名古屋大2008前期理系第4問(a)(2)

前問と同様に，
$X=[ \frac{x}{2} ],Y=[ \frac{y}{3} ],Z=[ \frac{z}{6} ]$とおき，
$r=0,1$，$s=0,1,2$，$t=0,1,2,3,4,5$で，
$$x=2X+r,y=3Y+s,z=6Z+t$$として，
$$M=[10- \frac{3r+2s+t}{6} ]$$と,$w=M-(X+Y+Z)$とおくと，
$X+Y+Z+w=M$で，$(x , y , z)$の個数と$(X , Y,Z,w)$の個数は一致する．
これをみたす整数の組は，${}_{M+3} \mathrm{ C }_3$個．
場合分けが36個あるので，$M$の方で分けて，
(ここが少し面倒ですが，)
$M=10$のとき1個,$M=9$のとき19個,$M=8$のとき16個.
したがって，
${}_{13} \mathrm{ C }_3+19{}_{12} \mathrm{ C }_3+16{}_{11} \mathrm{ C }_3=7106$.