(2/3)_nが入った級数について
少し前に
Twitterに投稿した問題
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 23\right)_n^2}{n!^2(3n+1)^2}&=\text{?}
\end{align}
について解説する. 結果は以下のようになる.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 23\right)_n^2}{n!^2(3n+1)^2}&=\frac{\Gamma\left(\frac 13\right)^4}{27\Gamma\left(\frac 23\right)^2} \end{align}
まず,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 23\right)_n^2}{n!^2\left(n+\frac 13\right)^2}&=\frac 1{\Gamma\left(\frac 13\right)\Gamma\left(\frac 23\right)}\int_0^1\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 23\right)_n}{n!\left(n+\frac 13\right)^2}u^{n+\frac 13}\cdot \frac{du}{(u(1-u))^{\frac 23}}\\
&=\frac 1{\Gamma\left(\frac 13\right)\Gamma\left(\frac 23\right)}\int_{0< s< t< u<1}\frac{ds}{(s(1-s))^{\frac 23}}\frac{dt}{t}\frac{du}{(u(1-u))^{\frac 23}}\\
&=\frac 1{\Gamma\left(\frac 13\right)\Gamma\left(\frac 23\right)}\int_{0< s< t< u<1}\frac{ds}{(s(1-s))^{\frac 23}}\frac{dt}{1-t}\frac{du}{(u(1-u))^{\frac 23}}\qquad(s,t,u)\mapsto (1-u,1-t,1-s)\\
&=\frac 1{\Gamma\left(\frac 13\right)\Gamma\left(\frac 23\right)}\int_0^1\sum_{0\leq n< m}\frac{\left(\frac 23\right)_n}{n!\left(n+\frac 13\right)}\frac{u^{m+\frac 13}}{m+\frac 13}\frac{du}{(u(1-u))^{\frac 23}}\\
&=\sum_{0\leq n< m}\frac{\left(\frac 23\right)_n}{n!\left(n+\frac 13\right)}\frac{\left(\frac 23\right)_m}{m!\left(m+\frac 13\right)}\\
&=\frac 12\left(\left(\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 23\right)_n}{n!\left(n+\frac13\right)}\right)^2-\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 23\right)_n^2}{n!^2\left(n+\frac 13\right)^2}\right)
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 23\right)_n^2}{n!^2\left(n+\frac 13\right)^2}&=\frac 13\left(\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 23\right)_n}{n!\left(n+\frac13\right)}\right)^2
\end{align}
が得られる. ここで,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 23\right)_n}{n!\left(n+\frac13\right)}&=\int_0^1\frac{dt}{(t(1-t))^{\frac 23}}\\
&=\frac{\Gamma\left(\frac 13\right)^2}{\Gamma\left(\frac 23\right)}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 23\right)_n^2}{n!^2\left(3n+1\right)^2}&=\frac{\Gamma\left(\frac 13\right)^4}{27\Gamma\left(\frac 23\right)^2}
\end{align}
を得る.
この問題は, 超幾何級数で書き表すと
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 23\right)_n^2}{n!^2(3n+1)^2}&=\F43{\frac 23,\frac 23,\frac 13,\frac 13}{1,\frac 43,\frac 43}1
\end{align}
と${}_4F_3$で書き表されるが, 一般の
\begin{align}
\F43{a,b,c,d}{1+a-b,1+a-c,1+a-d}{1}
\end{align}
に対する和公式はないということもあって, 超幾何級数の観点から証明を与えるのは比較的難しいと思われる.
