薄い圏の考察(2)．薄い圏の部分圏
薄い圏 $C(A, \{f_{ij}\}_{i \in A, j \in A})$ に対して、 $A$ の部分類 $B$ による圏 $C(B, \{f_{ij}\}_{i \in B, j \in B})$ は自然に定まります。
ここでさらに、 $\{f_{ij}\}_{i \in B, j \in B}$ の部分類 $L$ を取ります。ただし、$L$ は以下の条件をともに満たすものとします：
1.$L$ は空類、または $B$ のすべての元 $i$ に対して $f_{ii} \in L$ である。
2.$f_{ij} \in L$ かつ $f_{jk} \in L$ ならば、 $f_{jk} \circ f_{ij} = f_{ik} \in L$ となる。
このとき、$L$ は演算 $\circ$ をもつ射の類とみなせるため、圏を導入できます。この圏 $C_A$ の部分圏を $C_A(B, L)$ や $C(B, L)$ などで表します。$C_A(B, L)$ もまた薄い圏となります。
薄い圏 $C_A$ に対して、その部分圏をすべて集めたものを $\mathfrak{C}_A$ と書きます。$C_1, C_2 \in \mathfrak{C}_A$ に対して、$C_1$ が $C_2$ の部分圏であることを $C_1 \subset C_2$ で表すと、この包含関係 $\subset$ は骨格的な薄い圏 $C(\mathfrak{C}_A, \subset)$ を定義します。この圏における始対象は$C(空類, 空類)$ （空類による空圏）、終対象は$C(A, \{f_{ij}\}_{i \in A, j \in A})$ （元の圏 $C_A$）となります。
$A$ が集合のとき、$C(\mathfrak{C}_A, \subset)$ は骨格的な薄い小圏（半順序集合）となります。
特に $A$ が基数 $n$ の集合のとき、対象の数 $\#\mathfrak{C}_A$ は次式で表されます：
$$\#\mathfrak{C}_A = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} P(k).$$
ここで $P(k)$ は、$k$ 個の元を持つ集合上の前順序の総数です。
注：$P(k)$ については
$P(k) = \sum_{i=1}^{k} S(k, i) \cdot PO(i)$ という公式が知られています。ここで
$S(k, i)$は第2種スターリング数であり、$PO(i)$ は$i$ 個の要素からなる集合上で定義できる半順序の個数です。
$P(k)$ はオンライン整数列大辞典（OEIS）で A000798として登録されています。
また$A$ が基数 $n$ の集合のとき、$\mathfrak{C}_A$ には、集合 $A$ のすべての非空な部分集合に対して、それぞれ唯一つの「強連結な薄い圏」が存在します。したがって、その総数は $2^n - 1$ と一致します。
具体例：$A$ が基数 2 の集合の場合。
$A = \{1, 2\}$ とし、$\text{hom}(C_A) = \{f_{11}, f_{12}, f_{21}, f_{22}\}$ とします。このとき、部分圏は以下の 7 つとなります。
①Bが空集合のとき、C(B,L)は空圏となります。
②B={1},L={f${_1}$${_1}$}のとき。 演算${ \circ }$によって、定まる関係式は自明な f${_1}$${_1}$${ \circ }$f${_1}$${_1}$ =f${_1}$${_1}$ です。
③B={2},L={f${_2}$${_2}$}のとき。 同様に、定まる関係式は自明な f${_2}$${_2}$${ \circ }$f${_2}$${_2}$ =f${_2}$${_2}$ です。
④B={1,2},L={f${_1}$${_1}$,f${_2}$${_2}$}のとき。 関係式は②と③にあらわれたものです。
⑤B={1,2},L={f${_1}$${_1}$,f${_2}$${_2}$,f${_1}$${_2}$}のとき。 関係式は④にあらわれたものとf${_1}$${_2}$${ \circ }$f${_1}$${_1}$ =f${_1}$${_2}$、f${_2}$${_2}$${ \circ }$f${_1}$${_2}$ =f${_2}$${_2}$です。
⑥B={1,2},L={f${_1}$${_1}$,f${_2}$${_2}$,f${_2}$${_1}$}のとき。 関係式は④とf${_2}$${_1}$${ \circ }$f${_2}$${_2}$ =f${_2}$${_1}$、f${_1}$${_1}$${ \circ }$f${_2}$${_1}$ =f${_2}$${_1}$です。
⑦B={1,2},L={f${_1}$${_1}$,f${_2}$${_2}$,f${_1}$${_2}$,f${_2}$${_1}$}のとき。 既述以外の関係式として f${_2}$${_1}$${ \circ }$f${_1}$${_2}$ =f${_1}$${_1}$, f${_1}$${_2}$${ \circ }$f${_2}$${_1}$ =f${_2}$${_2}$ があります。
①から⑦の関係
たしかにC(${\mathfrak{C}}$${_A}$,${ \subset }$)の要素の数は${\sum_{k=0}^{2} \binom{2}{k} P(k)}$ = 1⋅1+2⋅1+1⋅4 = 7個、強連結な薄い圏はC({1},{f${_1}$${_1}$}),C({2},{f${_2}$${_2}$}), C({1,2},{f${_1}$${_1}$, f${_1}$${_2}$, f${_2}$${_1}$, f${_2}$${_2}$}) の ${2^2}$-1 = 3 個あります。
