春合宿 1999 P6を解く

$M$の元の点すべてが同一円周上にないと仮定し矛盾を導く.
このとき任意の$P \in M'$について$2 \leq N(P) \leq n-2 \leq \dfrac{p-1}{2}$である.
合同式の法は$p$とする.

任意に$P \in M'$を固定する.
$\displaystyle A=\sum_{C \in \mathcal{C} \ C \ni P} \left(\sum_{X \in C} f(X) \right)$とする.
仮定より任意の$C \in \mathcal{C}$について$\displaystyle \sum_{X \in C} f(X) \equiv 0$であるので$A \equiv 0$
次に$A$を$X \in M'$ごとに数えることを考える.
$X \neq P$のとき$3$点$O,P,X$を通る円は$1$つしか存在しないので$f(X)$はちょうど$1$回ずつ足される.
また,$f(P)$は$P \in C \in \mathcal{C}$なる$C$の個数,すなわち$N(P)$回足されるので結局
$A=\displaystyle \sum_{X \in M' \setminus \{P\}} f(X) +N(P)f(P)=S+f(P)(N(P)-1)$
したがって$S+f(P)(N(P)-1) \equiv 0 $を得る.
いま,$2 \leq N(P) \leq \dfrac{p-1}{2}$より$p \nmid N(P)-1$であり,$p \nmid f(P)$でもあるので$p \nmid S$
任意の$C \in \mathcal{C} $に対し$ \displaystyle 0 \equiv \sum_{X \in C} f(X) \equiv \sum_{X \in C} \dfrac{-S}{N(X)-1}$ から$\displaystyle\sum_{X \in C} \dfrac{1}{N(X)-1} \equiv 0$なので$B=\displaystyle \sum_{C \in \mathcal{C}} \left( \sum_{X \in C, X \neq O} \dfrac{1}{N(X)-1} \right) $とすると$B \equiv 0$
次に$B$を$X \in M'$ごとに数えると$X \in C \in \mathcal{C}$なる$C$は$N(X)$個あるので
$\displaystyle B = \sum_{X \in M'} \dfrac{N(X)}{N(X)-1} \equiv |M'|+T \equiv n-1+T$
よって$T \equiv -n+1$
他方で,$ \displaystyle S \equiv \sum_{X \in M'} f(X) \equiv \sum_{X \in M'} \dfrac{-S}{N(X)-1} \equiv -ST$かつ$p \nmid S$から$T \equiv -1$となる.
ゆえに$-1 \equiv T \equiv -n+1$から$p \mid n-2$となるが,$1 \leq n-2 \leq \dfrac{p+3}{2} -2< p$より矛盾.
よって最初の仮定は誤りであり,$M$の元はすべて同一円周上にあることが示された.