名古屋大2008前期理系第4問(a)(2)

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$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} ≦ 10$
をみたす0以上の整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ.

前問と同様に，
$X = [\frac{x}{2}], Y = [\frac{y}{3}], Z = [\frac{z}{6}]$ とおき，
$r = 0, 1$ ， $s = 0, 1, 2$ ， $t = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ で，
$x = 2 X + r, y = 3 Y + s, z = 6 Z + t$ として，
$M = [10 - \frac{3 r + 2 s + t}{6}]$ と, $w = M - (X + Y + Z)$ とおくと，
$X + Y + Z + w = M$ で， $(x, y, z)$ の個数と $(X, Y, Z, w)$ の個数は一致する．
これをみたす整数の組は， $_{M + 3} C_{3}$ 個．
場合分けが36個あるので， $M$ の方で分けて，
(ここが少し面倒ですが，)
$M = 10$ のとき1個, $M = 9$ のとき19個, $M = 8$ のとき16個.
したがって，
$_{13} C_{3} + 19_{12} C_{3} + 16_{11} C_{3} = 7106$ .

投稿日：1月9日

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帰ってきたｄ３

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