積分暗算術

積分の暗算術

本書は『積分の体系化』の内容を理解している読者を対象とする。
『積分の体系化』が積分をどう解くかを扱うのに対し、本書では、既知の解法をどう頭の中で実行するかを扱う。解法の選択・発見・導出は原則として繰り返さず、暗算に必要な数式の認識、代数計算の圧縮、情報管理、実行技術に集中する。
本書は次の三章からなる。

• 第1章　積分の脳内処理
• 第2章　積分の暗算技術
• 第3章　実践演習
  第1章では、暗算時の思考を意識的に再現できる操作へ分解する。

第1章　積分の脳内処理

積分の暗算では、計算用紙に書いて行う操作を、すべて頭の中で再現しているわけではない。
式全体を大まかに捉えると、その構造や変形後の形が自然に浮かぶことがある。さらに、複数の操作をまとめて処理したり、後で不要になる計算を省略したりすることで、途中式を書かずに答えへ到達できる。
ただし、この感覚を単に「見れば分かる」「慣れればできる」と説明しても、他人が再現することは難しい。
そこで本章では、習熟によって自動化された思考を、意識的に練習できる操作へ分解する。
ここで扱うのは積分の解法そのものではない。数式をどう認識し、頭の中でどのように操作し、複雑な計算をいかに簡単なまま処理するかを考える。
なお、以下の手順は、熟練者が毎回その順序で思考していることを意味しない。実際にはほぼ無意識に行われる処理を、学習者が再現できるように分解したものである。

1.1　構造認識の起点

積分を暗算するとき、式を見た瞬間に構造や結果の形が浮かぶことがある。
しかし、初めから式全体を一度に認識しようとする必要はない。まずは、何がその構造を連想させるのかを意識するとよい。
例えば、次の有理式を考える。
$$ \frac{x^4-4x^3+9x^2-10x+6}{x^2-2x+2} $$
分母に注目すると、分子にもこれと共通する構造が含まれている可能性を考えられる。
特に、分子の最高次の二項から、次の形が候補になる。
$$ (x^2-2x)^2 $$
これを展開したときの四次・三次の項は、分子と一致する。残りも同じ二次式を利用して表せる。
$$ x^4-4x^3+9x^2-10x+6 =(x^2-2x)^2+5(x^2-2x)+6 $$
したがって、
$$ x^4-4x^3+9x^2-10x+6 =(x^2-2x+2)(x^2-2x+3) $$
となる。
実際の暗算では、これらの等式を順番に構成するとは限らない。最初から最後の因数分解が浮かぶ場合もある。
しかし、その認識を再現するには、次のように考えられる。
まず、分母や最高次の項など、式の中で目立つ特徴を認識する。次に、そこから考えられる構造を予測する。そして、その構造が元の式と一致するかを必要な係数について確認する。
ここで重要なのは、最初の予測が完全に一致する必要はないということである。
例えば、先ほどの分子の定数項だけを変えた式を考える。
$$ x^4-4x^3+9x^2-10x+7 $$
先ほどと同じ構造を予測すれば、定数項だけが一つ異なると分かる。
したがって、
$$ x^4-4x^3+9x^2-10x+7 =(x^2-2x+2)(x^2-2x+3)+1 $$
となる。
予測した構造が完全に一致しなかったからといって、最初から考え直す必要はない。一致しなかった部分を調整すればよいのである。
つまり、全体の構造を認識した後も、個々の項を無視するわけではない。
全体像を保ちながら、必要な係数や項にだけ意識を向ける。
このように、全体と部分を行き来しながら調整することが、柔軟な構造認識につながる。
また、構造認識の速度を高めるうえでは、既知の形を増やすことも有効である。
これは単に積分公式を増やすという意味ではない。展開形、因数分解形、合成関数の形など、同じ構造が異なる姿で現れた場合にも認識できるようにすることである。
一つの構造を習得したら、係数や次数、項の配置を変えた式にも触れてみる。その際、答えだけでなく、何を手がかりに同じ構造だと判断できたのかを確認するとよい。
こうして認識できる構造を増やし、個々の確認を繰り返すことで、次第に式全体が一つのまとまりとして浮かぶようになることを目指す。

1.2　数式の認識と圧縮

構造を認識した後は、その構造を必要以上に崩さずに操作する。
例えば、次の式を考える。
$$ \frac{x^4+2x^3+5x^2+6x+4}{(x^2+x+1)^2} $$
分母には同じ二次式が繰り返し現れている。この二次式を一つの塊として扱えば、分子もその構造を利用して整理できる可能性がある。
ただし、最初から頭の中だけで扱う必要はない。慣れないうちは、
$$ A=x^2+x+1 $$
と文字で置いて考えればよい。
すると、
$$ A'=2x+1 $$
であり、分子は、
$$ A(A+2)+A' $$
と表せる。
したがって、元の式は、
$$ \frac{A(A+2)+A'}{A^2} =1+\frac{2}{A}+\frac{A'}{A^2} $$
となる。
ここでは、四次式の各項を独立に操作する代わりに、共通する二次式を一つの対象として扱っている。
この操作に慣れてきたら、文字を実際に書かず、元の二次式を頭の中で一つの塊として捉えてみる。
さらに習熟すれば、別の文字に置き換えることすら意識せず、元の式のまま同様の処理ができるようになる。
つまり、文字で置いて構造を確認する段階から、文字を使わずに構造を操作する段階へ移行する。
ただし、塊として認識することは、その内部を二度と確認しないという意味ではない。
予測した構造と元の式の間にずれがあれば、その部分の係数や項を確認する必要がある。一方、内部を確認する必要がなければ、わざわざ展開して考える必要もない。
重要なのは、式を塊として扱うことと、その内部を操作することを自在に切り替えられるようになることである。
数式の圧縮とは、単に文字数を減らすことではない。多数の項を個別に保持する代わりに、それらの関係を一つの構造として保持することである。

1.3　脳内での代数計算

構造を認識できても、その後の代数計算をすべて逐次実行しようとすれば、暗算の負担は大きくなる。
そこで重要になるのが、計算の結果を予測し、必要な操作だけを実行することである。

次数を揃えて処理する

次の多項式を考える。
$$ P(x)=x^5+5x^4+20x^3+60x^2+120x+120 $$
瞬間部分積分では、次の交代和を処理することがある。
$$ P-P'+P''-P'''+P^{(4)}-P^{(5)} $$
計算用紙上では各微分式を書き並べられるが、頭の中ではすべてを完全な形で保持する必要はない。
同じ次数の項を揃えて処理すればよい。
例えば、四次の項は、
$$ 5-5=0 $$
となる。三次の項は、
$$ 20-20+20=20 $$
である。
二次、一次、定数項についても同様に計算すると、係数列は次のように確定する。
$$ (1,5,20,60,120,120) \longmapsto (1,0,20,0,120,0) $$
したがって、
$$ P-P'+P''-P'''+P^{(4)}-P^{(5)} =x^5+20x^3+120x $$
となる。
このように次数ごとに処理すれば、各微分式全体を記憶する必要はない。さらに、係数が確定した後は、それを求めるために使った中間情報を保持し続ける必要もない。
ただし、実際にはこの加減算すら意識しない場合がある。
例えば、相殺されることが明らかな項なら、最初から結果が零になると認識できる。
このように、最初は次数を揃えて計算し、次第に相殺の関係そのものを認識できるようにしていく。

正負を分けて計算する

項数が増えた場合、交代する符号を順番に処理するより、正の項と負の項を別々に集計した方が簡単なこともある。
例えば、
$$ 120-120+120-120+120 $$
という計算なら、
$$ (120+120+120)-(120+120)=120 $$
と考えられる。
一方、項が交互に相殺されることが明らかであれば、正負に分ける必要さえない。
相殺が明らかなら直接消し、そうでなければ正負を分ける。必要なら次数ごとに係数を確定させる。
これらを固定された手順として使うのではなく、その場で扱いやすい処理を選ぶのである。

望ましい結果から計算を考える

代数計算では、与えられた式を順番に変形するだけでなく、どのような形が得られれば、その後の計算が楽になるかを意識することも有効である。
例えば、
$$ \frac{x^3+3x^2+5x+5}{x^2+x+1} $$
を考える。
分母を、
$$ D=x^2+x+1 $$
とすれば、
$$ D'=2x+1 $$
である。
このとき、商が簡単な多項式になり、余りが分母の微分に近い形になれば扱いやすいと予測できる。
最高次の項から商を考えると、
$$ x+2 $$
が候補になる。
実際に対応する係数を比較すると、
$$ x^3+3x^2+5x+5 =(x+2)(x^2+x+1)+(2x+3) $$
となる。
余りについても、
$$ 2x+3=D'+2 $$
と認識できる。
したがって、
$$ \frac{x^3+3x^2+5x+5}{x^2+x+1} =x+2+\frac{D'+2}{D} $$
となる。
ここでは、商を求めることと余りの構造を認識することを、完全に独立した操作として扱っていない。
初めから余りに望ましい形を意識することで、その後の処理まで見通している。
ただし、望ましい結果を予測することと、式を無理にその結果へ合わせることは異なる。
商や余りは元の式によって決まるため、予測した形との一致を確認する必要がある。
もし一致しなければ、相違する係数や項を調整すればよい。

複数の操作を一括して処理する

積分の暗算では、因数分解、約分、係数調整、原始関数の構成などが連続して行われる。最初はこれらを個別に実行してもよい。
しかし、同じ構造を繰り返し扱ううちに、一つの操作の結果から次の操作の結果までが、まとまって浮かぶようになることがある。
このとき、数学的な操作そのものがなくなったわけではない。
途中の構造を既に認識できているため、改めて計算・保持する必要がなくなっているのである。
このような処理に習熟すると、複数の式変形が一つの操作のように感じられるようになる。
ただし、最初から複数の操作を無理にまとめる必要はない。
まずは各操作を正確に実行し、どの中間結果を意識しなくても次の操作へ進めるかを少しずつ確認していけばよい。

1.4　複雑な計算の情報管理

高難度の積分では、複数の変換を連結する必要がある。
しかし、複雑な計算を正確に管理する方法を考える前に、まず意識したいことがある。
それは、そもそも計算過程を必要以上に複雑にしないことである。
複雑になった計算を管理する能力も重要だが、初めから不要な計算を発生させなければ、その分だけ処理は容易になる。

不要な計算を発生させない

次の積分を考える。
$$ I=\int_0^1\left(e^{x^2}+2xe^{x^2}\right)\,dx -\int_0^1e^{(1-x)^2}\,dx $$
ここで、
$$ \int_0^1e^{x^2}\,dx $$
を直ちに評価する必要はない。
この積分を、
$$ J=\int_0^1e^{x^2}\,dx $$
として保留する。
すると、
$$ I=J+(e-1)-\int_0^1e^{(1-x)^2}\,dx $$
となる。
最後の積分に対して変数変換を考えると、
$$ \int_0^1e^{(1-x)^2}\,dx=J $$
である。
したがって、
$$ I=J+(e-1)-J=e-1 $$
を得る。
この例では、個別には初等関数で原始関数を表せない積分が現れるが、その値を求める必要はない。
重要なのは、途中で現れた項を、必ずしもその場で最後まで計算し切る必要はないということである。
後の変形によって相殺される可能性があるなら、その部分を保留しておく方が簡単な場合がある。

計算を途中で止める

複数の積分や式が現れたとき、それぞれを完全に評価してから最後にまとめようとすると、不要な計算が生じることがある。
例えば、
$$ I=A+2J-K $$
という関係が得られたとする。
さらに、
$$ J=B+L $$
$$ K=C+2L $$
と表せるなら、
$$ I=A+2B-C $$
となる。
このとき、
$$ L $$
の値を求める必要はない。
ここでは、複数の項を分離した後も、それぞれを最後まで計算せず、相互の関係を保持している。
一度分けた項を、独立した計算として完結させる必要はない。
必要な部分だけを評価し、未解決の部分はそのまま保持する。そして、別の項との関係が明らかになった時点で、相殺や統合を行えばよい。

情報を保持する単位を決める

長い計算では、すべての途中式を頭の中に保持する必要はない。
計算途中の情報は、その役割によって整理すると扱いやすい。
例えば、確定した値、まだ処理していない式、後の相殺を見越して保留している項を区別して考える。
これは脳内に特別な領域を作るという意味ではない。情報を整理するための考え方である。
例えば、
$$ I=A+cJ $$
という関係が得られた場合、元の積分のすべての式変形を記憶する必要はない。
確定した部分と、未解決の積分、その係数を保持すればよい。
さらに、
$$ J=B+dK $$
となれば、
$$ I=(A+cB)+cdK $$
と更新できる。
この時点で、前の二つの関係を別々に保持する必要はない。
新しく確定した結果を、それ以前の結果へ組み込んでいくのである。
ただし、保留した項が後で相殺される可能性があるなら、無理にまとめず、その関係が見える形のまま保持することもある。
したがって、情報を常に一つへまとめることが正解なのではない。
後の操作を考えたとき、最も扱いやすい状態で保持することが重要なのである。

保持する情報と捨てる情報を区別する

複雑な計算で失いやすい情報には、係数、符号、積分区間、パラメータの条件などがある。
これらは、式の形が簡単になっても必要な場合がある。
一方、既に変換し終えた式の展開過程や、不要になった中間計算を保持し続ける必要はない。
ここで重要なのは、単純に記憶する情報量を減らすことではない。
正確性に関わる情報を残し、不要な情報だけを減らすことである。
例えば、変数変換を終えた段階では、変換後の積分区間と係数が正しいことを確認する。
その確認が済めば、元の変数に関する細かな途中式を保持し続ける必要はない。
ただし、定義域や収束条件など、後の計算にも必要な条件は残しておく。

複雑な計算を複雑なまま扱わない

高難度の積分では、途中に複数の関数やパラメータが現れることがある。
その場合でも、すべての関数を完全な式のまま保持する必要はない。
例えば、ある積分族を、
$$ F(a,b) $$
として扱えるなら、その具体的な被積分関数を毎回思い浮かべるより、パラメータと必要な関係だけを保持する方が簡単な場合がある。
また、複数の積分が同じ構造へ帰着するなら、個別に計算する前に、それらをまとめて扱うことも考えられる。
重要なのは、複雑な情報を大量に記憶する能力を鍛えることではなく、複雑な情報を少数の関係へ整理する能力を鍛えることである。

1.5　複数の思考の保持と切替え

積分を見たとき、一つの構造だけでなく、複数の構造が同時に浮かぶことがある。
また、ある操作を進めている途中で、別の変形が利用できることに気づく場合もある。
しかし、複数の構造を認識することと、複数の計算を同時に実行することは異なる。
必ずしもすべての操作を並行して進める必要はない。
例えば、一つの有理式について、因数分解によって約分できる部分と、残る微分形の両方を認識できたとする。
この場合、まず約分できる部分を処理し、微分形についてはその構造が存在することだけを保持しておけばよい。
逆に、後の操作で相殺される可能性がある項を認識したなら、その部分は計算せずに保留しておいてもよい。
つまり、現在行う操作と、後で必要になる操作を区別するのである。
また、別の方法へ切り替える場合には、それまでの計算をすべて捨てる必要はない。
最後に確定した関係を保持しておけば、新しい方法が有効でなかった場合でも、そこから別の処理を考えられる。
ここで重要なのは、複数の思考を無理に同時進行させることではなく、必要な情報を残しながら、適切な順序で処理することである。
習熟すれば、構造の認識、処理の優先順位、保留と再開が、一つながりの思考として行われることもある。
しかし、初めからそれを目指して無理に複数の操作を重ねる必要はない。
まずは、一つの操作を正確に実行しながら、次に必要となる情報だけを保持することから始めればよい。
本章で扱ったのは、特定の積分技法ではなく、それらを頭の中で実行するための思考方法である。
構造を認識し、必要に応じて文字で置き、全体と部分を行き来しながら係数を調整する。結果を予測して不要な計算を避け、後で相殺される可能性がある部分は保留する。そして、計算の進行に合わせて必要な情報だけを更新する。
暗算の本質は、複雑な計算を無理に頭の中へ詰め込むことではなく、そもそも複雑にしないこと、そして必要な処理だけを正確に実行することにある。
第2章「積分の暗算技術」では、これらの原理を実際の関数や積分形式に適用する。

第2章　積分の暗算技術

第1章では、構造認識、脳内計算、情報管理の基本を扱った。
本章では、これらを実際の積分に適用する。ただし、原始関数の探し方や解法の選び方は既知とする。ここで考えるのは、解法が分かった後、その計算を頭の中でどのように実行するかである。
計算用紙では、途中式を書き残し、必要に応じて見直せる。暗算では、それに代わる処理が必要になる。しかし、すべての式を記憶する必要はない。
例えば、多項式なら係数を、三角関数なら角度と符号を、合成関数なら内部のまとまりを保持する。定積分では、計算途中の式より端点の値だけを残せばよい場合もある。
重要なのは、それぞれの関数で何を一つの単位として扱えば、計算を正確かつ簡潔に実行できるかを知ることである。

2.1　単一構造の暗算

ここでは、一つの主要な計算構造を持つ積分について、関数の種類に応じた脳内操作を考える。

多項式――係数を一つずつ確定させる

次の積分を考える。
$$ I=\int e^x(x^5+5x^4+3x^3+9x^2+7x+11)\,dx $$
瞬間部分積分の方法は既知とする。
原始関数に現れる多項式を高次から確定させる際、各微分式を完全に計算する必要はない。
最高次の係数を一とすれば、次に四次の項を考える。最高次の項を微分すると係数五の四次項が生じるため、被積分関数の四次の項はそこで再現される。したがって原始関数側の四次の係数は零となる。
続いて三次の係数は三、二次の係数は零、一次の係数は七、定数項は四となる。
つまり、被積分関数の多項式の係数列を、
$$ (1,5,3,9,7,11) $$
と捉えれば、頭の中で次のように更新できる。
$$ (1,5,3,9,7,11)\longmapsto(1,0,3,0,7,4) $$
したがって、
$$ I=e^x(x^5+3x^3+7x+4)+C $$
となる。
ここで重要なのは、確定した一つ上の次数の係数だけを使い、次の係数を確定させることである。
各微分式全体を記憶しておく必要はない。高次から低次へ順に進めば、その時点で扱う情報を少数の係数に限定できる。
ただし、交代和の中で相殺が明らかな場合には、係数を一つずつ求める必要すらない。
最初は順番に処理し、習熟するにつれて相殺される部分をまとめて認識する。さらに、正負の項を別々に集計した方が簡単な場合には、その方法へ切り替える。
必要な係数を、必要な回数だけ計算することが目的である。

指数関数と三角関数――二つの係数を一組として扱う

次の積分を考える。
$$ I=\int e^{2x}(7\cos x+4\sin x)\,dx $$
原始関数の形が既に分かっているものとする。
この場合、正弦と余弦の係数を別々の計算として扱うより、二つの係数を一組として保持した方がよい。
原始関数側の係数を、
$$ (a,b) $$
とすると、微分後の係数は、
$$ (2a+b,\ 2b-a) $$
となる。
ここで行うのは、二つの係数の対応を確認する操作である。
$$ 2a+b=7 $$
$$ 2b-a=4 $$
これより、
$$ (a,b)=(2,3) $$
と確定できる。
したがって、
$$ I=e^{2x}(2\cos x+3\sin x)+C $$
となる。
暗算では、正弦と余弦をそれぞれ長い文字式として保持する必要はない。必要なのは二つの係数と、微分によってそれらがどう対応するかという関係だけである。
特に注意したいのは符号である。正弦と余弦は微分によって入れ替わるが、その際に負号も現れる。
そのため、係数を一つずつ独立に計算するより、符号を含めた二つの係数の組として更新する方が、処理を安定させやすい。
この操作に習熟すれば、指数関数の指数や三角関数の角度に係数が付いていても、同じように二つの係数をまとめて処理できる。

三角関数――角度を最後まで計算しない

定積分では、角度の値を大きなまま保持しておく必要はない。
例えば、
$$ I=\int_0^{\frac{13\pi}{2}}(2\cos3x-5\sin2x)\,dx $$
を考える。
原始関数が分かっていれば、必要なのは端点での三角関数の値だけである。
上端に現れる角度は、
$$ \frac{39\pi}{2},\qquad13\pi $$
となるが、これらをそのまま扱う必要はない。
周期を考慮すれば、
$$ \sin\frac{39\pi}{2}=-1 $$
$$ \cos13\pi=-1 $$
と確定する。
したがって、
$$ I=-\frac23-5=-\frac{17}{3} $$
を得る。
ここでは、大きな角度を逐一計算する代わりに、周期を除いた後の位置だけを保持している。
特に、角度が整数倍や半整数倍の円周率で表される場合には、正負と零の判定を素早く行えるようにするとよい。
実際の暗算では、角度全体を頭の中で回転させて考える必要もない。係数の偶奇や、周期に対する剰余から値を確定できれば十分である。

対数関数と根号――符号を失わない

対数関数や根号を含む式では、形式的な計算だけでなく、値の符号を保持する必要がある。
例えば、
$$ I=\int_0^1\frac{2x-5}{x^2-5x-1}\,dx $$
を考える。
分母は積分区間全体で負である。したがって、対数の端点計算では、分母の値そのものではなく、その絶対値を用いる。
端点で必要な値は、
$$ |-1|=1,\qquad|-5|=5 $$
なので、
$$ I=\ln5 $$
である。
ここで暗算上重要なのは、対数の内部に現れる式の符号を、計算途中で勝手に捨てないことである。一方、符号が確定していれば、以後は絶対値だけを扱えばよい。
根号についても同様である。
$$ I=\int_{-2}^{2}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+5}}\,dx $$
では、端点で必要な値は、
$$ x^2+2x+5 $$
の値だけである。
下端では五、上端では十三となるため、
$$ I=\sqrt{13}-\sqrt5 $$
を得る。
このとき、根号の値を小数へ変換する必要はない。平方根を一つの数として保持し、最後の差だけを確定させる。
分数冪についても同じ考え方が使える。ただし、偶数次の根号や負の底を含む冪では、定義域と実数値の条件を失ってはならない。

逆三角関数――主値と符号を区別する

逆三角関数では、通常の三角関数と同じように角度を扱うと、主値の範囲を見落とす場合がある。
例えば、次の積分を考える。
$$ I=\int_0^\pi\frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin^2x}}\,dx $$
積分区間の内部には、分母が零になる点が存在する。しかし、分母の根号について、
$$ \sqrt{1-\sin^2x}=|\cos x| $$
であるため、被積分関数はその点を除いて、
$$ \frac{\cos x}{|\cos x|} $$
となる。
したがって、前半と後半で符号が反転する。
$$ I=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0 $$
を得る。
ここでの暗算上の注意点は、式を単純化したときに絶対値を落とさないことである。逆正弦関数を原始関数として扱う場合にも、主値の範囲を考慮する必要がある。
角度や符号に関する条件を、一つの付随情報として保持することが重要である。

双曲線関数――指数関数の値を共有する

双曲線関数では、指数関数との関係を利用する場面がある。
例えば、
$$ I=\int_0^{\ln3}(\cosh x+2\sinh x)\,dx $$
を考える。
上端では、
$$ e^x=3,\qquad e^{-x}=\frac13 $$
である。
この二つの値を確定させれば、
$$ \sinh(\ln3)=\frac43 $$
$$ \cosh(\ln3)=\frac53 $$
を同時に求められる。
したがって、
$$ I=\frac43+2\left(\frac53-1\right)=\frac83 $$
となる。
ここでは、双曲線正弦と双曲線余弦を、それぞれ独立に計算する必要はない。指数関数の値とその逆数を一組として保持し、和と差を使い分ければよい。
逆双曲線関数でも、必要に応じて対数表示を利用できる。
例えば、
$$ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx =\ln(1+\sqrt2) $$
である。
このような既知形を利用する場合、逆双曲線関数の値と対数表示を両方保持する必要はない。必要な最終表現だけを選んで扱えばよい。

広義積分――未定形を分解せずに扱う

広義積分では、端点に現れる発散する因子を個別に評価してはいけない場合がある。
例えば、
$$ I=\int_0^1\frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx $$
を考える。
既知の原始関数を用いると、
$$ I=\left[2\sqrt x(\ln x-2)\right]_0^1 $$
となる。ここで下端は極限として評価する。
下端では対数関数が負の無限大へ向かう一方、平方根は零へ向かう。しかし、これらを別々の値として扱う必要はない。
積全体について、
$$ \lim_{x\to0+}\sqrt x\ln x=0 $$
が成り立つため、下端からの寄与は零となる。
したがって、
$$ I=-4 $$
である。
この例では、端点で現れる二つの因子を最後まで一つの積として保持することが重要だった。
未定形に関係する因子は、必要な極限が確定するまで分離しない。

2.2　複数構造の暗算

複数の関数が組み合わさっている場合には、計算を個別に完了させてから組み合わせるより、関連する部分を一つのまとまりとして保持する方が簡潔になることがある。
ここでは、複数の関数や計算条件を連結する際の、具体的な脳内操作を考える。

底と指数が変化する冪関数

次の積分を考える。
$$ I=\int_0^1 \frac{(1+x)^x\left(\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}\right)} {1+(1+x)^{2x}}\,dx $$
既知の解法によって原始関数が分かっているものとする。
暗算では、底と指数を別々の長い式として扱う必要はない。冪全体を、
$$ A=(1+x)^x $$
という一つの対象として扱えばよい。
このとき微分に必要な情報は、
$$ \ln(1+x)+\frac{x}{1+x} $$
という一つのまとまりである。この部分をさらに分解して計算する必要はない。
原始関数に対応するのは、
$$ \arctan A $$
である。
定積分の端点では、冪全体の値だけを求めればよい。
$$ A(0)=1,\qquad A(1)=2 $$
したがって、
$$ I=\arctan2-\frac{\pi}{4} $$
となる。
ここでは、底、指数、対数、分母をそれぞれ個別に処理するのではなく、冪全体を一つの対象として扱っている。
特に、途中で必要なのは冪の値そのものではなく、その構造であり、具体的な値を計算するのは端点に到達したときだけでよい。

多重合成関数――端点の値だけを順に更新する

次の積分を考える。
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{\sin x}\cos x}{\sqrt{1+e^{2\sin x}}}\,dx $$
原始関数の形が分かっている場合、暗算で重要なのは、その内部にある関数をどの順番で評価するかである。
まず、最も内側の三角関数は、
$$ 0\longmapsto1 $$
と変化する。
続いて、指数関数は、
$$ 1\longmapsto e $$
と変化する。
ここまでで、端点に必要な情報は二つの値だけになっている。あとは、外側に残る平方根と対数関数を評価すればよい。
$$ I=\ln\frac{e+\sqrt{1+e^2}}{1+\sqrt2} $$
を得る。
ここで、途中の三角関数や指数関数の式を、最後まで完全な形で保持しておく必要はない。
内側の関数の端点での値を確定させたら、それを次の関数へ渡せばよい。
ただし、原始関数全体に係数や符号が付く場合には、それらを失ってはならない。
合成関数の階層ごとに値を更新し、必要な係数と条件だけを最後まで保持することが重要となる。

絶対値・最大最小――区間ごとの結果だけを残す

絶対値や最大最小を含む積分では、場合分けによって複数の区間が現れることがある。
例えば、
$$ I=\int_0^\pi\max\{\sin x,\cos x\}\,dx $$
を考える。
二つの関数が入れ替わる点は既に分かっているものとする。
暗算では、各区間の積分をそれぞれ長い計算として保持する必要はない。
前半の寄与は、
$$ \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} $$
であり、後半の寄与は、
$$ 1+\cos\frac{\pi}{4}=1+\frac{\sqrt2}{2} $$
となる。
したがって、
$$ I=1+\sqrt2 $$
である。
この処理では、区間の切替点と、各区間から生じる最終的な寄与だけを保持している。
また、同じ端点の値が複数回現れる場合には、最初から係数をまとめられる。
区間ごとの計算を最後まで分離せず、共通する端点の値をまとめて扱うことで、場合分けが多い積分でも情報量を減らせる。

床関数・天井関数――区間番号を利用する

次の積分を考える。
$$ I=\int_0^4x\lfloor x\rfloor\,dx $$
区間分割は既知とする。
ここで、各区間を別々の積分問題として扱う必要はない。区間番号を使えば、各部分から生じる値は、
$$ \frac{k(2k+1)}{2} $$
で表される。
したがって、
$$ I=\frac12(0+3+10+21)=17 $$
となる。
ここでは、四つの区間を一つずつ独立に処理する代わりに、同じ計算規則へまとめている。
また、天井関数を含む場合には、床関数との関係も利用できる。
例えば、
$$ J=\int_0^4x\lceil x\rceil\,dx $$
では、整数の点を除いて、
$$ \lceil x\rceil=\lfloor x\rfloor+1 $$
が成り立つ。
したがって、
$$ J=I+\int_0^4x\,dx=17+8=25 $$
となる。
重要なのは、各区間で新しい計算を始める必要がないことである。共通する規則を一度確定させ、その規則へ区間番号を順番に代入すればよい。
床関数や天井関数に限らず、周期的に形が変化する区分関数でも、同様の処理が役立つ。

対称性――相補的な部分を一組で保持する

次の積分を考える。
$$ I=\int_{-1}^{1}\frac{x^2+1}{1+e^x}\,dx $$
区間の対称性を利用する解法は既知とする。
このとき、指数関数を含む二つの項を個別に評価する必要はない。
対応する二つの分母について、
$$ \frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}=1 $$
という関係を一つのまとまりとして扱う。
多項式の部分は変化しないため、元の積分と変換後の積分を合わせれば、
$$ I=\frac12\int_{-1}^{1}(x^2+1)\,dx=\frac43 $$
となる。
ここで、指数関数の値は一度も計算していない。必要だったのは、相補的な二つの部分が加わることで一になるという関係だけである。
最終的に相殺・統合される部分を個別の数値に変換しないことが、暗算を簡潔にする。

有限和・有限積・級数・極限――項ではなく規則を保持する

和や積の記号が現れる場合、その項をすべて頭の中に並べる必要はない。
例えば、
$$ I_n=\int_0^1\sum_{k=0}^{n}(x^k-x^{k+1})\,dx $$
を考える。
和の構造が分かっていれば、保持すべきなのは最初と最後に残る項だけである。
$$ \sum_{k=0}^{n}(x^k-x^{k+1})=1-x^{n+1} $$
したがって、
$$ I_n=1-\frac{1}{n+2} $$
となり、
$$ \lim_{n\to\infty}I_n=1 $$
を得る。
同様に、有限積についても、積全体を展開する必要はない。
例えば、
$$ J_n=\int_0^1\prod_{k=1}^{n}\frac{x+k}{x+k+1}\,dx $$
では、積の内部に現れる共通因子が消えるため、保持すべきなのは両端の因子だけとなる。
$$ \prod_{k=1}^{n}\frac{x+k}{x+k+1} =\frac{x+1}{x+n+1} $$
したがって、
$$ J_n=1-n\ln\frac{n+2}{n+1} $$
となる。
無限級数についても、同様に個々の項ではなく、級数全体の規則を利用する。
例えば、
$$ \int_0^{\frac12}\sum_{k=0}^{\infty}x^k\,dx=\ln2 $$
である。
この例では、等比級数の和を一つの関数として扱えばよい。区間上で一様収束するため、必要なら項別積分によっても正当化できる。
重要なのは、和・積・極限を含む式を、多数の項の集まりではなく、一つの規則として扱うことである。
もちろん、無限級数や極限では、単なる形式操作では済まない場合もある。収束条件や交換操作の正当性が必要なときは、それらを確認しなければならない。

再帰的な式――全体を展開せず端点を更新する

再帰的に定義された関数でも、必要な情報が限られていれば、すべての関数を明示的に求める必要はない。
例えば、
$$ u_0(x)=x $$
$$ u_{n+1}(x)=\frac{u_n(x)}{1+u_n(x)} $$
と定める。
次の積分を考える。
$$ I_n=\int_0^1\frac{u_n'(x)}{1+u_n(x)}\,dx $$
この場合、積分値を確定させるために必要なのは、関数全体の形ではなく、端点での値である。
下端では常に、
$$ u_n(0)=0 $$
となる。
上端では、
$$ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \ldots $$
と値が更新されるため、
$$ u_n(1)=\frac{1}{n+1} $$
である。
したがって、
$$ I_n=\ln\frac{n+2}{n+1} $$
となる。
ここでは、再帰的に定義された関数を毎回展開しているわけではない。
積分値に必要な端点の情報だけを再帰的に更新することで、計算を完結させている。

2.3　高難度積分の完全暗算

ここまで扱った技術を複数組み合わせると、見た目には複雑な積分でも、頭の中で保持する情報を少なくできる場合がある。
この節では、解法の発見ではなく、既に確定した解法を最後まで暗算で実行する過程に注目する。
特に、計算の途中でどの情報を保持し、どの部分をまとめ、どの段階で具体的な値へ変換するかを明確にする。

複数の切替点を含む積分

次の定積分を考える。
$$ I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\left(1+\lfloor3|\sin x|\rfloor\right)e^{\sin x}\cos x} {1+e^{2\sin x}}\,dx $$
既知の解法によって、三角関数の内部を新しい変数として扱うことが分かっているものとする。
暗算では、まず次の三つの情報を保持する。
第一に、変換後の区間が負の一から一までであること。
第二に、指数関数を含む部分が、その変数について偶関数となることである。
第三に、床関数によって重みが変化する位置である。
これらが確定すると、負の区間を別に最後まで計算する必要はなくなる。
床関数が切り替わる位置は、
$$ \frac{1}{3},\qquad\frac{2}{3} $$
である。
ここで、積分に現れる既知形の原始関数を、
$$ F(t)=\arctan(e^t) $$
と表す。
必要なのは、次の四つの値だけである。
$$ F(0),\quad F\left(\frac13\right),\quad F\left(\frac23\right),\quad F(1) $$
各区間の重みは一、二、三となる。
したがって、
$$ I=2\left\{3F(1)-F\left(\frac23\right)-F\left(\frac13\right)-F(0)\right\} $$
となる。
ここで初めて、具体的な関数値へ戻す。
$$ \boxed{ I=6\arctan e-2\arctan(e^{\frac23}) -2\arctan(e^{\frac13})-\frac{\pi}{2} } $$
ここでは、三角関数、指数関数、絶対値、床関数、逆三角関数を、すべて個別に計算する必要はなかった。
対称性によって区間を半分に減らし、切替点に現れる関数値を最終的な係数とともに保持することが重要である。

絶対値による符号変化を一つの式で処理する

次の積分を考える。
$$ I=\int_0^\pi|\sin x-\cos x|e^{\sin x+\cos x}\,dx $$
原始関数との対応は分かっているものとする。
符号が切り替わる点は、
$$ x=\frac{\pi}{4} $$
である。
また、関係する指数関数を、
$$ F(x)=e^{\sin x+\cos x} $$
とすれば、その微分は、
$$ F'(x)=(\cos x-\sin x)F(x) $$
となる。
したがって、前半と後半では、この微分形に対する符号が反転する。
暗算で必要なのは、次の三つの値である。
$$ F(0)=e $$
$$ F\left(\frac{\pi}{4}\right)=e^{\sqrt2} $$
$$ F(\pi)=e^{-1} $$
各区間の寄与を最後まで独立に計算する代わりに、切替点の値が二度現れることを利用する。
$$ I=2F\left(\frac{\pi}{4}\right)-F(0)-F(\pi) $$
したがって、
$$ \boxed{I=2e^{\sqrt2}-e-e^{-1}} $$
である。
途中の端点の値を、別々の計算結果としてではなく、最終的な係数とともに保持することが重要となる。

複雑な根号の最終整理

次の積分を考える。
$$ I=\int_0^1\frac{\sqrt{x(1-x)}}{x^2+x+1}\,dx $$
解法の途中で、次の形が得られたとする。
$$ I=\pi\left\{ \frac{3^{\frac14}\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right)} {\sqrt{2+\sqrt3}}-1 \right\} $$
ここで、複雑な根号を個別に簡単化する必要はない。
分母の根号は、
$$ \sqrt{2+\sqrt3}=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2} $$
と認識できる。
一方、分子にも同じ因子がある。
$$ 1+\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3} $$
したがって、共通因子を相殺するだけで、
$$ \frac{3^{\frac14}\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right)} {\sqrt{2+\sqrt3}} =\frac{\sqrt2}{3^{\frac14}} $$
となる。
よって、
$$ \boxed{I=\pi\left(\sqrt{\frac{2}{\sqrt3}}-1\right)} $$
を得る。
ここでの暗算技術は、複雑な根号を個別に展開することではない。
分子と分母の共通因子を先に認識し、相殺後の構造だけを保持することである。
なお、この例は解法全体の紹介ではなく、既知の解法で得られた結果を頭の中で最後まで整理する場面を切り出したものである。

第1章では数式の認識・計算・情報管理の原理を、第2章ではそれらをさまざまな関数と計算状況に適用する方法を扱った。
多項式の係数、三角関数の角度と符号、合成関数の内部値、区分関数の切替点、有限和・有限積の規則、広義積分の極限。これらは異なる対象に見えるが、暗算における要点は共通している。
必要な計算を無理に省くのではなく、不要な計算を最初から発生させない。必要な情報だけを正確に保持し、確定した結果を順次更新する。
第3章「実践演習」では、これらの操作を段階的に練習する。

第3章　実践演習

第1章「積分の脳内処理」では、数式をどのような単位で認識し、必要な情報をどのように保持・更新するかを扱った。第2章「積分の暗算技術」では、これらを実際の積分計算へ応用するための操作を整理した。
本章では、これらの知識を実践演習によって定着させる。
暗算の目的は、計算過程を無理に頭の中へ詰め込むことではない。式の構造を認識し、不要な計算を発生させず、必要な情報だけを保持して正確に処理することである。
解説例題16問、段階別演習112問、横断演習16問の計144問を扱う。段階別演習は24段階に分ける。ここでの段階は暗算技術の習得順序を表し、INTEGRALIS公式Difficultyではない。
各解説では、数学的な計算の根拠と、暗算時に保持・更新すべき情報を確認する。
最初から暗算にこだわる必要はない。まず正しい計算を再現できるようにし、その後、書かずに済む部分を少しずつ増やしていく。

3.1　解説例題

例題1　単一構造の保持
$$ I=\int\frac{2x+1}{(x^2+x+3)^2}\,dx $$
分母内部を一つの対象として扱う。
$$ D=x^2+x+3,\qquad D'=2x+1 $$
したがって、
$$ I=\int\frac{D'}{D^2}\,dx =\boxed{-\frac{1}{x^2+x+3}+C} $$
暗算の操作
分母内部とその微分が対応していることを確認したら、二次式を展開する必要はない。保持するのは分母内部と、逆数の微分で生じる負号だけである。
例題2　係数列の更新
$$ I=\int e^x(x^4+4x^3+3x^2+8x+4)\,dx $$
原始関数を指数関数と多項式の積として考える。
$$ I=e^xP(x)+C $$
$$ P(x)+P'(x)=x^4+4x^3+3x^2+8x+4 $$
高次から係数を確定すると、
$$ (1,4,3,8,4)\longmapsto(1,0,3,2,2) $$
となる。よって、
$$ I=\boxed{e^x(x^4+3x^2+2x+2)+C} $$
暗算の操作
例えば四次の係数を一と確定すると、その微分による三次への寄与は四である。三次の残りは零となる。確定した係数を低次へ順に渡し、処理の終わった係数は保持しない。
例題3　周期と符号
$$ I=\int_0^{\frac{13\pi}{2}}(2\cos3x-5\sin2x)\,dx $$
$$ I=\left[\frac{2}{3}\sin3x+\frac{5}{2}\cos2x\right]_0^{\frac{13\pi}{2}} $$
$$ \sin\frac{39\pi}{2}=-1,\qquad \cos13\pi=-1 $$
したがって、
$$ I=-\frac{2}{3}-\frac{5}{2}-\frac{5}{2} =\boxed{-\frac{17}{3}} $$
暗算の操作
大きな角度をそのまま保持しない。周期で整理して正弦・余弦の値を確定し、各項の係数と符号だけを最後に合計する。
例題4　三角関数の有理化
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{1+\sin2x}\,dx $$
$$ t=\tan x $$
とすると、
$$ 1+\sin2x=\frac{(1+t)^2}{1+t^2} $$
$$ dx=\frac{dt}{1+t^2} $$
であるから、
$$ I=\int_0^1\frac{dt}{(1+t)^2} =\boxed{\frac{1}{2}} $$
暗算の操作
変換後は有理式と区間だけを保持する。元の三角関数を頭の中に残しておく必要はない。
例題5　商と余り
$$ I=\int\frac{x^3+2x^2+3x+4}{x^2+1}\,dx $$
$$ \frac{x^3+2x^2+3x+4}{x^2+1} =x+2+\frac{2x+2}{x^2+1} $$
したがって、
$$ I=\boxed{ \frac{x^2}{2}+2x+\ln(x^2+1)+2\arctan x+C } $$
暗算の操作
商を最高次から確定する。余りが出たら分母の微分に対応する項と逆正接に対応する項へ分ける。筆算の途中式をすべて保存する必要はない。
例題6　対数の符号管理
$$ I=\int_0^1\frac{2x-5}{x^2-5x-1}\,dx $$
分母内部とその微分が対応する。
$$ D=x^2-5x-1,\qquad D'=2x-5 $$
分母は区間全体で負なので、
$$ I=\left[\ln|D|\right]_0^1 =\ln5-\ln1 =\boxed{\ln5} $$
暗算の操作
最初に対数の絶対値の必要性を確認する。その後は端点での絶対値のみを計算し、符号判定を繰り返さない。
例題7　底と指数が変化する冪
$$ I=\int_0^1 \frac{(1+x)^x\left(\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}\right)} {1+(1+x)^{2x}}\,dx $$
$$ A=(1+x)^x $$
とすれば、
$$ A'=A\left(\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}\right) $$
である。したがって、
$$ I=\left[\arctan A\right]_0^1 =\boxed{\arctan2-\frac{\pi}{4}} $$
暗算の操作
底と指数を別々の変数のように扱わず、冪全体を一つの対象とする。最後に必要なのは端点での一と二だけである。
例題8　多重合成関数
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{\sin x}\cos x}{\sqrt{1+e^{2\sin x}}}\,dx $$
$$ t=e^{\sin x} $$
とすると、
$$ dt=e^{\sin x}\cos x\,dx $$
$$ t:1\longmapsto e $$
である。よって、
$$ I=\int_1^e\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} $$
$$ I=\boxed{ \ln\frac{e+\sqrt{1+e^2}}{1+\sqrt2} } $$
暗算の操作
内側から外側へ端点値を更新する。指数関数の値を確定させた後は、三角関数や元の積分区間を保持しない。
例題9　正弦・余弦の係数対
$$ I=\int e^{2x}(7\cos x+4\sin x)\,dx $$
原始関数を、
$$ e^{2x}(a\cos x+b\sin x) $$
と考える。微分後の係数を比較して、
$$ 2a+b=7,\qquad 2b-a=4 $$
を得る。これより、
$$ (a,b)=(2,3) $$
なので、
$$ I=\boxed{e^{2x}(2\cos x+3\sin x)+C} $$
暗算の操作
正弦と余弦の係数を符号付きの一組として扱う。微分による入れ替わりを一つの演算とみなせば、別々の部分積分を保持せずに済む。
例題10　相補性
$$ I=\int_{-1}^{1}\frac{x^2+1}{1+e^x}\,dx $$
$$ \frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}=1 $$
であり、分子は偶関数なので、
$$ 2I=\int_{-1}^{1}(x^2+1)\,dx $$
したがって、
$$ I=\boxed{\frac{4}{3}} $$
暗算の操作
相補的な二つの部分を個別に積分しない。和が一になると確認した時点で指数関数の情報を捨てる。
例題11　絶対値の切替点
$$ I=\int_0^\pi|\sin x-\cos x|e^{\sin x+\cos x}\,dx $$
$$ F(x)=e^{\sin x+\cos x} $$
とおくと、
$$ F'(x)=(\cos x-\sin x)F(x) $$
である。切替点は、
$$ x=\frac{\pi}{4} $$
なので、
$$ I=\left[F(x)\right]_0^{\frac{\pi}{4}} -\left[F(x)\right]_{\frac{\pi}{4}}^\pi $$
$$ I=2F\left(\frac{\pi}{4}\right)-F(0)-F(\pi) $$
$$ I=\boxed{2e^{\sqrt2}-e-e^{-1}} $$
暗算の操作
区間ごとの積分値を独立に完成させず、切替点の関数値が二度寄与することを先に確定する。保持するのは三つの関数値だけでよい。
例題12　床関数の切替値
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \lfloor3\sin x\rfloor e^{\sin x}\cos x\,dx $$
$$ t=\sin x $$
とすると、切替値は、
$$ \frac{1}{3},\qquad\frac{2}{3} $$
となる。したがって、
$$ I=\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}e^t\,dt +2\int_{\frac{2}{3}}^1e^t\,dt $$
$$ I=\boxed{2e-e^{\frac{1}{3}}-e^{\frac{2}{3}}} $$
暗算の操作
切替値と区間ごとの係数を先に確定する。同じ端点に現れる指数関数の値は、係数をまとめてから評価する。
例題13　有限和の保持
正の整数について、
$$ I_n=\int_0^1 \frac{\sum_{k=1}^nkx^{k-1}} {\sum_{k=0}^nx^k}\,dx $$
とする。
$$ S(x)=\sum_{k=0}^nx^k $$
とおけば、分子はその微分なので、
$$ I_n=\left[\ln S(x)\right]_0^1 $$
である。
$$ S(0)=1,\qquad S(1)=n+1 $$
より、
$$ I_n=\boxed{\ln(n+1)} $$
暗算の操作
総和の各項を個別に保持しない。有限和全体を一つの対象として扱い、その端点値だけを確定する。
例題14　Wallis型の係数
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^6x\,dx $$
Wallis型の漸化式から、
$$ I=\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} =\boxed{\frac{5\pi}{32}} $$
暗算の操作
係数を順番に掛け切らず、分子と分母の共通因子を先に消去する。
例題15　広義積分の端点
$$ I=\int_0^1\frac{(\ln x)^2}{\sqrt{x}}\,dx $$
原始関数は、
$$ F(x)=2\sqrt{x}\left((\ln x)^2-4\ln x+8\right) $$
である。
$$ \lim_{x\to0+}\sqrt{x}(\ln x)^k=0 \qquad(k=0,1,2) $$
なので、
$$ \lim_{x\to0+}F(x)=0,\qquad F(1)=16 $$
したがって、
$$ I=\boxed{16} $$
暗算の操作
零へ向かう平方根と発散する対数を別々に評価しない。積全体の極限が確定するまで、まとめて保持する。
例題16　対称性と切替点の統合
$$ I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+\lfloor2|\sin x|\rfloor)e^{\sin x}\cos x} {1+e^{2\sin x}}\,dx $$
$$ t=\sin x $$
とすると、区間は負の一から一になる。
$$ g(t)=\frac{e^t}{1+e^{2t}} $$
は偶関数なので、
$$ I=2\left( \int_0^{\frac{1}{2}}g(t)\,dt +2\int_{\frac{1}{2}}^1g(t)\,dt \right) $$
である。
$$ F(t)=\arctan(e^t) $$
とおけば、
$$ F'(t)=g(t) $$
したがって、
$$ I=4F(1)-2F\left(\frac{1}{2}\right)-2F(0) $$
$$ I=\boxed{ 4\arctan e-2\arctan\sqrt e-\frac{\pi}{2} } $$
暗算の操作
先に偶関数性で区間を半分にし、次に床関数で分割し、最後に共通端点の係数を整理する。保持するのは切替値と三つの関数値だけである。

3.2　段階別演習

24段階、全112問。
第1段階　単一構造
$$ \begin{aligned} (1)&\quad\int\frac{3x^2+2x}{x^3+x^2+4}\,dx\\ (2)&\quad\int\frac{4x}{(x^2+3)^2}\,dx\\ (3)&\quad\int\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}\,dx\\ (4)&\quad\int\frac{\cos3x}{1+\sin3x}\,dx\\ (5)&\quad\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+5}}\,dx \end{aligned} $$
第2段階　係数と符号
$$ \begin{aligned} (6)&\quad\int(x^2+4x+5)e^x\,dx\\ (7)&\quad\int5e^{3x}(\cos x+\sin x)\,dx\\ (8)&\quad\int\frac{x^2+3x+1}{x+1}\,dx\\ (9)&\quad\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx\\ (10)&\quad\int(\sinh2x+2\cosh2x)\,dx \end{aligned} $$
第3段階　端点処理
$$ \begin{aligned} (11)&\quad\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\,dx\\ (12)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos3x\,dx\\ (13)&\quad\int_0^{\ln2}\frac{e^x}{1+e^x}\,dx\\ (14)&\quad\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\\ (15)&\quad\int_0^1\frac{2x}{(1+x^2)^2}\,dx \end{aligned} $$
第4段階　三角有理化・根号
$$ \begin{aligned} (16)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{1+\sin2x}\,dx\\ (17)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin x}\,dx\\ (18)&\quad\int_0^\pi\frac{1}{2+\cos x}\,dx\\ (19)&\quad\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}\,dx\\ (20)&\quad\int_0^2\frac{2x}{x^2+2}\,dx \end{aligned} $$
第5段階　Weierstrass変換後の計算
$$ \begin{aligned} (21)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2+\sin x+\cos x}\,dx\\ (22)&\quad\int_0^\pi\frac{1}{3+2\cos x}\,dx\\ (23)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{3+\sin x+\cos x}\,dx\\ (24)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x+\cos x}{2+\sin x+\cos x}\,dx \end{aligned} $$
第6段階　商・余り・係数
$$ \begin{aligned} (25)&\quad\int(x^3+3x^2+4x+5)e^x\,dx\\ (26)&\quad\int e^{2x}(4\cos3x+7\sin3x)\,dx\\ (27)&\quad\int\frac{x^3+x^2+3x+4}{x^2+1}\,dx\\ (28)&\quad\int\frac{3}{x^2+6x+13}\,dx\\ (29)&\quad\int\frac{x}{x^2-1}\,dx \end{aligned} $$
第7段階　複数係数
$$ \begin{aligned} (30)&\quad\int_0^1e^{3x}(5\cos2x+\sin2x)\,dx\\ (31)&\quad\int_0^1(x^3+6x^2+15x+16)e^x\,dx\\ (32)&\quad\int_0^1\left( \frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{2x}{1+x^2}\right)\,dx\\ (33)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{2x}(3\cos x+\sin x)\,dx \end{aligned} $$
第8段階　対数・逆三角・端点
$$ \begin{aligned} (34)&\quad\int_0^1\frac{2x+1}{(x^2+x+2)^2}\,dx\\ (35)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+\cos x)^2\,dx\\ (36)&\quad\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x}\,dx\\ (37)&\quad\int_0^1(3x^2+1)e^{x^3+x}\,dx\\ (38)&\quad\int_0^1\frac{1}{x^2+2x+2}\,dx \end{aligned} $$
第9段階　多重合成
$$ \begin{aligned} (39)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{\sin x}\cos x}{1+e^{2\sin x}}\,dx\\ (40)&\quad\int_0^1(2x+1)\ln(x^2+x+1)\,dx\\ (41)&\quad\int_0^1(x^2+x+1)(2x+1)\,dx\\ (42)&\quad\int_0^{\ln2}e^x\sin(e^x)\,dx\\ (43)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan x\,dx \end{aligned} $$
第10段階　根号・逆関数・変化する冪
$$ \begin{aligned} (44)&\quad\int_0^1\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\,dx\\ (45)&\quad\int_0^1\left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{x}{1+x^2}\right)\,dx\\ (46)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+\sin^2x}\,dx\\ (47)&\quad\int_0^{\ln3}(\sinh x+\cosh x)\,dx\\ (48)&\quad\int_0^1(1+x)^x\left(\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}\right)\,dx \end{aligned} $$
第11段階　二次根号の処理
$$ \begin{aligned} (49)&\quad\int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx\\ (50)&\quad\int_1^2\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,dx\\ (51)&\quad\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}\,dx\\ (52)&\quad\int_0^1\frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}}\,dx \end{aligned} $$
第12段階　複数操作の連結
$$ \begin{aligned} (53)&\quad\int_0^1(x^2+2x+2)e^x\,dx\\ (54)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\,dx\\ (55)&\quad\int_0^1\frac{x^3+2x^2+2x+1}{x^2+1}\,dx\\ (56)&\quad\int_0^1\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}\,dx\\ (57)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{2+\sin x}\,dx \end{aligned} $$
第13段階　一次分数構造
$$ \begin{aligned} (58)&\quad\int_0^1\frac{1}{(1+x)(1+2x)}\,dx\\ (59)&\quad\int_0^1\frac{1-x}{(1+x)^3}\,dx\\ (60)&\quad\int_0^1\frac{1+x^2}{(1+x)^2}\,dx\\ (61)&\quad\int_0^{\frac12}\frac{1}{1-x^2}\,dx \end{aligned} $$
第14段階　対称性・絶対値
$$ \begin{aligned} (62)&\quad\int_{-2}^{2}\frac{|x|}{1+x^2}\,dx\\ (63)&\quad\int_0^\pi|\sin x-\cos x|\,dx\\ (64)&\quad\int_0^3\lfloor x\rfloor\,dx\\ (65)&\quad\int_{-1}^{1}\frac{x^2}{1+e^x}\,dx\\ (66)&\quad\int_0^\pi\sin2x|\cos x|\,dx \end{aligned} $$
第15段階　区分関数・小数部分
$$ \{x\}=x-\lfloor x\rfloor $$
$$ \begin{aligned} (67)&\quad\int_0^2\{x\}\,dx\\ (68)&\quad\int_0^2x\{x\}\,dx\\ (69)&\quad\int_0^3(1+\lfloor x\rfloor)e^x\,dx\\ (70)&\quad\int_0^\pi\min\{\sin x,\cos x\}\,dx\\ (71)&\quad\int_0^\pi|\sin2x|\,dx \end{aligned} $$
第16段階　複合構造
$$ \begin{aligned} (72)&\quad\int_0^1 \frac{(2x+1)(x^2+x+2)}{(x^2+x+1)^2}\,dx\\ (73)&\quad\int_0^1 \frac{e^x(x^3+2x^2+3x)}{(x+1)^2}\,dx\\ (74)&\quad\int_0^{\ln2}e^x(\sin x+\cos x)\,dx\\ (75)&\quad\int_0^1\frac{2x+1}{1+(x^2+x)^2}\,dx\\ (76)&\quad\int_0^1\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+4}}\,dx \end{aligned} $$
第17段階　床関数・有限積
$$ \begin{aligned} (77)&\quad\int_0^{2\pi}|\cos x|e^{\sin x}\,dx\\ (78)&\quad\int_0^3(2x+1)\lfloor x\rfloor\,dx\\ (79)&\quad\int_0^2x\lceil x\rceil\,dx\\ (80)&\quad\int_0^1\left( \frac{e^x}{1+e^x}+\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\right)\,dx\\ (81)&\quad\int_0^1\prod_{k=1}^{n}\frac{x+k}{x+k+1}\,dx \end{aligned} $$
第18段階　漸化式・和・区分求積
$$ \begin{aligned} (82)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^5x\,dx\\ (83)&\quad\int_0^1\sum_{k=0}^{n}(x^k-x^{k+1})\,dx\\ (84)&\quad\int_0^1\frac{1}{x+1} \prod_{k=1}^{n}\frac{x+k}{x+k+1}\,dx\\ (85)&\quad\int_0^1\lim_{n\to\infty} \frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(1+\frac{kx}{n}\right)^2\,dx\\ (86)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\lfloor3\sin x\rfloor e^{\sin x}\cos x}{1+e^{2\sin x}}\,dx \end{aligned} $$
第19段階　Wallis型
$$ \begin{aligned} (87)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^8x\,dx\\ (88)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3x\cos^2x\,dx\\ (89)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\cos^4x\,dx\\ (90)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\cos^4x\,dx \end{aligned} $$
第20段階　有限和・有限積
$$ \begin{aligned} (91)&\quad\int_0^1\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}\,dx\\ (92)&\quad\int_0^1\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{x+k}-\frac{1}{x+k+1}\right)\,dx\\ (93)&\quad\int_0^1\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{(x+k)^2}-\frac{1}{(x+k+1)^2}\right)\,dx\\ (94)&\quad\int_0^1\prod_{k=1}^{n}\frac{x+k+1}{x+k}\,dx \end{aligned} $$
問81、83、84、91〜94では正の整数をパラメータとする。
第21段階　広義積分・極限
$$ \begin{aligned} (95)&\quad\int_0^1\frac{(\ln x)^3}{\sqrt{x}}\,dx\\ (96)&\quad\int_0^\infty\frac{4x^3}{(1+x^4)^2}\,dx\\ (97)&\quad\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}\,dx\\ (98)&\quad\int_0^1\frac{x^2\ln(1+x^3)}{1+x^3}\,dx\\ (99)&\quad\int_0^1 \frac{\sum_{k=1}^{n}2k(2x)^{k-1}} {\sum_{k=0}^{n}(2x)^k}\,dx \end{aligned} $$
問99では正の整数をパラメータとする。
第22段階　広義積分の相殺
$$ \begin{aligned} (100)&\quad\int_0^1\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx\\ (101)&\quad\int_0^\infty\frac{\ln x}{1+x^2}\,dx\\ (102)&\quad\int_0^\infty\frac{x}{(1+x^2)^2}\,dx\\ (103)&\quad\int_0^1(-\ln x)^3\,dx \end{aligned} $$
第23段階　総合暗算Ⅰ
$$ (104)\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}} \lfloor4\sin x\rfloor e^{\sin x}\cos x\,dx $$
$$ (105)\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{\sin x}\cos x(2+e^{\sin x}+e^{2\sin x})} {(1+e^{\sin x})(1+e^{2\sin x})}\,dx $$
$$ (106)\quad\int_0^1 \frac{e^x(x^2+x+1)} {\sqrt{1+x^2}(1+e^{2x}(1+x^2))}\,dx $$
$$ (107)\quad\int_0^\pi \frac{|\sin x-\cos x|e^{\sin x+\cos x}} {1+e^{2(\sin x+\cos x)}}\,dx $$
$$ (108)\quad\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+\lfloor4|\sin x|\rfloor)e^{\sin x}\cos x} {1+e^{\sin x}}\,dx $$
第24段階　総合暗算Ⅱ
$$ (109)\quad\int_0^1 \frac{(2x+1)e^{x^2+x}}{1+e^{2(x^2+x)}}\,dx $$
$$ (110)\quad\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\lfloor2|\sin x|\rfloor\cos x}{1+\sin^2x}\,dx $$
$$ (111)\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+\lfloor3\sin x\rfloor)\cos x}{1+\sin^2x}\,dx $$
$$ (112)\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+\lfloor3\sin x\rfloor)e^{\sin x}\cos x (2+e^{\sin x}+e^{2\sin x})} {(1+e^{\sin x})(1+e^{2\sin x})}\,dx $$

3.3　横断演習

ここでは暗算技術を指定しない。解法が定まった後、どの情報を保持すれば計算を完了できるか、自分で判断する。
$$ \begin{aligned} (113)&\quad\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\,dx\\ (114)&\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2+\sin x}\,dx\\ (115)&\quad\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}+x+1}\,dx\\ (116)&\quad\int_0^1\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\,dx\\ (117)&\quad\int_0^1 \frac{(2x+1)\ln(x^2+x+1)}{x^2+x+1}\,dx\\ (118)&\quad\int_0^{\frac12} \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\\ (119)&\quad\int_0^1\frac{\arctan x}{1+x^2}\,dx\\ (120)&\quad\int_0^{\ln2} \frac{\sinh2x}{1+\cosh2x}\,dx \end{aligned} $$
$$ (121)\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}x\,dx $$
$$ (122)\quad\int_0^1 \left(\frac{\sin x}{x}+2xe^{x^2} -\frac{\sin(1-x)}{1-x}\right)\,dx $$
$$ (123)\quad\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \lfloor3|\sin x|\rfloor\cos x\,dx $$
$$ (124)\quad\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+\lfloor3|\sin x|\rfloor)(2+\sin^2x)\cos x} {(1+\sin^2x)(3+\sin^2x)}\,dx $$
$$ (125)\quad\int_0^1 \frac{(2x+1)\ln(x^2+x+1)} {(x^2+x+1)(1+\ln^2(x^2+x+1))}\,dx $$
$$ (126)\quad\int_{-1}^{1} \frac{|x|^3}{(1+x^2)^2(1+e^x)}\,dx $$
$$ (127)\quad\int_0^\pi \frac{|\sin x-\cos x|e^{\sin x+\cos x}} {1+e^{\sin x+\cos x}}\,dx $$
$$ (128)\quad\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\lfloor3\sin x\rfloor e^{\sin x}\cos x} {1+e^{\sin x}}\,dx $$
問121では正の整数をパラメータとする。問122では端点の可除特異点を連続的に補う。

3.4　段階別演習の解答・解説

以下では、単に答えを示すのではなく、どの計算を実行し、何を頭の中で保持するかを確認する。不定積分は、被積分関数が定義される各区間で扱う。
第1段階の解説
問1
分母を一つの対象とする。
$$ D=x^3+x^2+4,\qquad D'=3x^2+2x $$
したがって、
$$ I=\int\frac{D'}{D}\,dx =\boxed{\ln|x^3+x^2+4|+C} $$
暗算では三次式を展開せず、分母内部と分子の微分関係を確認するだけでよい。
問2
$$ D=x^2+3,\qquad D'=2x $$
分子はその二倍である。
$$ I=2\int\frac{D'}{D^2}\,dx =\boxed{-\frac{2}{x^2+3}+C} $$
保持する情報は係数二と、逆数の微分による負号である。
問3
$$ D=1+e^{2x},\qquad D'=2e^{2x} $$
したがって、
$$ I=\boxed{\ln(1+e^{2x})+C} $$
微分に必要な係数二はすでに分子に含まれる。余分な係数調整をしないことが重要である。
問4
$$ D=1+\sin3x,\qquad D'=3\cos3x $$
分子はその三分の一なので、
$$ I=\boxed{\frac{1}{3}\ln|1+\sin3x|+C} $$
となる。暗算では角度の係数三だけを調整し、対数の絶対値を忘れない。
問5
$$ D=x^2+x+5,\qquad D'=2x+1 $$
したがって、
$$ I=\int D^{-\frac12}D'\,dx =\boxed{2\sqrt{x^2+x+5}+C} $$
根号内部を一つの対象として扱えば、置換後の文字を実際に書かなくても計算できる。
第2段階の解説
問6
原始関数を、
$$ e^x(ax^2+bx+c) $$
とすると、微分後の多項式は、
$$ ax^2+(2a+b)x+(b+c) $$
である。
$$ a=1,\qquad 2a+b=4,\qquad b+c=5 $$
から、
$$ (a,b,c)=(1,2,3) $$
を得る。よって、
$$ I=\boxed{e^x(x^2+2x+3)+C} $$
暗算では高次の係数を確定させ、その微分による寄与を次の次数へ渡す。
問7
原始関数を、
$$ e^{3x}(a\cos x+b\sin x) $$
とすると、
$$ 3a+b=5,\qquad 3b-a=5 $$
である。
$$ (a,b)=(1,2) $$
より、
$$ I=\boxed{e^{3x}(\cos x+2\sin x)+C} $$
となる。正弦・余弦の係数を一組で保持し、符号と入れ替わりを同時に処理する。
問8
商を高次から確定すると、
$$ \frac{x^2+3x+1}{x+1} =x+2-\frac{1}{x+1} $$
である。したがって、
$$ I=\boxed{ \frac{x^2}{2}+2x-\ln|x+1|+C } $$
除法の途中式を保存せず、商と余りだけを保持する。
問9
$$ 4-x^2=4\left(1-\frac{x^2}{4}\right) $$
なので、
$$ I=\boxed{\arcsin\frac{x}{2}+C} $$
である。逆正弦の引数に残る二分の一が、微分時の係数調整も担う。
問10
$$ \frac{d}{dx}\cosh2x=2\sinh2x $$
$$ \frac{d}{dx}\sinh2x=2\cosh2x $$
である。よって、
$$ I=\boxed{ \frac{1}{2}\cosh2x+\sinh2x+C } $$
となる。二つの項について内部の係数二をまとめて処理する。
第3段階の解説
問11
$$ I=\left[\ln(1+x^2)\right]_0^1 =\boxed{\ln2} $$
分母内部の端点値は一と二である。式全体を保持せず、その二つの数値だけを対数へ渡す。
問12
$$ I=\left[\frac{1}{3}\sin3x\right]_0^{\frac{\pi}{3}} =\boxed{0} $$
上端で正弦の角度が円周率になる。周期を認識した時点で端点評価は完了する。
問13
$$ I=\left[\ln(1+e^x)\right]_0^{\ln2} $$
$$ e^0=1,\qquad e^{\ln2}=2 $$
なので、
$$ I=\boxed{\ln\frac{3}{2}} $$
である。二つの対数は別々に保持せず、真数の比にまとめる。
問14
$$ I=\left[\sqrt{1+x^2}\right]_0^1 =\boxed{\sqrt2-1} $$
端点での根号内部の値だけを保持し、小数近似は行わない。
問15
$$ I=\left[-\frac{1}{1+x^2}\right]_0^1 $$
$$ I=-\frac12+1 =\boxed{\frac12} $$
逆数を端点で評価する際、原始関数の先頭の負号を忘れない。
第4段階の解説
問16
$$ t=\tan x $$
とすると、
$$ I=\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}} \frac{dt}{(1+t)^2} $$
である。したがって、
$$ I=\left[\frac{t}{1+t}\right]_0^{\frac{1}{\sqrt3}} =\frac{1}{1+\sqrt3} $$
$$ I=\boxed{\frac{\sqrt3-1}{2}} $$
となる。変換後の上端を確定したら、三角関数には戻らず分数だけを整理する。
問17
分母を有理化すると、
$$ \frac{1}{1+\sin x} =\frac{1-\sin x}{\cos^2x} $$
である。形式的な原始関数は、
$$ \tan x-\frac{1}{\cos x} $$
だが、上端では二項とも発散する。そこで先に差をまとめる。
$$ \tan x-\frac{1}{\cos x} =-\frac{\cos x}{1+\sin x} $$
右辺なら端点まで連続的に評価できる。
$$ I=\left[-\frac{\cos x}{1+\sin x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =\boxed{1} $$
暗算では発散する二項の値を別々に保持せず、相殺後の一つの分数を扱う。
問18
$$ t=\tan\frac{x}{2} $$
により、
$$ I=2\int_0^\infty\frac{dt}{t^2+3} $$
である。したがって、
$$ I=\left[ \frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{t}{\sqrt3} \right]_0^\infty =\boxed{\frac{\pi}{\sqrt3}} $$
となる。無限大側の逆正接の値を確定した後、係数だけを掛ける。
問19
分母を有理化する。
$$ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x} =\sqrt{1+x^2}-x $$
したがって、
$$ I=\left[ \frac{x\sqrt{1+x^2} +\ln(x+\sqrt{1+x^2})-x^2}{2} \right]_0^1 $$
$$ I=\boxed{ \frac{\sqrt2-1+\ln(1+\sqrt2)}{2} } $$
である。暗算では根号、対数、多項式の各寄与を分けて評価し、最後にまとめる。
問20
$$ I=\left[\ln(x^2+2)\right]_0^2 =\ln6-\ln2 =\boxed{\ln3} $$
二つの対数を真数の比として処理する。
第5段階の解説
この段階ではWeierstrass（ワイエルシュトラス）置換を用いる。
$$ t=\tan\frac{x}{2} $$
$$ \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} $$
$$ dx=\frac{2\,dt}{1+t^2} $$
問21
$$ I=2\int_0^1\frac{dt}{t^2+2t+3} $$
$$ t^2+2t+3=(t+1)^2+2 $$
より、
$$ I=\boxed{ \sqrt2\left( \arctan\sqrt2-\arctan\frac{1}{\sqrt2} \right) } $$
となる。変換後は平方完成の中心と定数、二つの端点だけを保持する。
問22
$$ I=2\int_0^\infty\frac{dt}{t^2+5} $$
なので、
$$ I=\boxed{\frac{\pi}{\sqrt5}} $$
である。無限大の逆正接の値を既知値として扱う。
問23
$$ I=\int_0^1\frac{dt}{t^2+t+2} $$
$$ t^2+t+2 =\left(t+\frac12\right)^2+\frac74 $$
したがって、
$$ I=\boxed{ \frac{2}{\sqrt7}\left( \arctan\frac{3}{\sqrt7} -\arctan\frac{1}{\sqrt7} \right) } $$
となる。平方完成の中心と端点を組にして保持する。
問24
まず、
$$ \frac{\sin x+\cos x}{2+\sin x+\cos x} =1-\frac{2}{2+\sin x+\cos x} $$
と分離する。したがって、
$$ I=\frac{\pi}{2} -2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{2+\sin x+\cos x} $$
であり、後半は問21と同じである。
$$ I=\boxed{ \frac{\pi}{2} -2\sqrt2\left( \arctan\sqrt2-\arctan\frac{1}{\sqrt2} \right) } $$
暗算では既知の積分値を再利用し、同じ変換を実行し直さない。
第6段階の解説
問25
原始関数を、
$$ e^xP(x) $$
と考える。
$$ P+P'=x^3+3x^2+4x+5 $$
なので、高次から係数を確定すると、
$$ (1,3,4,5)\longmapsto(1,0,4,1) $$
となる。したがって、
$$ I=\boxed{e^x(x^3+4x+1)+C} $$
である。各次数の係数を確定したら、その寄与だけを次の次数へ渡す。
問26
原始関数を、
$$ e^{2x}(a\cos3x+b\sin3x) $$
とする。係数比較から、
$$ 2a+3b=4,\qquad 2b-3a=7 $$
を得る。
$$ (a,b)=(-1,2) $$
より、
$$ I=\boxed{e^{2x}(-\cos3x+2\sin3x)+C} $$
となる。二係数を符号付きの一組として処理する。
問27
$$ \frac{x^3+x^2+3x+4}{x^2+1} =x+1+\frac{2x+3}{x^2+1} $$
である。余りの一次項は分母の微分形、定数項は逆正接形に対応する。
$$ I=\boxed{ \frac{x^2}{2}+x+\ln(x^2+1)+3\arctan x+C } $$
暗算では商と余りを確定した時点で除法を終え、残る二つの既知形へ移る。
問28
$$ x^2+6x+13=(x+3)^2+4 $$
である。よって、
$$ I=\boxed{ \frac32\arctan\frac{x+3}{2}+C } $$
となる。平方完成後の中心と定数二だけを保持する。
問29
$$ I=\frac12\int\frac{2x}{x^2-1}\,dx $$
だから、
$$ I=\boxed{\frac12\ln|x^2-1|+C} $$
である。定義域で分母が零にならないことを踏まえ、絶対値を付けて扱う。
第7段階の解説
問30
原始関数を、
$$ e^{3x}(a\cos2x+b\sin2x) $$
とする。
$$ 3a+2b=5,\qquad3b-2a=1 $$
より、
$$ (a,b)=(1,1) $$
である。したがって、
$$ I=\left[e^{3x}(\cos2x+\sin2x)\right]_0^1 $$
$$ I=\boxed{e^3(\cos2+\sin2)-1} $$
となる。係数対を先に確定してから端点だけを評価する。
問31
$$ P+P'=x^3+6x^2+15x+16 $$
を満たす多項式の係数は、
$$ (1,6,15,16)\longmapsto(1,3,9,7) $$
である。したがって、
$$ I=\left[e^x(x^3+3x^2+9x+7)\right]_0^1 $$
$$ I=\boxed{20e-7} $$
となる。上端では係数の和だけを求めればよい。
問32
二つの分数は、それぞれ分母の微分形を持つ。
$$ I=\left[ \ln(x^2+x+1)+\ln(1+x^2) \right]_0^1 $$
よって、
$$ I=\boxed{\ln6} $$
となる。二つの対数を個別に保持せず、真数の積としてまとめる。
問33
原始関数を、
$$ e^{2x}(a\cos x+b\sin x) $$
と考える。
$$ 2a+b=3,\qquad2b-a=1 $$
より、
$$ (a,b)=(1,1) $$
である。したがって、
$$ I=\left[e^{2x}(\cos x+\sin x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =\boxed{e^\pi-1} $$
となる。両端で正弦と余弦のどちらが一になるかだけを確認する。
第8段階の解説
問34
$$ D=x^2+x+2,\qquad D'=2x+1 $$
なので、
$$ I=\left[-\frac{1}{D}\right]_0^1 $$
$$ I=-\frac14+\frac12 =\boxed{\frac14} $$
である。分母内部の端点値二、四だけを保持する。
問35
$$ (\sin x+\cos x)^2=1+\sin2x $$
である。したがって、
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin2x)\,dx =\boxed{\frac{\pi}{2}+1} $$
となる。定数部分と周期部分の寄与を分離する。
問36
$$ I=\left[\frac12(\ln(1+x))^2\right]_0^1 =\boxed{\frac{(\ln2)^2}{2}} $$
である。端点で対数を確定してから二乗する。
問37
$$ D=x^3+x,\qquad D'=3x^2+1 $$
より、
$$ I=\left[e^D\right]_0^1 =\boxed{e^2-1} $$
となる。指数内部の端点値だけを保持する。
問38
$$ x^2+2x+2=(x+1)^2+1 $$
なので、
$$ I=\left[\arctan(x+1)\right]_0^1 =\boxed{\arctan2-\frac{\pi}{4}} $$
である。平方完成後の二つの端点値だけを評価する。
第9段階の解説
問39
$$ t=e^{\sin x} $$
とすると、
$$ I=\int_1^e\frac{dt}{1+t^2} =\boxed{\arctan e-\frac{\pi}{4}} $$
である。三角関数の端点値を指数関数へ渡したら、元の三角関数は保持しない。
問40
$$ t=x^2+x+1 $$
により、
$$ I=\int_1^3\ln t\,dt =\left[t\ln t-t\right]_1^3 $$
したがって、
$$ I=\boxed{3\ln3-2} $$
である。変換後の区間が確定したら、二次式へ戻さない。
問41
$$ t=x^2+x+1 $$
とすると、
$$ I=\int_1^3t\,dt =\boxed{4} $$
となる。二次式の展開は不要である。
問42
$$ t=e^x $$
より、
$$ I=\int_1^2\sin t\,dt =\boxed{\cos1-\cos2} $$
となる。指数関数の端点値を三角関数へ渡すだけでよい。
問43
$$ I=\left[-\ln|\cos x|\right]_0^{\frac{\pi}{4}} $$
$$ I=-\ln\frac{1}{\sqrt2} =\boxed{\frac12\ln2} $$
となる。平方根を対数の係数へ移してから評価する。
第10段階の解説
問44
$$ t=\sqrt{x},\qquad dx=2t\,dt $$
とすると、
$$ I=2\int_0^1\frac{t^2}{1+t}\,dt $$
である。
$$ \frac{t^2}{1+t} =t-1+\frac{1}{1+t} $$
より、
$$ I=\boxed{2\ln2-1} $$
となる。根号を一つの対象として扱い、商と余りへ分解する。
問45
第一項の原始関数は、
$$ \ln(x+\sqrt{1+x^2}) $$
であり、第二項の原始関数は、
$$ \frac12\ln(1+x^2) $$
である。したがって、
$$ I=\boxed{ \ln(1+\sqrt2)+\frac12\ln2 } $$
となる。二つの原始関数の端点値だけを確定し、途中では対数を無理に統合しない。
問46
$$ t=\sin x $$
とすると、
$$ I=\int_0^1\frac{dt}{1+t^2} =\boxed{\frac{\pi}{4}} $$
となる。変換後は逆正接の端点値だけを扱う。
問47
$$ \sinh x+\cosh x=e^x $$
である。したがって、
$$ I=\left[e^x\right]_0^{\ln3} =\boxed{2} $$
となる。二つの双曲線関数を別々に積分する必要はない。
問48
$$ A=(1+x)^x $$
とおけば、
$$ A'=A\left(\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}\right) $$
である。よって、
$$ I=\left[A\right]_0^1 =2-1 =\boxed{1} $$
となる。底と指数を別々に処理せず、冪全体の端点値を求める。
第11段階の解説
問49
既知の原始関数、
$$ F(x)=\frac12\left( x\sqrt{1+x^2} +\ln(x+\sqrt{1+x^2}) \right) $$
を用いる。
$$ F'(x)=\sqrt{1+x^2} $$
である。したがって、
$$ I=\boxed{ \frac{\sqrt2+\ln(1+\sqrt2)}{2} } $$
となる。根号部分と対数部分を一組で保持する。
問50
下端は広義積分の端点であるが、
$$ \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \sim\frac{1}{\sqrt{2(x-1)}} \qquad(x\to1+) $$
なので収束する。
原始関数は、
$$ F(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1}) $$
であり、
$$ I=F(2)-\lim_{x\to1+}F(x) $$
となる。
$$ I=\boxed{\ln(2+\sqrt3)} $$
下端の真数は一に収束する。暗算では極限を確認してから、上端の値だけを残す。
問51
原始関数を、
$$ F(x)=\ln\left( 2x+1+2\sqrt{x^2+x+1} \right) $$
とすると、
$$ F'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} $$
である。したがって、
$$ I=\left[F(x)\right]_0^1 =\boxed{\ln\frac{3+2\sqrt3}{3}} $$
となる。端点で対数の真数を確定し、比へまとめる。
問52
$$ x=\sin t $$
とすると、
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{1+\cos t}\,dt $$
である。
$$ \frac{\cos t}{1+\cos t} =1-\frac{1}{1+\cos t} $$
を利用し、
$$ \frac{1}{1+\cos t} =\frac{1}{2\cos^2\frac{t}{2}} $$
なので、
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{1+\cos t} =\left[\tan\frac{t}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =1 $$
したがって、
$$ I=\boxed{\frac{\pi}{2}-1} $$
となる。全体を一と残りの部分に分離すると、暗算で保持する式が単純になる。
第12段階の解説
問53
$$ \frac{d}{dx}\left[e^x(x^2+2)\right] =e^x(x^2+2x+2) $$
である。したがって、
$$ I=\left[e^x(x^2+2)\right]_0^1 =\boxed{3e-2} $$
となる。部分積分の繰り返しを、原始関数側の多項式の係数決定へ圧縮する。
問54
部分積分より、
$$ I=\left[-x\cos x+\sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} $$
である。したがって、
$$ I=\boxed{1} $$
となる。上端では余弦を含む境界項が零になることを先に確定する。
問55
$$ \frac{x^3+2x^2+2x+1}{x^2+1} =x+2+\frac{x-1}{x^2+1} $$
である。したがって、
$$ I=\left[ \frac{x^2}{2}+2x+ \frac12\ln(1+x^2)-\arctan x \right]_0^1 $$
$$ I=\boxed{ \frac52+\frac12\ln2-\frac{\pi}{4} } $$
となる。商、対数型、逆正接型の三つの寄与を分けて評価する。
問56
$$ D=x^2+x+1,\qquad D'=2x+1 $$
なので、
$$ I=\left[2\sqrt D\right]_0^1 =\boxed{2(\sqrt3-1)} $$
となる。根号内部の端点値だけを保持する。
問57
$$ I=\left[\ln(2+\sin x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =\boxed{\ln\frac32} $$
となる。対数の真数の比を直接求める。
第13段階の解説
問58
部分分数分解すると、
$$ \frac{1}{(1+x)(1+2x)} =-\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+2x} $$
である。したがって、
$$ I=\left[ \ln\frac{1+2x}{1+x} \right]_0^1 =\boxed{\ln\frac32} $$
となる。二つの係数を一組で保持し、対数を最後に統合する。
問59
$$ t=1+x $$
とすると、
$$ 1-x=2-t $$
なので、
$$ I=\int_1^2\left( \frac{2}{t^3}-\frac{1}{t^2} \right)\,dt $$
である。
$$ I=\left[ -\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t} \right]_1^2 =\boxed{\frac14} $$
となる。元の一次式を何度も展開せず、変換後の冪と係数だけを扱う。
問60
$$ t=1+x $$
とすると、
$$ 1+x^2=t^2-2t+2 $$
である。したがって、
$$ I=\int_1^2\left( 1-\frac{2}{t}+\frac{2}{t^2} \right)\,dt $$
$$ I=\left[ t-2\ln t-\frac{2}{t} \right]_1^2 =\boxed{2-2\ln2} $$
となる。多項式と逆数の端点寄与を先にまとめ、最後に対数を加える。
問61
$$ \frac{1}{1-x^2} =\frac12\left( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x} \right) $$
だから、
$$ I=\left[ \frac12\ln\frac{1+x}{1-x} \right]_0^{\frac12} =\boxed{\frac12\ln3} $$
となる。二つの対数を一つの比として保持する。
第14段階の解説
問62
被積分関数は偶関数である。
$$ I=2\int_0^2\frac{x}{1+x^2}\,dx $$
$$ I=\left[\ln(1+x^2)\right]_0^2 =\boxed{\ln5} $$
暗算では最初に対称性を使い、絶対値を消してから処理する。
問63
符号の切替点は、
$$ x=\frac{\pi}{4} $$
である。したがって、
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x-\sin x)\,dx +\int_{\frac{\pi}{4}}^\pi (\sin x-\cos x)\,dx $$
である。
$$ I=(\sqrt2-1)+(1+\sqrt2) =\boxed{2\sqrt2} $$
暗算では切替点の値を一度確定し、両区間で共有する。
問64
床関数の値は、一から二までで一、二から三までで二である。
$$ I=\int_1^2 1\,dx+\int_2^3 2\,dx =\boxed{3} $$
区間の長さと係数だけを保持すればよい。

問65
偶関数である分子を利用し、対称な点を組にする。
$$ \frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}=1 $$
したがって、
$$ 2I=\int_{-1}^{1}x^2\,dx =\frac23 $$
なので、
$$ I=\boxed{\frac13} $$
となる。指数関数を含む二つの項を個別に積分せず、相補性によって一度に消去する。
問66
$$ f(x)=\sin2x|\cos x| $$
とおくと、
$$ f(\pi-x)=-f(x) $$
である。積分区間はこの変換で不変なので、
$$ I=\boxed{0} $$
となる。符号反転による相殺を確認したら、原始関数を求める必要はない。
第15段階の解説
問67
小数部分は周期一で同じ形を繰り返す。
$$ I=\int_0^1x\,dx+\int_1^2(x-1)\,dx $$
したがって、
$$ I=\frac12+\frac12 =\boxed{1} $$
となる。一周期の寄与を一度計算して再利用する。
問68
区間ごとに小数部分を外す。
$$ I=\int_0^1x^2\,dx+\int_1^2x(x-1)\,dx $$
$$ I=\frac13+\frac56 =\boxed{\frac76} $$
となる。後半は前半と同じ寄与ではない。小数部分の周期性と、それに掛かる一次式の変化を区別する。
問69
床関数による重みは、各区間で一、二、三となる。
$$ I=(e-1)+2(e^2-e)+3(e^3-e^2) $$
同じ端点に現れる指数関数の係数をまとめれば、
$$ I=\boxed{3e^3-e^2-e-1} $$
である。区間ごとの値を保持し続けず、共通端点で整理する。
問70
二つの三角関数の大小が切り替わる点は、
$$ x=\frac{\pi}{4} $$
である。したがって、
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin x\,dx +\int_{\frac{\pi}{4}}^\pi\cos x\,dx $$
$$ I=1-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2} =\boxed{1-\sqrt2} $$
となる。後半では余弦が負になる区間を含むため、積分値全体が負になり得る。符号を勝手に正へ直さない。
問71
絶対値によって、正負の半周期が同じ正の寄与になる。
$$ I=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin2x\,dx =\boxed{2} $$
となる。一つの半周期の値を求めて二倍する。
第16段階の解説
問72
$$ t=x^2+x+1 $$
とすると、
$$ dt=(2x+1)\,dx $$
であり、
$$ x^2+x+2=t+1 $$
となる。したがって、
$$ I=\int_1^3\frac{t+1}{t^2}\,dt =\int_1^3\left( \frac{1}{t}+\frac{1}{t^2} \right)\,dt $$
$$ I=\boxed{\ln3+\frac23} $$
を得る。共通する二次式を一つの対象として扱い、変換後の二項だけを処理する。
問73
分母の平方から商の微分を想定し、原始関数を、
$$ F(x)=\frac{e^x(x^2+1)}{x+1} $$
と考える。実際、
$$ F'(x)= \frac{e^x(x^3+2x^2+3x)}{(x+1)^2} $$
である。したがって、
$$ I=F(1)-F(0) =\boxed{e-1} $$
となる。分母の平方を見たら商の微分を候補に挙げ、分子の係数比較で確認する。
問74
$$ \frac{d}{dx}(e^x\sin x) =e^x(\sin x+\cos x) $$
なので、
$$ I=\left[e^x\sin x\right]_0^{\ln2} =\boxed{2\sin(\ln2)} $$
となる。指数関数の端点値を先に確定させる。
問75
$$ t=x^2+x $$
により、
$$ I=\int_0^2\frac{dt}{1+t^2} =\boxed{\arctan2} $$
となる。二次式全体の端点値だけを保持する。
問76
$$ D=x^2+2x+4,\qquad D'=2x+2 $$
であり、分子はその二分の一である。したがって、
$$ I=\left[\sqrt D\right]_0^1 =\boxed{\sqrt7-2} $$
となる。根号内部の端点値を直接評価する。
第17段階の解説
問77
余弦の符号は、
$$ x=\frac{\pi}{2},\qquad x=\frac{3\pi}{2} $$
で切り替わる。したがって、
$$ \begin{aligned} I={}&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,e^{\sin x}\,dx\\ &-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\cos x\,e^{\sin x}\,dx\\ &+\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\cos x\,e^{\sin x}\,dx \end{aligned} $$
である。
$$ \frac{d}{dx}e^{\sin x} =\cos x\,e^{\sin x} $$
なので、各区間での値は、
$$ e-1,\qquad e-e^{-1},\qquad1-e^{-1} $$
となる。したがって、
$$ I=\boxed{2(e-e^{-1})} $$
である。
暗算では符号の切替点と指数関数の値だけを保持する。同じ端点の値が複数回現れたら、先に係数をまとめる。
問78
床関数の値は、一から二までで一、二から三までで二である。
$$ I=\int_1^2(2x+1)\,dx +2\int_2^3(2x+1)\,dx $$
$$ I=4+12 =\boxed{16} $$
となる。各区間で原始関数の差を計算し、その後に区間の重みを掛ける。
問79
天井関数は、零から一までで一、一から二までで二となる。ただし端点での値は積分に影響しない。
$$ I=\int_0^1x\,dx +2\int_1^2x\,dx $$
$$ I=\frac12+3 =\boxed{\frac72} $$
となる。区間ごとの重みと一次関数の積分値だけを保持する。
問80
$$ \frac{e^x}{1+e^x} +\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}=1 $$
である。したがって、
$$ I=\int_0^1 1\,dx =\boxed{1} $$
となる。二つの分数を別々の積分として扱わない。
問81
有限積は中間因子が相殺する。
$$ \prod_{k=1}^{n}\frac{x+k}{x+k+1} =\frac{x+1}{x+n+1} $$
さらに、
$$ \frac{x+1}{x+n+1} =1-\frac{n}{x+n+1} $$
なので、
$$ I=\int_0^1\left( 1-\frac{n}{x+n+1} \right)\,dx $$
$$ I=\boxed{ 1-n\ln\frac{n+2}{n+1} } $$
となる。有限積の最初と最後の因子だけを保持する。
第18段階の解説
問82
Wallis型の漸化式から、
$$ I=\frac45\cdot\frac23 =\boxed{\frac{8}{15}} $$
となる。奇数冪の初期値は一なので、係数の積だけを求めればよい。
問83
隣接する項が相殺する。
$$ \sum_{k=0}^{n}(x^k-x^{k+1}) =1-x^{n+1} $$
したがって、
$$ I=\int_0^1(1-x^{n+1})\,dx $$
$$ I=1-\frac{1}{n+2} =\boxed{\frac{n+1}{n+2}} $$
となる。総和の最初と最後に残る項だけを保持する。
問84
$$ \prod_{k=1}^{n}\frac{x+k}{x+k+1} =\frac{x+1}{x+n+1} $$
である。したがって、
$$ \frac{1}{x+1} \prod_{k=1}^{n}\frac{x+k}{x+k+1} =\frac{1}{x+n+1} $$
となり、
$$ I=\boxed{\ln\frac{n+2}{n+1}} $$
を得る。有限積を展開せず、相殺後の一つの分数だけを扱う。
問85
和を展開する。
$$ \begin{aligned} \frac1n\sum_{k=1}^{n} \left(1+\frac{kx}{n}\right)^2 ={}&1+\frac{2x}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k\\ &+\frac{x^2}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2 \end{aligned} $$
総和公式を適用すると、
$$ =1+\frac{n+1}{n}x +\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}x^2 $$
となる。各係数は区間全体で一様に収束するので、極限と積分を交換できる。
$$ I=\int_0^1\left( 1+x+\frac{x^2}{3} \right)\,dx $$
$$ I=1+\frac12+\frac19 =\boxed{\frac{29}{18}} $$
となる。暗算では和の各項を保持せず、極限後に残る多項式の係数だけを扱う。
問86
$$ t=\sin x $$
とすると、床関数の切替値は、
$$ \frac13,\qquad\frac23 $$
である。
$$ F(t)=\arctan(e^t) $$
とおけば、
$$ F'(t)=\frac{e^t}{1+e^{2t}} $$
なので、
$$ I=F\left(\frac23\right)-F\left(\frac13\right) +2\left(F(1)-F\left(\frac23\right)\right) $$
となる。端点の係数をまとめて、
$$ I=\boxed{ 2\arctan e-\arctan(e^{\frac13})-\arctan(e^{\frac23}) } $$
を得る。切替点で同じ関数値を何度も計算しない。
第19段階の解説
問87
Wallis型の漸化式を繰り返すと、
$$ I=\frac78\cdot\frac56\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac{\pi}{2} $$
となる。約分して、
$$ I=\boxed{\frac{35\pi}{256}} $$
を得る。係数を逐次掛け切らず、積全体で約分する。
問88
$$ t=\cos x $$
とすると、
$$ \sin^3x\,dx =(1-t^2)(-dt) $$
である。端点の向きも反転するため、
$$ I=\int_0^1(1-t^2)t^2\,dt $$
となる。したがって、
$$ I=\frac13-\frac15 =\boxed{\frac{2}{15}} $$
を得る。奇数冪の一つを微分形として残し、残りを多項式へ変える。
問89
一般に、
$$ J_{m,n} =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^m x\cos^n x\,dx $$
とおくと、適切な正の整数について、部分積分から、
$$ J_{m,n} =\frac{n-1}{m+n}J_{m,n-2} $$
が成り立つ。
ここでは、
$$ J_{2,4}=\frac36J_{2,2} $$
である。また、
$$ J_{2,2} =\frac14\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(2x)\,dx =\frac{\pi}{16} $$
なので、
$$ I=\frac12\cdot\frac{\pi}{16} =\boxed{\frac{\pi}{32}} $$
となる。漸化式では下げる次数と分母の次数和を一組で保持する。
問90
$$ \sin^4x\cos^4x =\frac{1}{16}\sin^4(2x) $$
である。また、
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4(2x)\,dx =\frac{3\pi}{16} $$
なので、
$$ I=\frac{1}{16}\cdot\frac{3\pi}{16} =\boxed{\frac{3\pi}{256}} $$
となる。二つの冪を展開する代わりに、倍角で一つの冪へまとめる。
第20段階の解説
問91
有限和なので積分と和を交換できる。
$$ I=\sum_{k=1}^{n}\int_0^1kx^{k-1}\,dx $$
各項の積分値は一であるから、
$$ I=\boxed{n} $$
となる。すべての項を個別に評価せず、項数だけを保持する。
問92
$$ \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{x+k}-\frac{1}{x+k+1} \right) =\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+n+1} $$
である。したがって、
$$ I=\left[ \ln(x+1)-\ln(x+n+1) \right]_0^1 $$
$$ I=\boxed{ \ln\frac{2(n+1)}{n+2} } $$
となる。隣接する項は計算せずに消去し、両端だけを保持する。
問93
分母が二乗されても相殺の構造は変わらない。
$$ \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{(x+k)^2}-\frac{1}{(x+k+1)^2} \right) =\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x+n+1)^2} $$
したがって、
$$ I=\left[ -\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+n+1} \right]_0^1 $$
となる。
$$ I=\frac12+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1} $$
より、
$$ I=\boxed{ \frac12-\frac{1}{(n+1)(n+2)} } $$
を得る。相殺後の二つの分数だけを扱えばよい。
問94
$$ \prod_{k=1}^{n}\frac{x+k+1}{x+k} =\frac{x+n+1}{x+1} $$
である。さらに、
$$ \frac{x+n+1}{x+1} =1+\frac{n}{x+1} $$
なので、
$$ I=\boxed{1+n\ln2} $$
となる。積の中間因子を計算しない。
第21段階の解説
問95
正の実数のパラメータと非負整数の指数について、
$$ \int_0^1x^{a-1}(\ln x)^m\,dx =\frac{(-1)^m m!}{a^{m+1}} $$
が成り立つ。これは、
$$ \int_0^1x^{a-1}\,dx=\frac1a $$
をパラメータで繰り返し微分して得られる。
今回、
$$ a=\frac12,\qquad m=3 $$
なので、
$$ I=-\frac{3!}{(\frac12)^4} =\boxed{-96} $$
となる。
また、下端付近での対数冪と正の冪の積の収束性から、この広義積分は収束する。暗算では階乗、符号、分母の冪を一組で処理する。
問96
$$ t=1+x^4 $$
とすると、
$$ dt=4x^3\,dx $$
なので、
$$ I=\int_1^\infty\frac{dt}{t^2} =\boxed{1} $$
となる。無限大側の逆数は零になるため、有限端点の寄与だけが残る。
問97
$$ t=\sqrt{x},\qquad dx=2t\,dt $$
とすると、
$$ I=2\int_0^1\frac{dt}{1+t} =\boxed{2\ln2} $$
となる。下端の特異性は、この変換によって解消される。根号を一つの対象として扱う。
問98
$$ t=1+x^3 $$
とすると、
$$ dt=3x^2\,dx $$
なので、
$$ I=\frac13\int_1^2\frac{\ln t}{t}\,dt $$
となる。したがって、
$$ I=\boxed{\frac{(\ln2)^2}{6}} $$
である。端点の対数値を確定させてから平方する。
問99
分母全体を、
$$ S(x)=\sum_{k=0}^{n}(2x)^k $$
とおくと、
$$ S'(x)=\sum_{k=1}^{n}2k(2x)^{k-1} $$
である。したがって、
$$ I=\left[\ln S(x)\right]_0^1 $$
となる。
$$ S(0)=1,\qquad S(1)=2^{n+1}-1 $$
より、
$$ I=\boxed{\ln(2^{n+1}-1)} $$
を得る。有限和の各項を保持せず、その微分関係と端点の等比和を使う。
第22段階の解説
問100
原始関数を、
$$ F(x)=2\sqrt{x}(\ln x-2) $$
とする。
$$ F'(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}} $$
である。また、
$$ \lim_{x\to0+}\sqrt{x}\ln x=0 $$
なので、
$$ I=F(1)-\lim_{x\to0+}F(x) =\boxed{-4} $$
となる。発散する対数と零へ向かう平方根を別々に評価せず、積全体の極限を確定する。
問101
まず収束性を確認する。
$$ \int_0^1|\ln x|\,dx<\infty $$
であり、無限大付近でも、
$$ \frac{|\ln x|}{1+x^2} \leq\frac{\ln x}{x^2} \qquad(x\geq1) $$
となるので、絶対収束する。
ここで、
$$ x=\frac1t $$
と置換すると、
$$ \begin{aligned} I &=\int_0^\infty \frac{\ln\frac1t}{1+\frac{1}{t^2}}\, \frac{dt}{t^2}\\ &=-\int_0^\infty\frac{\ln t}{1+t^2}\,dt\\ &=-I \end{aligned} $$
となる。したがって、
$$ I=\boxed{0} $$
である。暗算では元の積分が負号付きで再現されることだけを保持する。未評価の積分を計算し切る必要はない。
問102
$$ I=\left[-\frac{1}{2(1+x^2)}\right]_0^\infty $$
である。無限大側の寄与は零なので、
$$ I=\boxed{\frac12} $$
となる。極限を先に確定させ、有限端点の寄与だけを残す。
問103
$$ t=-\ln x $$
とすると、
$$ I=\int_0^\infty t^3e^{-t}\,dt $$
となる。部分積分による次数低下から、
$$ I=3\cdot2\cdot1 =\boxed{6} $$
を得る。端点での境界項は零になる。暗算では途中の積分値を保持せず、係数の積だけを扱う。
第23段階の解説
問104
$$ t=\sin x $$
とすると、積分区間は零から一になる。床関数の切替値は、
$$ \frac14,\qquad\frac12,\qquad\frac34 $$
である。したがって、
$$ I=\int_{\frac14}^{\frac12}e^t\,dt +2\int_{\frac12}^{\frac34}e^t\,dt +3\int_{\frac34}^1e^t\,dt $$
となる。端点の係数を整理して、
$$ I=\boxed{ 3e-e^{\frac14}-e^{\frac12}-e^{\frac34} } $$
を得る。切替値が増えても、保持するのは各端点の関数値と最終係数だけである。
問105
$$ t=e^{\sin x} $$
とすると、積分区間は一から自然対数の底までとなる。
$$ \frac{2+t+t^2}{(1+t)(1+t^2)} =\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1+t^2} $$
なので、
$$ I=\left[ \ln(1+t)+\arctan t \right]_1^e $$
したがって、
$$ I=\boxed{ \ln\frac{1+e}{2} +\arctan e-\frac{\pi}{4} } $$
となる。二つの原始関数を同じ端点で同時に評価する。
問106
指数関数と根号の積を、
$$ t=e^x\sqrt{1+x^2} $$
とする。その微分は、
$$ dt=\frac{e^x(x^2+x+1)}{\sqrt{1+x^2}}\,dx $$
である。したがって、
$$ I=\int_1^{e\sqrt2}\frac{dt}{1+t^2} $$
より、
$$ I=\boxed{ \arctan(e\sqrt2)-\frac{\pi}{4} } $$
を得る。複数の因子を個別に保持せず、その積全体を一つの対象として扱う。
問107
$$ F(x)=\arctan(e^{\sin x+\cos x}) $$
とすると、
$$ F'(x)= (\cos x-\sin x) \frac{e^{\sin x+\cos x}} {1+e^{2(\sin x+\cos x)}} $$
である。絶対値の切替点は、
$$ x=\frac{\pi}{4} $$
なので、
$$ I=2F\left(\frac{\pi}{4}\right)-F(0)-F(\pi) $$
となる。
$$ F(0)=\arctan e,\qquad F(\pi)=\arctan(e^{-1}) $$
であり、
$$ \arctan e+\arctan(e^{-1})=\frac{\pi}{2} $$
を利用して、
$$ I=\boxed{ 2\arctan(e^{\sqrt2})-\frac{\pi}{2} } $$
を得る。切替点の値を二度使い、残る二つの端点値は相補関係でまとめる。
問108
$$ t=\sin x $$
とすると、積分区間は負の一から一になる。
$$ w(t)=1+\lfloor4|t|\rfloor $$
$$ g(t)=\frac{e^t}{1+e^t} $$
とおく。重みは偶関数であり、
$$ g(t)+g(-t)=1 $$
なので、
$$ I=\int_0^1w(t)\{g(t)+g(-t)\}\,dt =\int_0^1w(t)\,dt $$
となる。したがって、
$$ I=1+\int_0^1\lfloor4t\rfloor\,dt $$
であり、
$$ I=1+\frac{0+1+2+3}{4} =\boxed{\frac52} $$
を得る。
ここでは複雑な指数関数を積分していない。相補性で消去した後、床関数の区間ごとの重みだけを計算する。
第24段階の解説
問109
$$ t=x^2+x $$
とすると、
$$ dt=(2x+1)\,dx $$
$$ t:0\longmapsto2 $$
である。したがって、
$$ I=\int_0^2\frac{e^t}{1+e^{2t}}\,dt =\boxed{\arctan(e^2)-\frac{\pi}{4}} $$
となる。二次式全体を一つの対象とし、端点を更新する。
問110
$$ t=\sin x $$
とすると、区間は負の一から一になる。被積分関数は偶関数なので、
$$ I=2\int_0^1\frac{\lfloor2t\rfloor}{1+t^2}\,dt $$
である。床関数は二分の一未満では零、それ以上では一なので、
$$ I=2\int_{\frac12}^1\frac{dt}{1+t^2} $$
したがって、
$$ I=\boxed{ \frac{\pi}{2}-2\arctan\frac12 } $$
となる。対称性を利用してから切替値を処理する。
問111
$$ t=\sin x $$
とすると、
$$ I=\int_0^1\frac{1+\lfloor3t\rfloor}{1+t^2}\,dt $$
となる。
$$ F(t)=\arctan t $$
とおけば、
$$ \begin{aligned} I={}&F\left(\frac13\right)-F(0)\\ &+2\left(F\left(\frac23\right)-F\left(\frac13\right)\right)\\ &+3\left(F(1)-F\left(\frac23\right)\right) \end{aligned} $$
である。共通端点の係数を整理して、
$$ I=\boxed{ \frac{3\pi}{4} -\arctan\frac13-\arctan\frac23 } $$
を得る。区間ごとの値を独立に保持せず、最後に残る端点値だけを計算する。
問112
$$ t=\sin x $$
とすると、積分区間は零から一になる。
$$ G(t)=\ln(1+e^t)+\arctan(e^t) $$
とおけば、
$$ G'(t)= \frac{e^t(2+e^t+e^{2t})} {(1+e^t)(1+e^{2t})} $$
である。切替値は、
$$ \frac13,\qquad\frac23 $$
なので、
$$ \begin{aligned} I={}&G\left(\frac13\right)-G(0)\\ &+2\left(G\left(\frac23\right)-G\left(\frac13\right)\right)\\ &+3\left(G(1)-G\left(\frac23\right)\right) \end{aligned} $$
となる。係数をまとめれば、
$$ I=3G(1)-G\left(\frac13\right) -G\left(\frac23\right)-G(0) $$
であり、
$$ \boxed{ \begin{aligned} I={}&3\ln(1+e)+3\arctan e\\ &-\ln(1+e^{\frac13})-\arctan(e^{\frac13})\\ &-\ln(1+e^{\frac23})-\arctan(e^{\frac23})\\ &-\ln2-\frac{\pi}{4} \end{aligned} } $$
を得る。
暗算では対数と逆正接を別々の区間で積分しない。両者を一つの原始関数へまとめ、必要な四つの端点値だけを保持する。

3.5　横断演習の解答・解説

問113
$$ t=\sqrt{x+1},\qquad dx=2t\,dt $$
とすると、
$$ I=2\int_1^{\sqrt2}\frac{t}{t+1}\,dt $$
である。
$$ \frac{t}{t+1}=1-\frac{1}{t+1} $$
なので、
$$ I=2\left[t-\ln(t+1)\right]_1^{\sqrt2} $$
$$ I=\boxed{ 2(\sqrt2-1)-2\ln\frac{1+\sqrt2}{2} } $$
となる。根号を一つの対象として扱い、商と余りを処理する。
問114
$$ t=\tan\frac{x}{2} $$
とすると、
$$ I=\int_0^1\frac{dt}{t^2+t+1} $$
となる。平方完成して、
$$ t^2+t+1 =\left(t+\frac12\right)^2+\frac34 $$
なので、
$$ I=\left[ \frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{2t+1}{\sqrt3} \right]_0^1 $$
である。
$$ I=\frac{2}{\sqrt3}\left( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} \right) =\boxed{\frac{\pi}{3\sqrt3}} $$
となる。平方完成後は逆正接の二つの既知値だけを保持する。
問115
分母を有理化すると、
$$ \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}+x+1} =\sqrt{x^2+2x+2}-x-1 $$
となる。
$$ t=x+1 $$
とおけば、
$$ I=\int_1^2(\sqrt{t^2+1}-t)\,dt $$
である。したがって、
$$ I=\left[ \frac{ t\sqrt{t^2+1} +\ln(t+\sqrt{t^2+1}) -t^2 }{2} \right]_1^2 $$
となり、
$$ I=\boxed{ \frac{ 2\sqrt5-\sqrt2-3 +\ln\frac{2+\sqrt5}{1+\sqrt2} }{2} } $$
を得る。
暗算では根号部分、対数部分、多項式部分を分けて端点評価し、最後に統合する。
問116
部分分数分解すると、
$$ \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)} =\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2} $$
である。したがって、
$$ I=\left[ \ln(x+1)+\ln(x+2) \right]_0^1 $$
$$ I=\ln2+\ln3-\ln2 =\boxed{\ln3} $$
となる。共通する対数を先に消去する。
問117
$$ t=\ln(x^2+x+1) $$
とすると、
$$ dt=\frac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx $$
なので、
$$ I=\int_0^{\ln3}t\,dt =\boxed{\frac{(\ln3)^2}{2}} $$
となる。二次式と対数の合成構造を一つの対象として扱う。
問118
$$ t=\arcsin x $$
とすると、
$$ dt=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} $$
なので、
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{6}}t\,dt =\boxed{\frac{\pi^2}{72}} $$
となる。逆正弦の端点値を確定してから二乗する。
問119
$$ t=\arctan x $$
とすると、
$$ dt=\frac{dx}{1+x^2} $$
なので、
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}t\,dt =\boxed{\frac{\pi^2}{32}} $$
となる。逆正接の端点値だけを保持する。
問120
$$ \frac{d}{dx} \left[\frac12\ln(1+\cosh2x)\right] =\frac{\sinh2x}{1+\cosh2x} $$
なので、
$$ I=\left[ \frac12\ln(1+\cosh2x) \right]_0^{\ln2} $$
である。
$$ \cosh(2\ln2)=\frac{4+\frac14}{2} =\frac{17}{8} $$
より、
$$ I=\frac12\ln\frac{25}{16} =\boxed{\ln\frac54} $$
となる。双曲線関数を指数関数へ戻して端点値を確定し、対数の係数を最後に整理する。
問121
Wallis型の漸化式から、
$$ I_n=\frac{2n-1}{2n}I_{n-1} $$
である。初期値は、
$$ I_0=\frac{\pi}{2} $$
なので、
$$ I_n=\boxed{ \frac{\pi}{2} \prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k} } $$
となる。途中の積分値を保持せず、係数の積だけを扱う。
問122
次の二つの積分は、変数変換によって等しい。
$$ \int_0^1\frac{\sin x}{x}\,dx = \int_0^1\frac{\sin(1-x)}{1-x}\,dx $$
したがって、元の式では両者が相殺する。
$$ I=\int_0^1 2xe^{x^2}\,dx =\left[e^{x^2}\right]_0^1 =\boxed{e-1} $$
となる。
暗算では評価が難しい積分が現れても、その値をすぐに求めない。相殺されるまで未評価のまま保持することが有効である。
問123
$$ t=\sin x $$
とすると、区間は負の一から一になる。
$$ I=\int_{-1}^{1}\lfloor3|t|\rfloor\,dt =2\int_0^1\lfloor3t\rfloor\,dt $$
である。切替値は、
$$ \frac13,\qquad\frac23 $$
なので、
$$ I=2\left( \int_{\frac13}^{\frac23}1\,dt +2\int_{\frac23}^{1}1\,dt \right) $$
$$ I=\boxed{2} $$
となる。保持するのは区間の長さと床関数の値だけである。
問124
$$ t=\sin x $$
とすると、積分区間は負の一から一になる。重みと有理式が偶関数なので、正の区間へまとめる。
有理式を分けると、
$$ \frac{2+t^2}{(1+t^2)(3+t^2)} =\frac12\left( \frac{1}{1+t^2}+\frac{1}{3+t^2} \right) $$
である。
$$ F(t)=\frac12\arctan t +\frac{1}{2\sqrt3}\arctan\frac{t}{\sqrt3} $$
とおけば、
$$ F'(t)=\frac{2+t^2}{(1+t^2)(3+t^2)} $$
である。したがって、
$$ I=2\left( 3F(1)-F\left(\frac13\right)-F\left(\frac23\right) \right) $$
となる。
$$ F(1)=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{12\sqrt3} $$
を用いて整理すると、
$$ \boxed{ \begin{aligned} I={}&\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2\sqrt3} -\arctan\frac13-\arctan\frac23\\ &-\frac{1}{\sqrt3}\left( \arctan\frac{1}{3\sqrt3} +\arctan\frac{2}{3\sqrt3} \right) \end{aligned} } $$
を得る。
暗算では、二つの逆正接を別々に区間評価しない。一つの原始関数として保持し、切替点での最終係数を先に確定する。
問125
$$ t=\ln(x^2+x+1) $$
とすると、
$$ dt=\frac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx $$
である。したがって、
$$ I=\int_0^{\ln3}\frac{t}{1+t^2}\,dt $$
より、
$$ I=\boxed{ \frac12\ln\left(1+(\ln3)^2\right) } $$
を得る。合成関数全体を一つの対象として扱い、外側の対数を最後に評価する。
問126
$$ h(x)=\frac{|x|^3}{(1+x^2)^2} $$
は偶関数である。また、
$$ \frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}=1 $$
なので、
$$ I=\int_0^1\frac{x^3}{(1+x^2)^2}\,dx $$
となる。
$$ t=1+x^2 $$
とすると、
$$ I=\frac12\int_1^2\left( \frac1t-\frac{1}{t^2} \right)\,dt $$
である。したがって、
$$ I=\boxed{\frac{\ln2}{2}-\frac14} $$
となる。指数関数の部分を先に消去し、その後で有理式だけを扱う。
問127
$$ F(x)=\ln(1+e^{\sin x+\cos x}) $$
とすると、
$$ F'(x)= \frac{(\cos x-\sin x)e^{\sin x+\cos x}} {1+e^{\sin x+\cos x}} $$
である。符号の切替点は、
$$ x=\frac{\pi}{4} $$
なので、
$$ I=2F\left(\frac{\pi}{4}\right)-F(0)-F(\pi) $$
となる。よって、
$$ I=\boxed{ 2\ln(1+e^{\sqrt2}) -\ln(1+e)-\ln(1+e^{-1}) } $$
を得る。
暗算では切替点の値を二度使うと認識してから、三つの関数値だけを計算する。
問128
$$ t=\sin x $$
とすると、切替値は、
$$ \frac13,\qquad\frac23 $$
である。
$$ F(t)=\ln(1+e^t) $$
とおけば、
$$ F'(t)=\frac{e^t}{1+e^t} $$
なので、
$$ I=F\left(\frac23\right)-F\left(\frac13\right) +2\left(F(1)-F\left(\frac23\right)\right) $$
となる。整理して、
$$ I=\boxed{ 2\ln(1+e) -\ln(1+e^{\frac13}) -\ln(1+e^{\frac23}) } $$
を得る。
暗算では床関数の切替値と、原始関数の各端点における最終係数だけを保持する。

3.6　習得判定

本章で重要なのは、答えを記憶することではない。解法を理解した積分について、必要な計算を正確に実行できるようになることである。
習得状況は、次の四つの観点から確認する。

• 正確性：計算、符号、係数、端点評価を誤らないか。
• 情報管理：何を保持し、何を捨てるべきか判断できるか。
• 計算の圧縮：不要な展開、重複する操作、相殺される項の個別計算を避けられるか。
• 応用：初見の係数や構造を持つ問題にも同じ操作を適用できるか。
  最初は時間を測らなくてよい。紙を使った場合には、書き出した情報が係数、符号、端点、未評価項のどれだったかを確認する。
  解法自体が分からない問題は『積分の体系化』へ戻り、解法を理解してから暗算を練習する。
  暗算の本質は、計算を無理に頭の中へ詰め込むことではない。
  数式の構造を認識し、不要な計算を発生させず、必要な情報だけを保持して、正確に結果へ到達することである。