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(m!n!/(m+n)!)³ を含む級数

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$$\newcommand{ba}[0]{\begin{align}} \newcommand{bold}[0]{\boldsymbol} \newcommand{con}[2]{\textbf{Conjecture #1.#2.}} \newcommand{def}[2]{\textbf{Definition #1.#2.}} \newcommand{ea}[0]{\end{align}} \newcommand{ex}[2]{\textbf{Example #1.#2.}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{lem}[2]{\textbf{Lemma #1.#2.}} \newcommand{prf}[0]{\mathit{Proof.}} \newcommand{pro}[2]{\textbf{Proposition #1.#2.}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{thm}[2]{\textbf{Theorem #1.#2.}} \newcommand{title}[2]{\mathrm{#1\small{#2}}} $$

 この記事では,$\displaystyle\left(\frac{m!n!}{(m+n)!}\right)^3$ を含む級数が満たす等式を証明する.

定理
\begin{align*} &(-1)^n\sum_{m< a}\frac{(-1)^a(2a+n)}{a^3}\left(\frac{a!n!}{(a+n)!}\right)^3\\ ={}&(-1)^m\sum_{n< a}\frac{(-1)^a(2a+m)}{a^3}\left(\frac{a!m!}{(a+m)!}\right)^3 \end{align*}

 証明
$$ f_k(n)=\sum_{m< a}\frac{(-1)^a(2a+n)}{a^k}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3 $$
 とおく.等式
\begin{align*} &(-1)^a\left(\frac{(a-1)!}{(a+n-1)!}\right)^3-(-1)^{a+1}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3 \\  ={}&(a^2+na+n^2)\frac{(-1)^a(2a+n)}{a^3}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3 \end{align*}
 より,
\begin{align*}  f_1(n)+nf_2(n)+n^2f_3(n)=-(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3  \end{align*}
 すなわち
\begin{align}  Ⅰ  nf_1(n)+n^2f_2(n)=-n^3f_3(n)-n(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3  \end{align}
 が成り立つ.また,等式
\begin{align*} &a(-1)^a\left(\frac{(a-1)!}{(a+n-1)!}\right)^3-(a+1)(-1)^{a+1}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3 \\  ={}&(a^2+na+n^2)\frac{(-1)^a(2a+n)}{a^2}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3+(-1)^a\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3 \end{align*}
 より,
\begin{align*}  Ⅱ  nf_1(n)+n^2f_2(n)+f_0(n)+\sum_{m< a}(-1)^a\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3=-(m+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3  \end{align*}
 が成り立つ.ここで,
\begin{align*} &\hspace{16pt}f_0(n)+\sum_{m< a}(-1)^a\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3\\  &=\sum_{m< a}(-1)^a(2a+n+1)\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3\\ &=\sum_{m\le a}(-1)^a(2a+n+1)\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3-(2m+n+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3\\ &=\sum_{m< a}\frac{(-1)^{a-1}(2a+n-1)}{a^3}\left(\frac{a!}{(a+n-1)!}\right)^3-(2m+n+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3\\ &=-f_3(n-1)-(2m+n+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3 \end{align*}
 であるから,式$Ⅰ,Ⅱ$より
\begin{align*} &-n^3f_3(n)-n(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3-f_3(n-1)-(2m+n+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3 \\  =&-(m+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3 \end{align*}
 となる.これを変形して
\begin{align*}  (-1)^{n-1}(n-1)!^3f_3(n-1)-(-1)^nn!^3f_3(n)=(-1)^m\frac{(-1)^{n}(m+2n)}{n^3}\left(\frac{m!n!}{(m+n)!}\right)^3.  \end{align*}
 したがって,
\begin{align*}  (-1)^nn!^3f_3(n)=(-1)^m\sum_{n< a}\frac{(-1)^{a}(2a+m)}{a^3}\left(\frac{a!m!}{(a+m)!}\right)^3.  \end{align*}
 (証明終わり)

 この証明と全く同様にして $\displaystyle\left(\frac{(1-x)_m(1-y)_n}{(1-x-y)_{m+n}}\right)^3$  を含む等式を示すことができ,その特殊値として
\begin{align*} \beta(2)=-\sum_{0< n}\frac{(-1)^n(4n-1)2^{6n}}{16n^3\binom{2n}n^3} \end{align*}
 などを得る.このような証明方法に興味がある者は,実際に手を動かして計算してみるとよい.

投稿日:2023914
更新日:68

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