高校数学解説

YANAのq類似を生み出しちゃった！-超幾何関数の新たな公式の発見を目指して！

級数,超幾何関数,q類似

あいさつ

んちゃ！
今回は $q$ 類似をオリジナルで作成し考察を行っていきます。
シリーズものにしていくつもりです。
よろしくお願いいたします。

概要：

本記事では以下の事を記述いたします。

最初に独自で発見した $q$ 類似の定義およびその周辺の記号の用法について説明
後半では見つけた $q$ 類似を用いて超幾何関数を改めて定義し応用できないか考察する。

q-類似

q

類似

任意の複素数 $c \in C$ に対して $lim_{q \to 1} f (c; q) = c$ を満たす $f (c; q)$ を複素数 $c$ の $q$ 数と言う。

$q$ 類似の定義はこれだけです。だけどこれだけだと色んな $q$ 類似が考えられるよね。
そこで、僕は次の様な $q$ 類似を考えてみます。

YANAのq-類似

任意の $g \in {g : C \to C | \int_{0}^{\infty} | q^{g (x)} | d x < \infty}$ に対して以下の様な $q$ 類似を考える。
$Y_{g} (c; q) = \int_{0}^{c} q^{g (x)} d x$

実験

[1]そもそもYANAの

q

類似は

q

類似なのか？

\begin{array}{rcl} lim_{q \to 1} Y_{g} (c; q) & = & lim_{q \to 1} \int_{0}^{c} q^{g (x)} d x (こ の 積 分 は 絶 対 収 束 す る 事 に 注 意) \\ = & \int_{0}^{c} lim_{q \to 1} q^{g (x)} d x \\ = & \int_{0}^{c} d x \\ = & c \end{array}

[2]この

q

数に関する微分って何よ？例えば何も言ってないのと同じだけど適当な

ψ_{δ} (*, q), Ψ_{δ} (*, q)

を用いて次の様な微分を考える。

\begin{array}{r} D_{Y} f (x) = lim_{δ \to 0} \frac{f (ψ_{δ} (x; q)) - f (x)}{Ψ_{δ} (x; q) - x} \end{array}

ただし、

lim_{δ \to 0} ψ_{δ} (x; q) = lim_{δ \to 0} Ψ (x; q) = x

[3]例えば

ψ_{δ} (x; q) = Y_{δ g}, Ψ_{δ} (x; q) = Y_{δ h} (x; q)

としてみたらどうかな？

\begin{array}{rcl} D_{Y} f (x) & = & lim_{δ \to 0} \frac{f (Y_{δ g} (x; q)) - f (x)}{Y_{δ h} (x; q) - x} \\ = & lim_{δ \to 0} \frac{f (\int_{0}^{x} q^{δ g (y)} d y) - f (x)}{\int_{0}^{x} q^{δ h (y)} d y - x} (Δ = \int_{0}^{x} q^{δ g (y)} d y - x) \\ = & lim_{δ \to 0} \frac{\int_{0}^{x} q^{δ g (y)} d y - x)}{\int_{0}^{x} q^{δ h (y)} d y - x} \frac{f (x + Δ (δ)) - f (x)}{Δ (δ)} \\ = & \frac{\int_{0}^{x} g (y) d y}{\int_{0}^{x} h (y) d y} D f (x) \end{array}

おっ！これは良さそう！この微分を採用しよう。

YANA微分

任意の $g, h \in {g : C \to C | \int_{0}^{\infty} | q^{g (x)} | d x < \infty}$ を用いてYANA微分 $D_{Y}$ を定める。
$\begin{array}{rcl} D_{Y} (g, h) f (x) & = & lim_{δ \to 0} \frac{f (Y_{δ g} (x; q)) - f (x)}{Y_{δ h} (x; q) - x} \\ = & \frac{\int_{0}^{x} g (y) d y}{\int_{0}^{x} h (y) d y} D f (x) \end{array}$
ちなみにYANA微分は $g = h$ の時は $D_{Y} (g) : = D_{Y} (g, g) = D$ 通常の微分と一致する！

YANAの階乗

任意の自然数 $n \in N$ および $g_{1}, . . ., g_{n} \in {g : C \to C | \int_{0}^{\infty} | q^{g (x)} | d x < \infty}$ に対して以下の様な記号を定義しYANAの階乗と呼ぶ。
$[n]_{(g_{1}, g_{2}, . . ., g_{n})}! = Y_{g_{1}} (n, q) Y_{g_{2}} (n - 1 : q) \dots Y_{g_{n}} (1; q)$
ただし、 $g_{1} = \dots = g_{m} = \dots = g (x)$ の場合は
$[n]_{(g, . . ., g)}! : = [n]_{g}!$
の様に略記する。
また、便宜上 $n = 0$ の場合は $1$ とする。

YANAの二項係数

任意の自然数 $m, n \in N$ および $g_{1}, . . ., g_{m}, h_{1}, . . h_{n} \in {g : C \to C | \int_{0}^{\infty} | q^{g (x)} | d x < \infty}$ に対して以下の様な記号を定義しYANAのに項係数と呼ぶ。
$_{(g_{1}, . . ., g_{m})} C (m, n)_{(h_{1}, h_{2}, . . ., h_{n})} = \frac{[m + n]_{(g_{1}, . . ., g_{m}, h_{1}, h_{2}, . . ., h_{n})}!}{[m]_{(g_{1}, . . ., g_{m})}! [n]_{(h_{1}, h_{2}, . . ., h_{n})}!}$
ただし、 $g_{1} = \dots = g_{m} = \dots = h_{1} = \dots = h_{n} = g (x)$ の場合は
$_{(g, . ., g)} C (m, n)_{(g, . . . g)} : = C (m, n)_{g}$
の様に略記する。

YANAのポッホハマー記号

任意の複素数 $a \in C$ 、自然数 $n \in N$ および $g_{1}, . . ., g_{n} \in {g : C \to C | \int_{0}^{\infty} | q^{g (x)} | d x < \infty}$ に対して以下の様な記号を定義しYANAのポッホハマー記号と呼ぶ。
$(a)_{(g_{1}, . . ., g_{n})}^{(Y)} = Y_{g_{1}} (a; q) Y_{g_{2}} (a + 1; q) \dots Y_{g_{n}} (a + n - 1; q)$
ただし、 $g_{1} = \dots = g_{n} = g (x)$ の場合は
$(a)_{(g, . ., g)}^{(Y)} = (a)_{g | n}^{(Y)}$
と略記する。
また、便宜上 $n = 0$ の場合は $1$ とする。

具体例

以下 $g (x) = - x$ としてみよう。すると
$\begin{array}{rcl} Y_{- x} (c; q) & = & \int_{0}^{c} q^{- x} d x \\ = & - \frac{q^{- x}}{\log q} |_{0}^{c} \\ = & \frac{1 - q^{- c}}{\log q} \end{array}$

実験

こいつが一応ちゃんと

q

数になっているか確認してみよう。

\begin{array}{rcl} lim_{q \to 1} Y_{- x} (c; q) & = & lim_{q \to 1} \frac{1 - q^{- c}}{\log q} \\ = & lim_{q \to 1} \frac{c q^{- c - 1}}{\frac{1}{q}} \\ = & c \end{array}

なので確かに成り立っている。

YANAの階乗、二項係数およびポッホハマー記号を計算せよ。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} [n]_{- x}! = \frac{1}{(\log q)^{n}} \prod_{k = 1}^{n} (1 - q^{- k}) \\ C (m, n)_{- x} = \frac{\prod_{k = 1}^{m + n} (1 - q^{- k})}{{\prod_{k = 1}^{m} (1 - q^{- k})} {\prod_{k = 1}^{n} (1 - q^{- k})}} \\ (a)_{- x | n}^{(Y)} = \frac{1}{(\log q)^{n}} \prod_{k = 1}^{n} (1 - q^{- (a + k - 1)}) \end{cases} \end{array}$

YANAの超幾何関数(仮)

$\begin{array}{rcl} _{2} F_{1}^{(Y)} (a, b; c; z) & = & \sum_{n = 0} \frac{(a)_{- x | n}^{(Y)} (b)_{- x | n}^{(Y)}}{(c)_{- x | n}^{(Y)} k} z^{n} \\ = & 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (z \log q)^{n} \prod_{k = 1}^{n} \frac{(1 - q^{- (a + k - 1)}) (1 - q^{- (b + k - 1)})}{(1 - q^{- (c + k - 1)}) k} \end{array}$

微分方程式1

$D_{2} F_{1}^{(Y)} (a, b; c; z) = \frac{(1 - q^{- a}) (1 - q^{- b})}{1 - q^{- c}}_{2} F_{1}^{(Y)} (a + 1, b + 1; c + 1; z)$

[1]次の様に記号を定める。
$\begin{array}{r} A_{n} = (\log q)^{n} \prod_{k = 1}^{n} \frac{(1 - q^{- (a + k - 1)}) (1 - q^{- (b + k - 1)})}{(1 - q^{- (c + k - 1)}) k} \end{array}$
すると
$\frac{A_{n + 1}}{A_{n}} = \log q \frac{(1 - q^{- (a + n)}) (1 - q^{- (b + n)})}{(1 - q^{- (c + n)}) (n + 1)}$
[2]書き直す
$\begin{array}{rcl} _{2} F_{1}^{(Y)} (a, b; c; z) & = & 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} A_{n} z^{n} \end{array}$
[3]
$\begin{array}{rcl} D_{2} F_{1}^{(Y)} (a, b; c; z) & = & \sum_{n = 1}^{\infty} n A_{n} z^{n - 1} \\ = & \log q \sum_{n = 1} (z \log q)^{n - 1} \frac{1}{(n - 1)!} \prod_{k = 1}^{n} \frac{(1 - q^{- (a + k - 1)}) (1 - q^{- (b + k - 1)})}{(1 - q^{- (c + k - 1)})} \\ = & \log q \frac{(1 - q^{- a}) (1 - q^{- b})}{1 - q^{- c}} {1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (z \log q)^{n} \prod_{k = 1}^{n} \frac{(1 - q^{- (a + k)}) (1 - q^{- (b + k)})}{(1 - q^{- (c + k)}) k}} \\ = & \log q \frac{(1 - q^{- a}) (1 - q^{- b})}{1 - q^{- c}}_{2} F_{1}^{(Y)} (a + 1, b + 1; c + 1; z) \end{array}$

任意の自然数 $N \in N$ に対して以下の式が成り立つ。
$D^{N}_{2} F_{1}^{(Y)} (a, b; c; z) = (\log q)^{N} \prod_{k = 1}^{N} \frac{(1 - q^{- (a + k - 1)}) (1 - q^{- (b + k - 1)})}{(1 - q^{- (c + k - 1)}}_{2} F_{1}^{(Y)} (a + k, b + k; c + k; z)$