微分の拡張？
自分的に微分を拡張してみたいなぁとは思っていたのですが、すでに超微分というものがあったので、どうしようかなとちょっと考えてみました
厳密性はないです...
定義
集合$U$の部分集合$G_n$とその上の二項演算$\cdot_n$を考える。
各$n$について$ ( G_n, \cdot_n ) $が群をなすとする。その単位元を$e_n$とする
- $ \forall A, \forall B \in G_n \cap G_{n+1}$
- $ \forall C \in G_{n+1}$
ただし、
- $A \cdot_n B \in G_{n+1} $
- $A \cdot_{n+1} C, B \cdot_{n+1} C \in G_n$
を満たすものについて、
次の等式が成り立つとする。
$ (A \cdot_n B) \cdot_{n+1} C = (A \cdot_{n+1} C) \cdot_n (B \cdot_{n+1} C)$
いろいろ考えていくうちのこれが必要になったので、
$$ S_f^n(g) = g \cdot_n f \cdot_n g^{-n} $$
公式
$$ A\cdot_nB=S_A^n(B\cdot_n A)=S_{B^{-n}}^n(B\cdot_n A) $$
$$ S^n_f(A) \cdot_n S^n_f(B) = S^n_f(A \cdot_n B) $$
$ e_n \cdot_{n+1} A = e_n$
$ e_n \cdot_{n+1} A = e_n$を示す
\begin{eqnarray}
e_n \cdot_{n+1} A &=& (e_n \cdot_n e_n) \cdot_{n+1} A\\
(e_n \cdot_n e_n) \cdot_{n+1} A &=& (e_n \cdot_{n+1} A) \cdot_n (e_n \cdot_{n+1} A)\\
e_n \cdot_{n+1} A &=& (e_n \cdot_{n+1} A) \cdot_n (e_n \cdot_{n+1} A)\\
e_n \cdot_{n+1} A \cdot_n (e_n \cdot_{n+1} A)^{-n} &=& (e_n \cdot_{n+1} A) \cdot_n (e_n \cdot_{n+1} A) \cdot_n (e_n \cdot_{n+1} A)^{-n}\\
e_n &=& e_n \cdot_{n+1} A
\end{eqnarray}
逆はいけないっぽい？
拡張された微分の定義
$$ \delta_{n, \epsilon} f(x) = f(x \cdot_n \epsilon) \cdot_n f^{-n}(x) $$
$$ f^{H_n}(x) = \lim_{ \epsilon \to e_n} \delta_{n, \epsilon} f(x) \cdot_{n+1} \epsilon^{-(n+1)} $$
$$ f^{H_n[g]_m}(x) = \lim_{ \epsilon \to e_n} S_g^m(\delta_{n, \epsilon} f(x)) \cdot_{n+1} \epsilon^{-(n+1)} $$
ちなみに可換なら$ f^{H_n[g]_m} = f^{H_n}$です
定義できるand使える場合のみ考えます
$f(x \cdot_n \epsilon)$を$f_\epsilon$, $f(x)$を$f_x$と省略します
拡張された微分の公式
全部関数の定義域とかがいい感じだった時とします
和の公式相当
$ (f(x) \cdot_n g(x))^{H_n} = f^{H_n}(x) \cdot_n g^{H_n[f]_n}(x) $
合成微分の公式
$ (f(g(x)))^{H_n} = f^{H_n}(g(x)) \cdot_{n+1} g^{H_n[g^{-n}]_n}(x) $
\begin{eqnarray} (f(x) \cdot_n g(x))^{H_n} &=& \lim_{\epsilon \to e_n} \delta (f(x) \cdot_n g(x)) \cdot_{n+1} \epsilon^{-(n+1)}\text{を示す} \\\\ \delta (f(x) \cdot_n g(x)) &=& (f_\epsilon \cdot_n g_\epsilon) \cdot_n (f_x \cdot_n g_x)^{-n}\\ &=& f_\epsilon \cdot_n g_\epsilon \cdot_n g^{-n}_x \cdot_n f^{-n}_x\\ &=& f_\epsilon \cdot_n f^{-n}_x \cdot_n f_x \cdot_n g_\epsilon \cdot_n g^{-n}_x \cdot_n f^{-n}_x\\ &=& \delta f \cdot_n S_{f_x}^n(g_\epsilon \cdot_n g_x)\\ &=& \delta f \cdot_n S_{f_x}^n(\delta g)\\\\ (f(x) \cdot_n g(x))^{H_n} &=& \lim_{ \epsilon \to e_n} (\delta f \cdot_n S_{f_x}^n(\delta g)) \cdot_{n+1} \epsilon^{-(n+1)}\\ &=& \lim_{ \epsilon \to e_n} (\delta f \cdot_{n+1} \epsilon^{-(n+1)} )\cdot_n( S_{f_x}^n(\delta g) \cdot_{n+1} \epsilon^{-(n+1)} )\\ &=& f^{H_n}(x) \cdot_n g^{H_n[f(x)]_m}(x) \end{eqnarray}
下は厳密性がちょっとわからない
\begin{eqnarray}
(f(g(x)))^{H_n} &=& f^{H_n}(g(x)) \cdot_n g^{H_n[g^{-n}]_n}(x)\text{を示す} \\\\
\delta (f(g(x))) &=& (f(g_\epsilon)) \cdot_n (f(g_x))^{-n}\\
&=& (f(g_x \cdot_n g_x^{-n} \cdot_n g_\epsilon \cdot_n g_x^{-n} \cdot_n g_x)) \cdot_n (f(g_x))^{-n}\\
&=& (f(g_x \cdot_n g_x^{-n} \cdot_n \delta g \cdot_n g_x)) \cdot_n (f(g_x))^{-n}\\
&=& (f(g_x \cdot_n S_{g_x^{-n}}^n(\delta g))) \cdot_n (f(g_x))^{-n}\\\\
(f(g(x)))^{H_n} &=& \lim_{ \epsilon \to e_n} (f(g_x \cdot_n S_{g_x^{-n}}^n(\delta g)) \cdot_n (f(g_x))^{-n}) \cdot_{n+1} \epsilon^{-(n+1)}\\
&=& \lim_{ \epsilon \to e_n} (f(g_x \cdot_n S_{g_x^{-n}}^n(\delta g)) \cdot_n (f(g_x))^{-n}) \cdot_{n+1} \\&& (S_{g_x^{-n}}^n(\delta g))^{-n} \cdot_{n+1}S_{g_x^{-n}}^n(\delta g) \cdot_{n+1} \epsilon^{-(n+1)}\\
&&\text{ここで、}S_{g_x^{-n}}^n(\delta g)\text{は多分} e_n\text{に行くので}\\
&=& \lim_{ \epsilon^{\prime} \to S_{g_x^{-n}}^n(\delta g)} (f(g_x \cdot_n \epsilon^{\prime}) \cdot_n (f(g_x))^{-n}) \cdot_{n+1} {\epsilon^{\prime}}^{-n} \cdot_{n+1} \\&&\lim_{ \epsilon \to e_n} S_{g_x^{-n}}^n(\delta g) \cdot_{n+1} \epsilon^{-(n+1)}\\
&=& f^{H_n}(g(x)) \cdot_{n+1} g^{H_n[g^{-n}]_n}(x)
\end{eqnarray}
やったね！
積の公式相当とか恒等関数とかはできそうになさそう？
まだ勉強していないので、全然既存の何かとぶつかってそう
ここまでよんでくださってありがとうございます！
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