自作問題あなぐら特別編（とあるロックバンドの結成20周年を称えて）

問題

　空間内に四面体$\mathrm{OABC}$がある．3辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$は互いに直交しており，長さはそれぞれ${\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{3}}$，${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$，${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$である．動点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$はそれぞれ$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上（ただし，両端も含む）を動くとする．$\mathrm{△}\mathrm{STU}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\mathrm{△}\mathrm{USG}$の面積の最大値を求めよ．

余話

　表題にもある通り，僕が（なんやかんやで中学生時代から）ファンである， UNISON SQUARE GARDEN というバンドの結成20周年を記念した問題です．あれです，『シュガーソングとビターステップ』のバンドです．何気に9年前の曲なので，今の中高生はこの曲を知らないらしいです．おじさん，ひとり涙．　ユニゾンファン（がいるか分かりませんが）の皆さんはこの問題を解いて，ちゃんと幸せになる準備をしましょう．
　という訳で，7/25『オーケストラを観にいこう』，7/26『fun time 歌小屋』へ行ってきます！ちなみにバンド結成日である本日7/24のライブ『ROCK BAND is fun』は外れました．くやしい．

解答

解答１（ゴリゴリと！）

　3辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$に沿って3軸をとり，点$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$座標系をとる．すると
$$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=(s,0,0),\overrightarrow{\mathrm{OT}}=(0,t,0),\overrightarrow{\mathrm{OU}}=(0,0,u)$$
となる．ただし$0\le s\le {\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{3}}$，$0\le t\le {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$，$0\le u\le {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$．
　よって
$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}=\frac{1}{3}(s,t,u)$$
ゆえ
$$\overrightarrow{\mathrm{GS}}=\frac{1}{3}(-s,-t,2u),\overrightarrow{\mathrm{GU}}=\frac{1}{3}(2s,-t,-u).$$
したがって
$$\begin{array}{rl}\mathrm{△}\mathrm{USG}& =\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{GS}}{|}^2|\overrightarrow{\mathrm{GU}}{|}^2-(\overrightarrow{\mathrm{GS}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GU}}{)}^2}\\ & =\frac{1}{6}\sqrt{s^2{t}^2+t^2{u}^2+u^2{s}^2}.\end{array}$$
$s$，$t$，$u$は独立に動くので，各々が最大のときに$\mathrm{△}\mathrm{USG}$は最大となる．計算すると，$\mathrm{△}\mathrm{USG}$の最大値は
$$max\mathrm{△}\mathrm{USG}=\frac{7}{24}.$$

解答２（よく見ると………？）

　$\mathrm{G}$の性質より，辺$\mathrm{US}$を底辺とみたとき，$\mathrm{△}\mathrm{USG}$の高さは$\mathrm{△}\mathrm{STU}$の高さの${\displaystyle \frac{1}{3}}$倍である．したがって
$$\mathrm{△}\mathrm{USG}=\frac{1}{3}\mathrm{△}\mathrm{STU}$$
ゆえ$\mathrm{△}\mathrm{STU}$が最大のときに$\mathrm{△}\mathrm{USG}$も最大値をとる．
　$\mathrm{△}\mathrm{STU}$について，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をまず固定すると，面積が最大となるのは$\mathrm{ST}$に対する高さが最大になるときだから$\mathrm{U}=\mathrm{C}$のとき．同様に考えると，$\mathrm{△}\mathrm{STU}$が最大になるのは$\mathrm{S}=\mathrm{A}$，$\mathrm{T}=\mathrm{B}$，$\mathrm{U}=\mathrm{C}$のとき．よって，このとき$max\mathrm{△}\mathrm{STU}=\mathrm{△}\mathrm{ABC}$．$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{{\displaystyle \frac{29}{12}}}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$なる二等辺三角形で，$\mathrm{BC}$を底辺とみたときの高さは$\sqrt{{\displaystyle \frac{29}{12}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle \frac{3}{2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{49}{24}}}$となるから
$$\mathrm{△}\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\times \mathrm{BC}\times \sqrt{\frac{49}{24}}=\frac{7}{8}.$$
以上より
$$max\mathrm{△}\mathrm{USG}=\frac{1}{3}\times \frac{7}{8}=\frac{7}{24}.$$