圏論入門　#1

圏論入門#1

初めに

初めましてuchです。大学では情報系、普段は代数をちまちまと勉強しているのですが、もともと圏論に興味があったので勉強を始めるとともに投稿します。日本語でわかりやすく解説（体系的に）しているPDFは少ないなと感じたので、参考になれば幸いです。また、この記事はTom Leinster様の Basic Category theory を参考にしています。気になる方は参照してみてください。

圏ってどんなもの？？

以下を満たしているもののことを言います。

対象の集まり

圏$\mathcal{A}$には対象の集まりが存在し、$ob(\mathcal{A})$と表記します。
集合でいうところの元のようなものです。これを元として扱うと、集合全体が対象として入っている圏などを考えるときに不都合が起こりますが、今はなんとなくの理解で問題ないと思われます。
注:$A \in ob(\mathcal{A})$のことを屡$A \in \mathcal{A}$と書くことがあります。

射

任意の対象$A, B \in ob(\mathcal{A})$に対する、$A \to B$となる射の集まり$\mathcal{A}(A, B)$が存在します。この集まりが空になることもあります。
注：$\mathcal{A}(A, B)$を$Hom_{\mathcal{A}} (A, B)$や圏$\mathcal{A}$の上であることが明らかなとき単に$Hom(A, B)$と書くこともあります。
また、上記の例の射のとき、$A$をドメイン、$B$をコドメインと呼びます。

射の合成

任意の対象$A, B, C \in ob(\mathcal{A})$に対し、射$f \in \mathcal{A(A, B)}, 　g \in \mathcal{A(B, C)}$が定まっているとき、
$AからC$への射$g \circ f$が得られます。
これを射の合成といいます。合成関数、合成写像のようなものですね。

恒等射

任意の対象$A\in ob(\mathcal{A})$に対し、$\mathcal{A}(A, A)$の要素である射$id_{A}$が存在します。

圏の満たす公理

射の結合法則

$f \in \mathcal{A}(A, B),　 g \in \mathcal{A}(B, C),　 h \in \mathcal{A}(C, D)$に対し、$A$から$D$への二通りの射の合成が考えられますが、これらは等しくなります。
すなわち、$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f = h \circ g \circ f$となります。

恒等射に関する法則

任意の射$f \in \mathcal{A}(A, B)$に対し、$f \circ id_{A} = f = id_{B} \circ f$
を満たします。

可換図式について

圏について考えるとき、対象や射を書き表した図である可換図式を用いることがあります。
$$ \begin{CD} A @>f>> B \\ @VVｈV @VVgV \\ C @>i>> D \end{CD} $$
こんな感じ。これが意味するところは、$g\circ f = i \circ h$ってわけですな。

圏の例

集合の圏Set

すべての集合の集まりSetは、圏をなします。
具体的には対象をそれぞれの集合、射として写像を採用します。
恒等射は恒等写像、合成は写像の合成と思えば確かに圏になりそうですね。

群の圏Grp

すべての群の集まりGrpも、圏をなします。
対象をそれぞれの群、射として準同型写像を採用すれば、あとは同じようにできそうですね。

環の圏Rng

同様に環の集まりも圏をなします。
環上での準同型を考えればよさそうです。

位相空間の圏Top

位相空間の集まりも圏をなします。連続写像を考えればよいのですが、私は位相空間論にはかなり浅学なのであまり深く話すと無知がばれます。

最後に

いかがだったでしょうか？？
ほぼ翻訳しただけのようになってしまいましたが、、、
具体例は多く載せていますが、必ずしもその分野のことを読者の方が知っているわけではないと思うので、誰でもわかりやすい説明を心がけようと思いましたな。次回は同型射という概念についてまとめたいですな。
ではまた次回。
追記：間違っている説明などがありましたらコメントまたはXにDMいただけるとありがたいです。