円周率の近似計算に使われた定積分

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx}$ において$x=\tan \theta (0\le \theta \le \frac{\pi }{4})$ と変数変換すると

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^4\theta (1-\tan \theta {)}^{4}d\theta =I_8-4I_7+6I_6-4I_5+I_4}$

ここで ${\displaystyle I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^n\theta d\theta (n=0,1,2,\cdots )}$である.

${\displaystyle I_{n+2}={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\frac{1}{{\cos }^2}-1){\tan }^n\theta d\theta =\frac{1}{n+1}-I_n}$より $I_7+I_5=1/6$

また$I_8-6I_6+I_4=1/7+5I_6+I_4=8/7-I_4=80/21-4I_0=80/21-\pi$だから

求める積分値は$80/21-\pi -2/3=22/7-\pi$である.

さて${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-x^2{)}^n(|x|<1)}$より

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{\int }_0^1{x}^{2n+4}(1-x{)}^{4}dx}$

${\displaystyle =24\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{1}{(2n+9)(2n+8)(2n+7)(2n+6)(2n+5)}}$,となるから

${\displaystyle \pi =22/7-24\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{1}{(2n+9)(2n+8)(2n+7)(2n+6)(2n+5)}}$

これによって$\pi$の近似値を計算することができる．