随伴の確認方法(自由とは、忘却関手の左随伴？)
2つの関手$F:\mathcal C\to\mathcal D,\ G:\mathcal D\to\mathcal C$を考える. $(F,G)$が随伴関手(adjoint Functor)であるとは, $c\in\mathcal C,\ d\in\mathcal D$に対して自然な同型
\begin{align}
\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(c),d)\cong \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(c,G(d))
\end{align}
が成り立つときをいう($F$を$G$の左随伴, $G$を$F$の右随伴といい, $F\dashv G:\mathcal C\to\mathcal D$, または単に$F\dashv G$とかく). このとき, 以下の定理が成り立つnakamura.
$F:\mathcal C\to\mathcal D$と$G:\mathcal D\to\mathcal C$を関手とする. このとき, $F\dashv G$であることと, 下の2つの図式(三角等式と呼ばれる)が可換となる2つの自然変換$\eta:1_{\mathcal C}\Rightarrow GF,\ \epsilon:FG\Rightarrow1_{\mathcal D}$が存在することと同値である($\eta$をunit, $\epsilon$をcounitという).
\begin{xy}
\xymatrix{
F\ar[dr]^{1_F}\ar[d]_{F\eta}&&G\ar[r]^{\eta_G}\ar[dr]_{1_G}&GFG\ar[d]^{G\epsilon}\\
FGF\ar[r]_{\epsilon_F}&F&&G
}
\end{xy}
よって, ある関手$F,G$が与えられたとき, これらが随伴かどうかを確認するにはunit, counitを具体的に構成すればよい.
$F:\mathbf{Set}\to\mathbf{Grp}$を自由関手, $U:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$を忘却関手とする. このとき$F\dashv U$であることを見る. 自然変換$\eta:1_{\mathcal C}\Rightarrow UF,\ \epsilon:FU\Rightarrow1_{\mathcal D}$を, $S\in\mathbf{Set},\ G\in\mathbf{Grp},\ x\in S,\ g\in FU(G)$に対して
\begin{align}
\eta_S(x)&:=x,\\
\epsilon_{G}(g)&:=g
\end{align}
とすれば, $\eta,\ \epsilon$はそれぞれunit, counitとなる.
