この記事では,$\displaystyle\left(\frac{m!n!}{(m+n)!}\right)^3$ を含む級数が満たす等式を証明する.
証明1
$$ f_k(n)=\sum_{m< a}\frac{(-1)^a(2a+n)}{a^k}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3 $$
とおく.等式
\begin{align*}
&(-1)^a\left(\frac{(a-1)!}{(a+n-1)!}\right)^3-(-1)^{a+1}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3 \\
={}&(a^2+na+n^2)\frac{(-1)^a(2a+n)}{a^3}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3
\end{align*}
より,
\begin{align*}
f_1(n)+nf_2(n)+n^2f_3(n)=-(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3
\end{align*}
すなわち
\begin{align}
Ⅰ nf_1(n)+n^2f_2(n)=-n^3f_3(n)-n(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3
\end{align}
が成り立つ.また,等式
\begin{align*}
&a(-1)^a\left(\frac{(a-1)!}{(a+n-1)!}\right)^3-(a+1)(-1)^{a+1}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3 \\
={}&(a^2+na+n^2)\frac{(-1)^a(2a+n)}{a^2}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3+(-1)^a\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3
\end{align*}
より,
\begin{align*}
Ⅱ nf_1(n)+n^2f_2(n)+f_0(n)+\sum_{m< a}(-1)^a\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3=-(m+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3
\end{align*}
が成り立つ.ここで,
\begin{align*}
&\hspace{16pt}f_0(n)+\sum_{m< a}(-1)^a\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3\\
&=\sum_{m< a}(-1)^a(2a+n+1)\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3\\
&=\sum_{m\le a}(-1)^a(2a+n+1)\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3-(2m+n+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3\\
&=\sum_{m< a}\frac{(-1)^{a-1}(2a+n-1)}{a^3}\left(\frac{a!}{(a+n-1)!}\right)^3-(2m+n+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3\\
&=-f_3(n-1)-(2m+n+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3
\end{align*}
であるから,式$Ⅰ,Ⅱ$より
\begin{align*}
&-n^3f_3(n)-n(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3-f_3(n-1)-(2m+n+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3 \\
=&-(m+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3
\end{align*}
となる.これを変形して
\begin{align*}
(-1)^{n-1}(n-1)!^3f_3(n-1)-(-1)^nn!^3f_3(n)=(-1)^m\frac{(-1)^{n}(m+2n)}{n^3}\left(\frac{m!n!}{(m+n)!}\right)^3.
\end{align*}
したがって,
\begin{align*}
(-1)^nn!^3f_3(n)=(-1)^m\sum_{n< a}\frac{(-1)^{a}(2a+m)}{a^3}\left(\frac{a!m!}{(a+m)!}\right)^3.
\end{align*}
(証明1終わり)
証明2
\begin{align*}
&\phantom{={}}\sum_{m< a}\frac{(-1)^{a+n}(2a+n)}{a^3}\left(\frac{a!n!}{(a+n)!}\right)^3\\
&=\sum_{m< a}\frac{(-1)^aa!^3}{a^3}\sum_{n< b}\left((-1)^{b-1}(2a+b-1)\left(\frac{(b-1)!}{(a+b-1)!}\right)^3-(-1)^b(2a+b)\left(\frac{b!}{(a+b)!}\right)^3\right)\\
&=\sum_{m< a}\frac{(-1)^a}{a^3}\sum_{n< b}\frac{(-1)^{b-1}}{b^3}((2a+b-1)(a+b)^3+(2a+b)b^3)\left(\frac{a!b!}{(a+b)!}\right)^3\\
&=\sum_{n< b}\frac{(-1)^b}{b^3}\sum_{m< a}\frac{(-1)^{a-1}}{a^3}((2a+b-1)(a+b)^3+(2a+b)b^3)\left(\frac{b!a!}{(b+a)!}\right)^3\\
&=\sum_{n< b}\frac{(-1)^bb!^3}{b^3}\sum_{m< a}\frac{(-1)^{a-1}}{a^3}((2b+a-1)(b+a)^3+(2b+a)a^3)\left(\frac{a!}{(b+a)!}\right)^3\\
&=\sum_{n< b}\frac{(-1)^{b+m}(2b+m)}{b^3}\left(\frac{b!m!}{(b+m)!}\right)^3.
\end{align*}
(証明2終わり)
この証明と全く同様にして $\displaystyle\left(\frac{(1-x)_m(1-y)_n}{(1-x-y)_{m+n}}\right)^3$ を含む等式を示すことができ,その特殊値として
\begin{align*}
\beta(2)=-\sum_{0< n}\frac{(-1)^n(4n-1)2^{6n}}{16n^3\binom{2n}n^3}
\end{align*}
などを得る.このような証明方法に興味がある者は,実際に手を動かして計算してみるとよい.