(m!n!/(m+n)!)³ を含む級数

　この記事では，${\displaystyle {\left(\frac{m!n!}{(m+n)!}\right)}^3}$ を含む級数が満たす等式を証明する．

　証明１
$$f_k(n)=\sum _{m<a}\frac{(-1{)}^a(2a+n)}{a^k}{\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)}^3$$
　とおく．等式
$$\begin{array}{rl}& (-1{)}^a{\left(\frac{(a-1)!}{(a+n-1)!}\right)}^3-(-1{)}^{a+1}{\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)}^3 \\ =& (a^2+na+n^2)\frac{(-1{)}^a(2a+n)}{a^3}{\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)}^3\end{array}$$
　より，
$$\begin{array}{r} f_1(n)+n{f}_2(n)+n^2{f}_3(n)=-(-1{)}^m{\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)}^3 \end{array}$$
　すなわち
$$\begin{array}{r} \mathrm{Ⅰ} n{f}_1(n)+n^2{f}_2(n)=-n^3{f}_3(n)-n(-1{)}^m{\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)}^3 \end{array}$$
　が成り立つ．また，等式
$$\begin{array}{rl}& a(-1{)}^a{\left(\frac{(a-1)!}{(a+n-1)!}\right)}^3-(a+1)(-1{)}^{a+1}{\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)}^3 \\ =& (a^2+na+n^2)\frac{(-1{)}^a(2a+n)}{a^2}{\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)}^3+(-1{)}^a{\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)}^3\end{array}$$
　より，
$$\begin{array}{r} \mathrm{Ⅱ} n{f}_1(n)+n^2{f}_2(n)+f_0(n)+\sum _{m<a}(-1{)}^a{\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)}^3=-(m+1)(-1{)}^m{\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)}^3 \end{array}$$
　が成り立つ．ここで，
$$\begin{array}{rl}& f_0(n)+\sum _{m<a}(-1{)}^a{\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)}^3\\ & =\sum _{m<a}(-1{)}^a(2a+n+1){\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)}^3\\ & =\sum _{m\le a}(-1{)}^a(2a+n+1){\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)}^3-(2m+n+1)(-1{)}^m{\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)}^3\\ & =\sum _{m<a}\frac{(-1{)}^{a-1}(2a+n-1)}{a^3}{\left(\frac{a!}{(a+n-1)!}\right)}^3-(2m+n+1)(-1{)}^m{\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)}^3\\ & =-f_3(n-1)-(2m+n+1)(-1{)}^m{\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)}^3\end{array}$$
　であるから，式$\mathrm{Ⅰ},\mathrm{Ⅱ}$より
$$\begin{array}{rl}& -n^3{f}_3(n)-n(-1{)}^m{\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)}^3-f_3(n-1)-(2m+n+1)(-1{)}^m{\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)}^3 \\ =& -(m+1)(-1{)}^m{\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)}^3\end{array}$$
　となる．これを変形して
$$\begin{array}{r} (-1{)}^{n-1}(n-1){!}^3{f}_3(n-1)-(-1{)}^{n}n{!}^3{f}_3(n)=(-1{)}^m\frac{(-1{)}^n(m+2n)}{n^3}{\left(\frac{m!n!}{(m+n)!}\right)}^3. \end{array}$$
　したがって，
$$\begin{array}{r} (-1{)}^{n}n{!}^3{f}_3(n)=(-1{)}^m\sum _{n<a}\frac{(-1{)}^a(2a+m)}{a^3}{\left(\frac{a!m!}{(a+m)!}\right)}^3. \end{array}$$
　(証明１終わり)

　証明２
$$\begin{array}{rl}& \phantom{=}\sum _{m<a}\frac{(-1{)}^{a+n}(2a+n)}{a^3}{\left(\frac{a!n!}{(a+n)!}\right)}^3\\ & =\sum _{m<a}\frac{(-1{)}^{a}a{!}^3}{a^3}\sum _{n<b}((-1{)}^{b-1}(2a+b-1){\left(\frac{(b-1)!}{(a+b-1)!}\right)}^3-(-1{)}^b(2a+b){\left(\frac{b!}{(a+b)!}\right)}^3)\\ & =\sum _{m<a}\frac{(-1{)}^a}{a^3}\sum _{n<b}\frac{(-1{)}^{b-1}}{b^3}((2a+b-1)(a+b{)}^3+(2a+b)b^3){\left(\frac{a!b!}{(a+b)!}\right)}^3\\ & =\sum _{n<b}\frac{(-1{)}^b}{b^3}\sum _{m<a}\frac{(-1{)}^{a-1}}{a^3}((2a+b-1)(a+b{)}^3+(2a+b)b^3){\left(\frac{b!a!}{(b+a)!}\right)}^3\\ & =\sum _{n<b}\frac{(-1{)}^{b}b{!}^3}{b^3}\sum _{m<a}\frac{(-1{)}^{a-1}}{a^3}((2b+a-1)(b+a{)}^3+(2b+a)a^3){\left(\frac{a!}{(b+a)!}\right)}^3\\ & =\sum _{n<b}\frac{(-1{)}^{b+m}(2b+m)}{b^3}{\left(\frac{b!m!}{(b+m)!}\right)}^3.\end{array}$$
(証明２終わり)
　この証明と全く同様にして ${\displaystyle {\left(\frac{(1-x{)}_m(1-y{)}_n}{(1-x-y{)}_{m+n}}\right)}^3}$ 　を含む等式を示すことができ，その特殊値として
$$\begin{array}{r}\beta (2)=-\sum _{0<n}\frac{(-1{)}^n(4n-1)2^{6n}}{16n^3{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}^3}\end{array}$$
　などを得る．このような証明方法に興味がある者は，実際に手を動かして計算してみるとよい．