積分　問題②

$y=x+\sin{2x}\quad (0\leq x\leq\pi)と直線y=xによって囲まれた図形を、$
直線$y=x$まわりに１回転してできる図形の体積を求めなさい。

傘型積分と呼ばれる方法で体積を求めます。
$$V=\pi\cos{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{\pi}(x-x-\sin{2x})^2dx$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi\int_{0}^{\pi}\sin^2{2x}dx$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi\int_{0}^{\pi}(\frac{1}{2}-\frac{\cos{4x}}{2})dx$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi(\frac{1}{2}\pi)$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{4}\pi^2$$