 1, 0), S = S^{(\kappa)}$として$S^{(\alpha)} = S’$を得る。
　最後に$\alpha < ω_1$が極限数の場合、増加列$0 < \alpha_1 < \alpha_2 < …$の極限として表され(※)、すべての$\lambda < \alpha$で$S^{(\lambda)}$が定義され互換性があるなら、補題2より$z_n = (\alpha_n, 0)$として$S^{(\alpha)} = S^*$を得る。
　これで超限帰納が完了し、問題が証明される。