積分のおはなし

この記事は極限、微分を理解している前提で解説をします。まだ習っていない、若しくは習ったけど覚えきれていないという方は以下のリンクからそれぞれ理解しましょう。
極限のはなし
 微分のはなし
大学レベルの積分の話は登場しません。また別の回で書こうかなとか思ってたり思ってなかったり。

はじめに

「積分ってなんだよ！」
「微分の逆だよ！」
「じゃあ微分ってなんだよ！」
「積分の逆だよ！」
っていう会話を聞いたことがあるかもしれません。でも、初めて聞いた人はこれの意味が全くわからないと思います。

積分とは

積分は微分の逆です❗

って言ったらブラウザバック不可避ですね。ちゃんと解説します。
まず、積分について。こいつ、不定積分と定積分という二種類が存在します。

不定積分と定積分

まず、不定積分とは「原始関数」を求めることを指します。
関数$f(x)$とそれの導関数$f'(x)$があったとき、$f'(x)$から$f(x)$を求めることを「積分する」といいます。(~~定積分のときも積分するって言うので紛らわしいですが...~~)
定積分とは「面積を求める」ことを指します。回転体の体積も積分で扱うことができますが今回は割愛します。

微分と積分の関係は以下のように表すことができます。

微分積分学の第一基本定理

$\frac{d}{dx} \int f(x)dx=f(x) $

名前は覚えなくてもいいので微分と積分の関係をぜひ理解してみてください。

微分積分学の第二基本定理

$f(x)の原始関数をF(x)とするとき$
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

積分って、どうやるの？

上の方では$f'(x)$から$f(x)$を求めることを「積分する」と書きました。でもいきなり積分しろって言われても、慣れてる人じゃないと難しくないですか？
というわけで具体例を使いながら積分の仕方を解説します。
定積分は求めた原始関数に代入をするだけなので省略。

$f^{\prime}(x)=2x$

微分したら$2x$になる関数を考えてみます。
これは比較的想像がしやすいですね。
$f(x)=x^2+1$などが挙げられます。
「あれ？$x^2$じゃないの？」と思った方。それも正しいです。これ、なんで定数項が入ってるかというと定数項は微分すると消えるという性質があります。導関数の定義を考えてみたらわかりますね。また、グラフからも、傾きが$0$とわかります。なので不定積分って答えが一つに定まらないんですよね。ただ、自然数って無限に存在してしまいます。それを毎回全部は書けないので、まとめて$C$と書きます。(よく積分定数と呼ばれます。)
なので、不定積分は以下のように表されます。

$F(x)をf(x)の原始関数とする$

$\int f(x)dx=F(x)+C$

自然数が無限にあることの簡単な証明も載せておきますね。

自然数が無限に存在することの証明

自然数が有限個であると仮定したとき
最大の自然数を$n$と定義できる。
しかし、$n+1$は自然数かつ$n+1>n$を満たすため
$n$が最大の自然数であることに矛盾する。
よって自然数は無限に存在する。

積分をしてみよう

後ろに練習問題を載せておくのでぜひ解いてみましょう。

一概に積分すると言っても、すべての関数が積分できるわけではないんですね。というか、基本的に解ける積分はかなり少ないです。高校では数少ない解ける積分を扱います。

$(1)\int x^2dx$$(2)\int cosxdx$

$(1)$から考えてみましょう。
係数を無視して考えます。微分して$x^2$になる関数は$x^3$とわかりますね。ここで、先程無視した係数を考えます。
$(x^3)^{\prime}=3x^2$となりますが、係数の$3$が余分ですね。$\frac{1}{3}x^3$なら、微分して$x^2$になります。よって,この問題の答えは$\frac{1}{3}x^3+C$となります。
$(2)$を考えてみましょう。
微分して$cosx$になる関数は、前回の記事でも分かる通り$sinx$ですね。
なので答えは$sinx+C$となります。