文献あり

ヒルベルトの定理90（前半）

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

まず，言葉を準備します．

G

-加群

$G$ を群， $A$ をAbel群とする．写像 $G \times A \to A$ が定義され，この写像が次の条件を満たすとき， $A$ を $G$ -加群という．
(1) $g (a + b) = g (a) + g (b)$
(2) $(g h) (a) = g (h (a))$
(3) $1 (a) = a$ （ $1$ は $G$ の単位元）

$L / K$ を有限次ガロア拡大とします．このとき， $A$ として $L$ や $L^{\times}$ をとると，これらは $Gal (L / K)$ -加群となります．

$G$ -加群 $A$ に対して $p$ 次コホモロジー $H^{p} (G, A)$ を定義します．
　まず， $C^{p} (G, A)$ を $G^{p}$ から $A$ への写像全体とします（ $p \geq 1$ ）． $p = 0$ のときは $C^{0} (G, A) = A$ と定義します． $A$ がAbel群であることからこれらは自然にAbel群の構造を持ちます．
　境界作用素 $δ$ を次のように定義します． $f \in C^{p} (G, A)$ について $δ f \in C^{p + 1}$ を
$\begin{aligned} (δ f) (g_{1}, \dots, g_{p + 1}) = & g_{1} f (g_{2}, \dots, g_{p + 1}) \\ + \sum_{i = 2}^{p + 1} (- 1)^{i - 1} f (g_{1}, \dots g_{i - 2}, g_{i - 1} g_{i}, g_{i + 1}, \dots, g_{p + 1}) \\ + (- 1)^{p + 1} f (g_{1}, \dots, g_{p}) \end{aligned}$
$δ$ は明らかに準同型写像です．

$δ \circ δ = 0$

単純計算で，
$\begin{aligned} (δ (δ f)) (g_{1}, \dots, g_{p + 2}) = & g_{1} (δ f) (g_{2}, \dots, g_{p + 2}) \\ - (δ f) (g_{1} g_{2}, g_{3}, \dots, g_{p + 2}) \\ + (δ f) (g_{1}, g_{2} g_{3}, g_{4}, \dots, g_{p + 2}) \\ - \dots \\ + (- 1)^{p + 1} (δ f) (g_{1}, g_{2}, \dots, g_{p}, g_{p + 1} g_{p + 2}) \\ + (- 1)^{p + 2} (δ f) (g_{1}, g_{2}, \dots, g_{p + 1}) \\ = & \dots \\ = & 0 \end{aligned}$
とわかる．

補題1よりコホモロジー群を定義することができます．ちゃんと書けば，
コサイクルを $Z^{p} (G, A) = Ker {δ : C^{p} (G, A) \to C^{p + 1} (G, A)}$ ，
コバウンダリーを $B^{p} (G, A) = Im {δ : C^{p - 1} (G, A) \to C^{p} (G, A)}$ ，
で定義して， $p$ 次コホモロジー群を
$H^{p} (G, A) = Z^{p} (G, A) / B^{p} (G, A)$
で定義します．
　これについて以下が成り立ちます．