京大風の多項式の問題

有理数を係数とする二つの整式$f(x), g(x)$に対して次の命題$P(f, g)$を考える。

$P(f, g)$: 任意の整数$n$と任意の素数$p$に対して、$g(n)/p$が整数ならば$f(n)/p$も整数である。

(1)$P(f, x^2+1)$が真となる$f(x)$は$x^2+1$で割り切れることを示せ。
(2)$P(f, x^4+x^3+x+1)$が真となるすべての$f(x)$を割り切る整式のうち、最高次の項の係数が1で次数が最大となるものを求めよ。

$a, b, c, d, e$を正の実数として整式
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
$$g(x) = dx + e$$
を考える。すべての正の整数$n$に対して$f(n)/g(n)$が整数であるとする。このとき、$f(x)$は$g(x)$で割り切れることを示せ。

以下の設問に答えよ。ただし、$0! = 1$とする。
(1)$n$を自然数とする。$F(x)$は実数を係数とする$x$の$n$次以下の多項式であって、$m$が整数のとき$F(m)$がつねに整数となるものとする。このとき、次の性質（あ）、（い）を満たす実数$c_0, c_1, c_2, \cdots, c_n$が存在することを示せ。
（あ）次の式が$x$についての恒等式となる。
$$ \begin{aligned} &\frac{F(x)}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)} \\ &= c_0 + \frac{c_1}{x+1} + \frac{c_2}{(x+1)(x+2)} + \cdots \\ &\quad + \frac{c_n}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)} \end{aligned} $$
（い）$0 \leqq k \leqq n$を満たすすべての整数$k$について$(n-k)!\,c_k$は整数である。
(2)$0$以上の整数$k$に対して、$x$の$k$次多項式$P_k(x)$を次のように定める。
$$ \begin{aligned} P_0(x) &= 1, \\ P_1(x) &= x+1, \\ P_2(x) &= (x+1)(x+3), \\ &\ \ \vdots \\ P_k(x) &= (x+1)(x+3)\cdots(x+2k-3)(x+2k-1), \\ &\ \ \vdots \end{aligned} $$
また、$a, b$を$a \leqq b$を満たす$0$以上の整数とする。このとき、$x$についての次の恒等式が成り立つことを示せ。
$$ \frac{P_{a+b}(x)}{a!\,b!\,P_a(x)P_b(x)} = \sum_{q=0}^{a} \frac{2^q}{q!\,(a-q)!\,(b-q)!\,P_q(x)} $$