(m!n!/(m+n)!)³ を含む級数

　この記事では，$\displaystyle\left(\frac{m!n!}{(m+n)!}\right)^3$ を含む級数が満たす等式を証明する．

　証明１
$$　f_k(n)=\sum_{m< a}\frac{(-1)^a(2a+n)}{a^k}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3　$$
　とおく．等式
\begin{align*} &(-1)^a\left(\frac{(a-1)!}{(a+n-1)!}\right)^3-(-1)^{a+1}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3　\\ 　={}&(a^2+na+n^2)\frac{(-1)^a(2a+n)}{a^3}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3 \end{align*}
　より，
\begin{align*} 　f_1(n)+nf_2(n)+n^2f_3(n)=-(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3　 \end{align*}
　すなわち
\begin{align} 　Ⅰ　　nf_1(n)+n^2f_2(n)=-n^3f_3(n)-n(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3　 \end{align}
　が成り立つ．また，等式
\begin{align*} &a(-1)^a\left(\frac{(a-1)!}{(a+n-1)!}\right)^3-(a+1)(-1)^{a+1}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3　\\ 　={}&(a^2+na+n^2)\frac{(-1)^a(2a+n)}{a^2}\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3+(-1)^a\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3 \end{align*}
　より，
\begin{align*} 　Ⅱ　　nf_1(n)+n^2f_2(n)+f_0(n)+\sum_{m< a}(-1)^a\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3=-(m+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3　 \end{align*}
　が成り立つ．ここで，
\begin{align*} &\hspace{16pt}f_0(n)+\sum_{m< a}(-1)^a\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3\\ 　&=\sum_{m< a}(-1)^a(2a+n+1)\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3\\ &=\sum_{m\le a}(-1)^a(2a+n+1)\left(\frac{a!}{(a+n)!}\right)^3-(2m+n+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3\\ &=\sum_{m< a}\frac{(-1)^{a-1}(2a+n-1)}{a^3}\left(\frac{a!}{(a+n-1)!}\right)^3-(2m+n+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3\\ &=-f_3(n-1)-(2m+n+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3 \end{align*}
　であるから，式$Ⅰ,Ⅱ$より
\begin{align*} &-n^3f_3(n)-n(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3-f_3(n-1)-(2m+n+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3　\\ 　=&-(m+1)(-1)^m\left(\frac{m!}{(m+n)!}\right)^3 \end{align*}
　となる．これを変形して
\begin{align*} 　(-1)^{n-1}(n-1)!^3f_3(n-1)-(-1)^nn!^3f_3(n)=(-1)^m\frac{(-1)^{n}(m+2n)}{n^3}\left(\frac{m!n!}{(m+n)!}\right)^3.　 \end{align*}
　したがって，
\begin{align*} 　(-1)^nn!^3f_3(n)=(-1)^m\sum_{n< a}\frac{(-1)^{a}(2a+m)}{a^3}\left(\frac{a!m!}{(a+m)!}\right)^3.　 \end{align*}
　(証明１終わり)

　証明２
\begin{align*} &\phantom{={}}\sum_{m< a}\frac{(-1)^{a+n}(2a+n)}{a^3}\left(\frac{a!n!}{(a+n)!}\right)^3\\ &=\sum_{m< a}\frac{(-1)^aa!^3}{a^3}\sum_{n< b}\left((-1)^{b-1}(2a+b-1)\left(\frac{(b-1)!}{(a+b-1)!}\right)^3-(-1)^b(2a+b)\left(\frac{b!}{(a+b)!}\right)^3\right)\\ &=\sum_{m< a}\frac{(-1)^a}{a^3}\sum_{n< b}\frac{(-1)^{b-1}}{b^3}((2a+b-1)(a+b)^3+(2a+b)b^3)\left(\frac{a!b!}{(a+b)!}\right)^3\\ &=\sum_{n< b}\frac{(-1)^b}{b^3}\sum_{m< a}\frac{(-1)^{a-1}}{a^3}((2a+b-1)(a+b)^3+(2a+b)b^3)\left(\frac{b!a!}{(b+a)!}\right)^3\\ &=\sum_{n< b}\frac{(-1)^bb!^3}{b^3}\sum_{m< a}\frac{(-1)^{a-1}}{a^3}((2b+a-1)(b+a)^3+(2b+a)a^3)\left(\frac{a!}{(b+a)!}\right)^3\\ &=\sum_{n< b}\frac{(-1)^{b+m}(2b+m)}{b^3}\left(\frac{b!m!}{(b+m)!}\right)^3. \end{align*}
(証明２終わり)
　この証明と全く同様にして $\displaystyle\left(\frac{(1-x)_m(1-y)_n}{(1-x-y)_{m+n}}\right)^3$ 　を含む等式を示すことができ，その特殊値として
\begin{align*} \beta(2)=-\sum_{0< n}\frac{(-1)^n(4n-1)2^{6n}}{16n^3\binom{2n}n^3} \end{align*}
　などを得る．このような証明方法に興味がある者は，実際に手を動かして計算してみるとよい．