Deligneのp進多重ゼータ値1

Deligneの$p$進多重ゼータ値の構成についてまとめていきたいと思う.

dagger代数

体$K$上の射影直線を$\PP_{K}^1$と表すこととして, $R:=\QQ_p\left[z,\frac 1z,\frac 1{1-z}\right]$とする. dagger代数を
\begin{align} &\QQ_p\langle x_1,\dots,x_m\rangle^{\dagger}\\ &:=\left\{\sum_{0\leq n_1,\dots,n_m}a_{n_1,\dots,n_m}x_1^{n_1}\cdots x_m^{n_m}; \exists r>1, |a_{n_1,\dots,n_m}|_pr^{n_1+\cdots+n_m}\to 0\quad(n_1+\cdots+n_m\to\infty)\right\} \end{align}
によって定義する. $\QQ_p\langle x_1,\dots,x_m\rangle^{\dagger}$の係数の条件はある定数$c>0,\quad C$があって,
\begin{align} v_p(a_{n_1,\dots,n_m})\geq c(n_1+\cdots+n_m)-C \end{align}
が任意の$n_1,\dots,n_m\geq 0$について成り立つという条件と同値である. これを過収束条件という.
\begin{align} u=\frac 1z,\quad v=\frac 1{1-z} \end{align}
とすると
\begin{align} R=\QQ_p[z,u,v]/(zu-1,(1-z)v-1) \end{align}
である. これを用いて
\begin{align} R^{\dagger}=\QQ_p\langle z,u,v\rangle^{\dagger}/(zu-1,(1-z)v-1) \end{align}
によって定義する. つまり, $R^{\dagger}$の元は
\begin{align} \sum_{0\leq i,j,k}a_{i,j,k}z^i z^{-j}(1-z)^{-k} \end{align}
の形で表すことができ, 係数$a_{i,j,k}$が過収束条件を満たすものである.

解析関数の空間としての$R^\dagger$

$\PP_{\QQ_p}^{1,\mathrm{an}}$を$p$進解析空間としての$\PP_{\QQ_p}^1$とする. $\overline{\FF}_p$を$\FF_p$の代数閉包として, 特殊化写像
\begin{align} \mathrm{sp}:\PP^{1,\mathrm{an}}_{\QQ_p}\to \PP_{\overline{\FF}_p}^1 \end{align}
を
\begin{align} \mathrm{sp}(z):=\begin{cases} 0 && |z|_p<1\\ z\pmod p && |z|_p=1\\ \infty && |z|_p>1 \end{cases} \end{align}
によって定め, それに関する$X_0:=\PP_{\FF_p}^1\setminus\{0,1,\infty\}$の逆像$]X_0[=\mathrm{sp}^{-1}(X_0)$を考える. この$\CC_p$点は
\begin{align} ]X_0[(\CC_p)=\{z\in\CC_p;|z|_p=1,\quad|1-z|_p=1\} \end{align}
と表される. $0<\eta <1$に対し
\begin{align} V_{\eta}:=\{z;\eta\leq |z|_p\leq \eta^{-1},\quad |1-z|_p\geq \eta\} \end{align}
とする. これは$]X_0[$を広げたものである. $f(z)$が$V_\eta$上の$\QQ_p$-rigid解析関数であるとは
\begin{align} f(z)=\sum_{0\leq i,j,k}a_{i,j,k}z^i z^{-j}(1-z)^{-k},\qquad a_{i,j,k}\in\QQ_p \end{align}
の形で表され,
\begin{align} |a_{i,j,k}|_p\eta^{-(i+j+k)}\to 0,\qquad(i+j+k\to\infty) \end{align}
を満たすものとする. そのような関数全体を$\mathcal{O}_{\QQ_p}(V_{\eta})$とする. $R^\dagger$の元$f$は過収束条件から$\eta$を十分$1$に近くとれば, $f$が$V_{\eta}$上で解析的になるようにできるようなものである. よって,
\begin{align} R^{\dagger}\simeq \varinjlim_{\eta\to 1^-}\mathcal{O}_{\QQ_p}(V_{\eta}) \end{align}
が成り立つことが分かる.

KZ方程式

$R$上のKZ方程式は形式的には
\begin{align} dG=\left(A\frac{dz}{z}+B\frac{dz}{z-1}\right)G \end{align}
と表されるものである. ここで, $d$は通常の$p$進微分
\begin{align} df=f'(z)dz \end{align}
である. ここで, $A,B$は互いに可換とは仮定しない不定元である. まず, 有限次数近似を考える.
\begin{align} V_N&=\QQ_p\langle A,B\rangle/(A,B)^{N+1}\\ E_N&=R\otimes_{\QQ_p}V_N \end{align}
として, $\nabla_N:E_N\to E_N\otimes_R\Omega_{R/\QQ_p}^1$を
\begin{align} \nabla_N(g)=dg-\left(A\frac{dz}{z}+B\frac{dz}{z-1}\right)g \end{align}
によって定める. ここで, $\Omega_{R/\QQ_p}^1:=R\,dz$である.

このhorizontal conditionは$\nabla_N(g)=0$は
\begin{align} dg=\left(A\frac{dz}z+B\frac{dz}{z-1}\right)g \end{align}
となり, KZ方程式に一致する. $V_N$に語の長さによるfiltration
\begin{align} F^rV_N:=(A,B)^rV_N \end{align}
を入れると
\begin{align} V_N=F^0V_N\supset F^1V_N\supset\cdots\supset F^{N+1}V_N=0 \end{align}
となる.
\begin{align} AF^rV_N,BF^rV_N\subset F^{r+1}V_N \end{align}
であるから, $F^rE_N=R\otimes_{\QQ_p}F^rV_N$は接続$\nabla_N$で保たれ,
\begin{align} F^rE_N/F^{r+1}E_N \end{align}
の上では$A,B$の作用が$0$となり, 単に$d$に一致する. このような性質を$(E_N,\nabla_N)$はべき単接続であるという. 自然な射影
\begin{align} V_{N+1}\to V_N \end{align}
があるので, 極限によって,
\begin{align} E_{KZ}:=\varprojlim_{N}\,E_N=R\langle\langle A,B\rangle\rangle \end{align}
と定義する. $\nabla_{\mathrm{KZ}}:E_{\mathrm{KZ}}\to E_{\mathrm{KZ}}\otimes_R\Omega_{R/\QQ_p}^1$を
\begin{align} \nabla_{\mathrm{KZ}}(g)=dg-\left(A\frac{dz}{z}+B\frac{dz}{z-1}\right)g \end{align}
で定める.

KZ方程式の係数の拡張

次に,$R\to R^\dagger$と係数を拡張する. $E_N^\dagger=R^\dagger\otimes_{\QQ_p} V_N$として,
\begin{align} \nabla_N^\dagger(g)=dg-\left(A\frac{dz}z+B\frac{dz}{z-1}\right)g \end{align}
と定義する. $R^{\dagger}$の元$f$を
\begin{align} f(z)=\sum_{0\leq i,j,k}a_{i,j,k}z^{i-j}(1-z)^{-k} \end{align}
表す. ここで, $a_{i,j,k}$は過収束条件を満たすものとする. このとき,
\begin{align} &d\sum_{0\leq i,j,k}a_{i,j,k}z^{i-j}(1-z)^{-k}\\ &=\sum_{0\leq i,j,k}(i-j)a_{i,j,k}z^{i-j-1}(1-z)^{-k}\,dz\\ &\qquad+\sum_{0\leq i,j,k}ka_{i,j,k}z^{i-j}(1-z)^{-k-1}\,dz \end{align}
であるから, $df\in\Omega_{R^\dagger/\QQ_p}^1=:R^\dagger\,dz$である. よって, 微分$d:R^\dagger\to \Omega_{R^\dagger/\QQ_p}^1$がwell-definedである. 先ほどと全く同様の議論により, filtration$F^rE_N^\dagger$を入れると$(E_N^\dagger, \nabla_N^\dagger)$はべき単接続である. よって同じように
\begin{align} E_{\mathrm{KZ}}^\dagger=\varprojlim_{N}\,E_N^\dagger=R^\dagger\langle\langle A,B\rangle\rangle \end{align}
として, $\nabla_{\mathrm{KZ}}^{\dagger}:E_{\mathrm{KZ}}^{\dagger}\to E_{\mathrm{KZ}}^{\dagger}\otimes_{R^\dagger}\Omega_{R^{\dagger}/\QQ_p}^1$を全く同じ形で
\begin{align} \nabla_{\mathrm{KZ}}^{\dagger}(g)=dg-\left(A\frac{dz}{z}+B\frac{dz}{z-1}\right)g \end{align}
と定める.

Frobeniusリフト

$X_0=\PP_{\FF_p}^1\setminus\{0,1,\infty\}$において, Frobenius$F:X_0\to X_0$を$z\mapsto z^p$によって定義する. $R^\dagger$は$\QQ_p$代数なので, そのままでは一般に$\mathrm{mod}\,\,p$できない.
\begin{align} A&:=\ZZ_p[z,u,v]/(zu-1,(1-z)v-1)\\ A^\dagger&:=\ZZ_p\langle z,u,v\rangle^\dagger/(zu-1,(1-z)v-1) \end{align}
とする. このとき, 定義から$R^\dagger=A^\dagger\left[\frac 1p\right]$である.
\begin{align} A^\dagger/pA^\dagger\simeq \FF_p[z,u,v]/(zu-1,(1-z)v-1) \end{align}
であるから, $\overline{f}\in A^\dagger/pA^\dagger$に対し, Frobenius$\overline{f}\mapsto \overline{f}^p$が定まる. ここで, Frobeniusリフトとは
\begin{align} \sigma:A^\dagger\to A^\dagger \end{align}
であって, 任意の$f\in A^\dagger$に対し, $\sigma(f)\equiv f^p\pmod p$が成り立つような環準同型のことである. Frobeniusリフトは$R^\dagger=A^\dagger[1/p]$に対して拡張できる.

この定理1が成り立つことは, $R$ではなく$R^\dagger$を考える重要な理由の1つである.
\begin{align} \frac 1{1-z^p}=\frac 1{(1-z)(1+z+\cdots+z^{p-1})}\end{align}
は非自明な$p$乗根を極に持つから, 一般に$\frac 1{1-z^p}\notin R$であり, $z\mapsto z^p$は$R\to R$という準同型を与えない. しかし, $R^\dagger$に広げることによって$R^\dagger\to R^\dagger$が準同型になるという利点がある.

微分形式のFrobenius引き戻し

Frobenius$\sigma$による微分形式の引き戻し$\sigma^*:\Omega_{R^\dagger/\QQ_p}^1\to\Omega_{R^\dagger/\QQ_p}^1$が得られる. 例を挙げると,
\begin{align} &\sigma^*\left(\frac{dz}{z}\right)=\frac{d(z^p)}{z^p}=p\frac{dz}z\\ &\sigma^*\left(\frac{dz}{z-1}\right)=\frac{d(z^p)}{z^p-1}=\frac{pz^{p-1}\,dz}{z^p-1} \end{align}
のようになる.