YANAのq類似を生み出しちゃった！-超幾何関数の新たな公式の発見を目指して！
あいさつ
んちゃ！
今回は$q$類似をオリジナルで作成し考察を行っていきます。
シリーズものにしていくつもりです。
よろしくお願いいたします。
概要：
本記事では以下の事を記述いたします。
- 最初に独自で発見した$q$類似の定義およびその周辺の記号の用法について説明
- 後半では見つけた$q$類似を用いて超幾何関数を改めて定義し応用できないか考察する。
q-類似
任意の複素数$c\in\mathbb{C}$に対して$\lim_{q\rightarrow 1}f(c;q)=c$を満たす$f(c;q)$を複素数$c$の$q$数と言う。
$q$類似の定義はこれだけです。だけどこれだけだと色んな$q$類似が考えられるよね。
そこで、僕は次の様な$q$類似を考えてみます。
任意の$g\in\{g:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}|\int_{0}^{\infty}|q^{g(x)}|dx\lt\infty\}$に対して以下の様な$q$類似を考える。
\begin{equation}
Y_{g}(c;q)=\int_{0}^{c}q^{g(x)}dx
\end{equation}
\begin{eqnarray} D_{Y}f(x)&=&\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{f(Y_{\delta g}(x;q))-f(x)}{Y_{\delta h}(x;q)-x}\\ &=&\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{f(\int_{0}^{x}q^{\delta g(y)}dy)-f(x)}{\int_{0}^{x}q^{\delta h(y)}dy-x}\quad(\Delta=\int_{0}^{x}q^{\delta g(y)}dy-x)\\ &=&\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\int_{0}^{x}q^{\delta g(y)}dy-x)}{\int_{0}^{x}q^{\delta h(y)}dy-x}\frac{f(x+\Delta(\delta))-f(x)}{\Delta(\delta)}\\ &=&\frac{\int_{0}^{x}g(y)dy}{\int_{0}^{x}h(y)dy}Df(x) \end{eqnarray}おっ！これは良さそう！この微分を採用しよう。
任意の$g,h\in\{g:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}|\int_{0}^{\infty}|q^{g(x)}|dx\lt\infty\}$を用いてYANA微分$D_{Y}$を定める。
\begin{eqnarray}
D_{Y}(g,h)f(x)&=&\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{f(Y_{\delta g}(x;q))-f(x)}{Y_{\delta h}(x;q)-x}\\
&=&\frac{\int_{0}^{x}g(y)dy}{\int_{0}^{x}h(y)dy}Df(x)
\end{eqnarray}
ちなみにYANA微分は$g=h$の時は$D_{Y}(g)\coloneqq D_{Y}(g,g)=D$通常の微分と一致する！
任意の自然数$n\in\mathbb{N}$および$g_{1},...,g_{n}\in\{g:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}|\int_{0}^{\infty}|q^{g(x)}|dx\lt\infty\}$に対して以下の様な記号を定義しYANAの階乗と呼ぶ。
\begin{equation}
[n]_{(g_{1},g_{2},...,g_{n})}!=Y_{g_{1}}(n,q)Y_{g_{2}}(n-1:q)\cdots Y_{g_{n}}(1;q)
\end{equation}
ただし、$g_{1}=\cdots=g_{m}=\cdots=g(x)$の場合は
\begin{equation}
[n]_{(g,...,g)}!\coloneqq[n]_{g}!
\end{equation}
の様に略記する。
また、便宜上$n=0$の場合は$1$とする。
任意の自然数$m,n\in\mathbb{N}$および$g_{1},...,g_{m},h_{1},..h_{n}\in\{g:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}|\int_{0}^{\infty}|q^{g(x)}|dx\lt\infty\}$に対して以下の様な記号を定義しYANAのに項係数と呼ぶ。
\begin{equation}
{}_{(g_{1},...,g_{m})}C(m,n)_{(h_{1},h_{2},...,h_{n})}=\frac{[m+n]_{(g_{1},...,g_{m},h_{1},h_{2},...,h_{n})}!}{[m]_{(g_{1},...,g_{m})}![n]_{(h_{1},h_{2},...,h_{n})}!}
\end{equation}
ただし、$g_{1}=\cdots=g_{m}=\cdots=h_{1}=\cdots=h_{n}=g(x)$の場合は
\begin{equation}
{}_{(g,..,g)}C(m,n)_{(g,...g)}\coloneqq C(m,n)_{g}
\end{equation}
の様に略記する。
任意の複素数$a\in\mathbb{C}$、自然数$n\in\mathbb{N}$および$g_{1},...,g_{n}\in\{g:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}|\int_{0}^{\infty}|q^{g(x)}|dx\lt\infty\}$に対して以下の様な記号を定義しYANAのポッホハマー記号と呼ぶ。
\begin{equation}
(a)_{(g_{1},...,g_{n})}^{(Y)}=Y_{g_{1}}(a;q)Y_{g_{2}}(a+1;q)\cdots Y_{g_{n}}(a+n-1;q)
\end{equation}
ただし、$g_{1}=\cdots=g_{n}=g(x)$の場合は
\begin{equation}
(a)_{(g,..,g)}^{(Y)}=(a)_{g|n}^{(Y)}
\end{equation}
と略記する。
また、便宜上$n=0$の場合は$1$とする。
具体例
以下$g(x)=-x$としてみよう。すると
\begin{eqnarray}
Y_{-x}(c;q)&=&\int_{0}^{c}q^{-x}dx\\
&=&-\frac{q^{-x}}{\log{q}}|_{0}^{c}\\
&=&\frac{1-q^{-c}}{\log{q}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \lim_{q\rightarrow 1}Y_{-x}(c;q)&=&\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^{-c}}{\log{q}}\\ &=&\lim_{q\rightarrow 1}\frac{cq^{-c-1}}{\frac{1}{q}}\\ &=&c \end{eqnarray}なので確かに成り立っている。
YANAの階乗、二項係数およびポッホハマー記号を計算せよ。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
[n]_{-x}!=\frac{1}{(\log{q})^{n}}\prod_{k=1}^{n}(1-q^{-k})\\
C(m,n)_{-x}=\frac{\prod_{k=1}^{m+n}(1-q^{-k})}{\{\prod_{k=1}^{m}(1-q^{-k})\}\{\prod_{k=1}^{n}(1-q^{-k})\}}\\
(a)_{-x|n}^{(Y)}=\frac{1}{(\log{q})^{n}}\prod_{k=1}^{n}(1-q^{-(a+k-1)})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} {}_{2}F_{1}^{(Y)}(a,b;c;z)&=&\sum_{n=0}\frac{(a)_{-x|n}^{(Y)}(b)_{-x|n}^{(Y)}}{(c)_{-x|n}^{(Y)}k}z^{n}\\ &=&1+\sum_{n=1}^{\infty}(z\log{q})^{n}\prod_{k=1}^{n}\frac{(1-q^{-(a+k-1)})(1-q^{-(b+k-1)})}{(1-q^{-(c+k-1)})k} \end{eqnarray}
\begin{equation} D{}_{2}F_{1}^{(Y)}(a,b;c;z)=\frac{(1-q^{-a})(1-q^{-b})}{1-q^{-c}}{}_{2}F_{1}^{(Y)}(a+1,b+1;c+1;z) \end{equation}
[1]次の様に記号を定める。
\begin{eqnarray}
A_{n}=(\log{q})^{n}\prod_{k=1}^{n}\frac{(1-q^{-(a+k-1)})(1-q^{-(b+k-1)})}{(1-q^{-(c+k-1)})k}
\end{eqnarray}
すると
\begin{equation}
\frac{A_{n+1}}{A_{n}}=\log{q}\frac{(1-q^{-(a+n)})(1-q^{-(b+n)})}{(1-q^{-(c+n)})(n+1)}
\end{equation}
[2]書き直す
\begin{eqnarray}
{}_{2}F_{1}^{(Y)}(a,b;c;z)&=&1+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}z^{n}
\end{eqnarray}
[3]
\begin{eqnarray}
D{}_{2}F_{1}^{(Y)}(a,b;c;z)&=&\sum_{n=1}^{\infty}nA_{n}z^{n-1}\\
&=&\log{q}\sum_{n=1}(z\log{q})^{n-1}\frac{1}{(n-1)!}\prod_{k=1}^{n}\frac{(1-q^{-(a+k-1)})(1-q^{-(b+k-1)})}{(1-q^{-(c+k-1)})}\\
&=&\log{q}\frac{(1-q^{-a})(1-q^{-b})}{1-q^{-c}}\{1+\sum_{n=1}^{\infty}(z\log{q})^{n}\prod_{k=1}^{n}\frac{(1-q^{-(a+k)})(1-q^{-(b+k)})}{(1-q^{-(c+k)})k}\}\\
&=&\log{q}\frac{(1-q^{-a})(1-q^{-b})}{1-q^{-c}}{}_{2}F_{1}^{(Y)}(a+1,b+1;c+1;z)
\end{eqnarray}
任意の自然数$N\in\mathbb{N}$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
D^{N}{}_{2}F_{1}^{(Y)}(a,b;c;z)=(\log{q})^{N}\prod_{k=1}^{N}\frac{(1-q^{-(a+k-1)})(1-q^{-(b+k-1)})}{(1-q^{-(c+k-1)}}{}_{2}F_{1}^{(Y)}(a+k,b+k;c+k;z)
\end{equation}
しかし、ここから問題が発生します。YANAの超幾何関数をGaussの超幾何微分方程式を満たすようにするにはどうすればいいでしょうか？
次回はこれについて考察していきます。
ばいちゃ！
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