2026作問　part2

$(1)$ 自然数積$mk$は偶数であって,正の約数の個数と総和がそれぞれが$6$個,$7098$である.
　　　　このような自然数の組$(k,m)$を一つ定めよ.

$(2)$ $n$を自然数,$k,m$を$(1)$で定めたものとし,　$a_{n},b_{n},c_{n},d_{n}$を次のように定める.
　 $ \ $$a_{n}= \displaystyle \sum_{k=0}^{n} { {}_n \mathrm{ C }_k }^{2} $
　 $ \ $$b_{n}=$(相異なる二つの二項係数${}_n \mathrm{ C }_k$($k=0,1,2, \cdots,n $)の積の総和)
　 $ \ $$c_{n}=\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ,$ $ \ $ $ \ $ $\displaystyle d_{n}=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$
　また,実数$a$に対し,関数$f_{a}(x),g(a)$を次のように定める.

　$\displaystyle f_{a}(x)=e^{-(x-4)^{2}}\frac{m(\sqrt{ak})^{x} }{(a^{2}+k)^{2}}$ 　,　　$\displaystyle g(a)= \lim_{n \to \infty}n \int_{c_{n}}^{d_{n}}f_{a}(x)dx $

　あなたの好きな実数$a$を一つ決めて$g(a)$の整数部分を求めよ.
　その値をこの設問におけるあなたの得点とする.