「相加平均と相乗平均の大小関係」の証明
ここでは，$n,N$は2以上の自然数，$a_k \ (k=1,2, \cdots,n ) $は正の実数とします．
「相加平均と相乗平均の大小関係」
$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geqq \sqrt[n]{a_1a_2 \cdot \cdot \cdots a_n}$$
を，高校２年のとき，次のアイディアを使って，
一般の$n$個のときの「関係」を証明しました．
[1]$n=2$のとき，
$$ \frac{a_1+a_2}{2} \geqq \sqrt{a_1a_2} $$
が成り立つ．
[2]$n=4$のとき，[1]を使えば，
$$ \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}=\frac{\frac{a_1+a_2}{2}+\frac{a_3+a_4}{2}}{2}$$
$$\geqq \frac{\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_3a_4}}{2} \geqq\sqrt{\sqrt{a_1a_2}\sqrt{a_3a_4}}= \sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4} $$
が成り立つ．
ここで，$m= \frac{a_1+a_2+a_3}{3} $とおくと，
$$\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}=m $$
$$\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}= \sqrt[4]{a_1a_2a_3}\sqrt[4]{m}$$
したがって，
$$m^4\geqq (\sqrt[4]{a_1a_2a_3}\sqrt[4]{m})^4$$
$$m^3\geqq a_1a_2a_3 \hspace{ 10pt } \ m\geqq \sqrt[3]{a_1a_2a_3}$$
$n=3$のときも成り立つ．
まず，$n=2^N$のときを，[1]を使って，[数学的帰納法」で示します．
［Basis］$n=2,2^2$のときは確認している．
［Induction Step］$n=2^k $($k$は2以上の自然数)のとき成り立つと仮定する．$a_1, a_2,\cdots,a_{2^k} $の$2^k$個と$b_1, b_2,\cdots,b_{2^k} $の$2^k$個で，
$$\frac{a_1+\cdots+a_{2^k}}{2^k}\geqq \sqrt[2^k]{a_1 \cdot \cdot \cdots a_{2^k}}$$
$$\frac{b_1+\cdots+b_{2^k}}{2^k}\geqq \sqrt[2^k]{b_1 \cdot \cdot \cdots b_{2^k}}$$
がそれぞれ成り立つ．これから，
$$\frac{a_1+\cdots+a_{2^k}+b_1+\cdots+b_{2^k}}{2^{k+1}}\geqq \sqrt[2^{k+1}]{a_1 \cdot \cdot \cdots a_{2^k}\cdot b_1 \cdot \cdot \cdots b_{2^k}}$$
よって，$n=2^{k+1}$のときも成り立つ．
［Conclusion］$n=2^N$のときも成り立つ．
次に，$2^N< n<2^{N+1}$のとき，つまり，$n=2^{N+1}-l$のときを考える．
ここで，$m= \frac{a_1+\cdots +a_n}{n} $とおく．
次の$n=2^{N+1}-l$個と$l$個の$2^{N+1}$個
$$a_1,a_2,\cdots, a_n,m,\cdots , m$$
で，$n=2^{N+1}$のときの［関係］から，
$$\frac{a_1+\cdots+a_n+m+\cdots+m}{2^{N+1}}\geqq \sqrt[2^{N+1}]{a_1 \cdot \cdot \cdots a_n\cdot m^l}$$
左辺は，
$$\frac{mn+ml}{2^{N+1}}=m$$
両辺を$2^{N+1}$乗すると，
$$m^{2^{N+1}}\geqq {a_1 \cdot \cdot \cdots a_n\cdot m^l}$$
$$m^{2^{N+1}-l}\geqq {a_1 \cdot \cdot \cdots a_n}$$
$$m^{n}\geqq {a_1 \cdot \cdot \cdots a_n}$$
$$m \geqq \sqrt[n]{a_1 \cdot \cdot \cdots a_n}$$
よって，$n$が一般の2以上の自然数のときでも成り立つ．□□
