【証明】①fが実数の部分集合Aから実数への連続関数で、逆函数を持つ ② a_nはAの元に収束 ③f(a_n)がβに収束している　この時、a_nはf^-1(β)に収束する。

書く動機

高校数学の極限の計算で$log$を取る時によく使われているが、これに焦点を当てた証明が中々見つけられなかったので、命題と証明を作っておく。

仮定

①$f$が$A(\subseteq \mathbb{R})$の上の連続関数で、逆関数を持つ
②${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\in A}$
③$f(a_n)$が$\beta$に収束している　

結論

$a_n$は$f^{-1}(\beta )$に収束する。

証明

仮定④より、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(a_n)=\beta }$
仮定①より、$f$は$a_n$の収束先(${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\in A}$)で連続なので、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(a_n)={\displaystyle f(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n)=\beta }}$
仮定①より$f^{-1}$を作用させて、
${\displaystyle f^{-1}(f(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n))={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=f^{-1}(\beta )}}$

よって示された。

具体例

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}log(a_n)=0}$が成り立つならば、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=1}$

仮定を壊して作る反例1

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n^2}$=4だとしても、$f(x)=x^2$はの定義域が実数の時は逆函数がないので、$a_n$は$2$に収束しているのか$-2$に収束しているのか分からない。

仮定を壊して作る反例2

$f(x)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x-1(x\le 0)\\ x+1(0<x)\end{array}\end{array}$$$と$$${\displaystyle a_n=\frac{1}{n}}$
を考えると、
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(a_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+1)=1}$
しかし$1$はfの逆函数$f^{-1}$の定義域に入っていないので、命題のように$f^{-1}(1)$を計算できない。