自作問題あなぐら特別編（とあるロックバンドの結成20周年を称えて）

問題

　空間内に四面体$\mathrm{OABC}$がある．3辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$は互いに直交しており，長さはそれぞれ$\dfrac{\sqrt{15}}{3}$，$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$である．動点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$はそれぞれ$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上（ただし，両端も含む）を動くとする．$\triangle\mathrm{STU}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\triangle\mathrm{USG}$の面積の最大値を求めよ．

余話

　表題にもある通り，僕が（なんやかんやで中学生時代から）ファンである， UNISON SQUARE GARDEN というバンドの結成20周年を記念した問題です．あれです，『シュガーソングとビターステップ』のバンドです．何気に9年前の曲なので，今の中高生はこの曲を知らないらしいです．おじさん，ひとり涙．　ユニゾンファン（がいるか分かりませんが）の皆さんはこの問題を解いて，ちゃんと幸せになる準備をしましょう．
　という訳で，7/25『オーケストラを観にいこう』，7/26『fun time 歌小屋』へ行ってきます！ちなみにバンド結成日である本日7/24のライブ『ROCK BAND is fun』は外れました．くやしい．

解答

解答１（ゴリゴリと！）

　3辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$に沿って3軸をとり，点$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$座標系をとる．すると
$$ \Lvec{OS} = (s,\ 0,\ 0), \quad \Lvec{OT} = (0,\ t,\ 0), \quad \Lvec{OU} = (0,\ 0,\ u) $$
となる．ただし$0 \leq s \leq \dfrac{\sqrt{15}}{3}$，$0 \leq t \leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$0 \leq u \leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
　よって
$$ \Lvec{OG} = \frac{\Lvec{OA} + \Lvec{OB} + \Lvec{OC}}{3} = \frac{1}{3} (s,\ t,\ u) $$
ゆえ
$$ \Lvec{GS} = \frac{1}{3} (-s,\ -t,\ 2u), \qquad \Lvec{GU} = \frac{1}{3} (2s,\ -t,\ -u). $$
したがって
\begin{align} \triangle\mathrm{USG} &= \frac{1}{2} \sqrt{|\Lvec{GS}|^2 |\Lvec{GU}|^2 - (\Lvec{GS} \cdot \Lvec{GU})^2} \\ &= \frac{1}{6} \sqrt{s^2 t^2 + t^2 u^2 + u^2 s^2}. \end{align}
$s$，$t$，$u$は独立に動くので，各々が最大のときに$\triangle\mathrm{USG}$は最大となる．計算すると，$\triangle\mathrm{USG}$の最大値は
$$ \max{\triangle\mathrm{USG}} = \frac{7}{24}. $$

解答２（よく見ると………？）

　$\mathrm{G}$の性質より，辺$\mathrm{US}$を底辺とみたとき，$\triangle\mathrm{USG}$の高さは$\triangle\mathrm{STU}$の高さの$\dfrac{1}{3}$倍である．したがって
$$ \triangle\mathrm{USG} = \frac{1}{3} \triangle\mathrm{STU} $$
ゆえ$\triangle\mathrm{STU}$が最大のときに$\triangle\mathrm{USG}$も最大値をとる．
　$\triangle\mathrm{STU}$について，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をまず固定すると，面積が最大となるのは$\mathrm{ST}$に対する高さが最大になるときだから$\mathrm{U} = \mathrm{C}$のとき．同様に考えると，$\triangle\mathrm{STU}$が最大になるのは$\mathrm{S} = \mathrm{A}$，$\mathrm{T} = \mathrm{B}$，$\mathrm{U} = \mathrm{C}$のとき．よって，このとき$\max\triangle\mathrm{STU} = \triangle\mathrm{ABC}$．$\triangle\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB} = \mathrm{AC} = \sqrt{\dfrac{29}{12}}$，$\mathrm{BC} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$なる二等辺三角形で，$\mathrm{BC}$を底辺とみたときの高さは$\sqrt{\dfrac{29}{12} - \dfrac{1}{4} \dfrac{3}{2}} = \sqrt{\dfrac{49}{24}}$となるから
$$ \triangle\mathrm{ABC} = \frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \sqrt{\frac{49}{24}} = \frac{7}{8}. $$
以上より
$$ \max \triangle \mathrm{USG} = \frac{1}{3} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{24}. $$