曲線が囲む領域の面積/名古屋大82年理系第４問

［解答］
　$x^3-2xy+y^2=0$を$y$の２次方程式とみて，判別式$D$を考える．
$$ \frac{D}{4}=x^2-x^3=x^2(1-x) $$
$D \geqq0 $から，$0\leqq x\leqq 1$で，
$x$座標の最大な点は，$x=1$のときで，$y=1$．
点の座標は，$(1,1)$.
$$y=x \pm \sqrt{x^2-x^3}$$
$y=x + \sqrt{x^2-x^3}$の方を考える．
$$y'=1 + \sqrt{1-x}+x( \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} )$$
$$y'= \frac{2\sqrt{1-x}+2-3x}{2\sqrt{1-x}} $$
$0\leqq x\leqq 1$から，$2-3x<0$の範囲で，
$$y'= \frac{4(1-x)-(2-3x)^2}{2(2\sqrt{1-x}-2+3x)\sqrt{1-x}} $$
$$y'= \frac{-9x(x- \frac{8}{9})}{2(2\sqrt{1-x}-2+3x)\sqrt{1-x}} $$
$y'$の符号は，$x= \frac{8}{9} $の前後で＋からーに変わるので，このとき，$y$座標が最大となる．
$x= \frac{8}{9} $のとき，$y＝\frac{32}{27}$.
点の座標は，$(\frac{8}{9},\frac{32}{27})$
曲線$C$は，直線$y=x$の上側に，曲線$y=x + x\sqrt{1-x}$をとり，下側に曲線$y=x - x\sqrt{1-x}$をとる．
点$(0,0)$と$(1,1)$でつながる．
求めるべき面積を$S$とすると，
$$S= \int_{0}^{1}{(x + x\sqrt{1-x})-(x - x\sqrt{1-x})} dx$$
$$S=2 \int_{0}^{1}{x\sqrt{1-x}} dx$$
$$S=2 \int_{0}^{1}{({\sqrt{1-x}-(\sqrt{1-x})^3})} dx$$
$$S=2 \lbrack - \frac{2}{3} {(\sqrt{1-x})^3} +\frac{2}{5}{ (\sqrt{1-x})^3}\rbrack ^{1} _{0} =\frac{8}{15}$$
$x$座標の最大な点の座標は，$(1,1)$.
$y$座標が最大な点の座標は，$(\frac{8}{9},\frac{32}{27})$．
求めるべき面積は，$\frac{8}{15}$．