√2が無理数であることの「速い」証明

この記事では、私が他で見たことないパターンの$\sqrt{2}$が無理数であることの証明を与えます。

証明

証明: 以下の補題を示すことで行う。

補題の証明: 対偶を示す。そのために、$b$が整数でない有理数であると仮定し、$a=b^2$が整数でない有理数であることを示す。

$b$は整数でない有理数なので、$b=\frac{q}{p}$($p,q$は正の整数、$p$と$q$は互いに素、$p\ge 2$)と書ける。このとき、$b^2=\frac{q^2}{p^2}$であるが、$p$と$q$は互いに素なので$q^2$は$p^2$の倍数ではなく、よって$\frac{q^2}{p^2}$は整数ではない。(Q.E.D.)

$\sqrt{2}$が無理数であることを背理法で示す。$\sqrt{2}$が有理数だと仮定すると、$2$は整数であるから、補題より$\sqrt{2}$は整数である。$\sqrt{2}>0$であるから、$\sqrt{2}$は$1$以上の整数である。

$1^2=1<2,2^2=4>2$であり、$n\ge 3$のとき$n^2\ge 3n>2$であるから、どの整数も$\sqrt{2}$ではない。

これは$\sqrt{2}$は$1$以上の整数であることと矛盾するので、背理法により題意が示された。(Q.E.D.)

あとがき

この証明は、一般の$\sqrt{m}$に対しても$n<\sqrt{m}<n+1$をみたす整数$n$を見つけることで同様に適用できます。$n$の素因数分解を求める必要がないという点で、この証明は十分に大きい$m$に対して「速く」構成することができるというメリットがあります。