積分　問題②

$y=x+\sin 2x(0\le x\le \pi )と直線y=xによって囲まれた図形を、$
直線$y=x$まわりに１回転してできる図形の体積を求めなさい。

傘型積分と呼ばれる方法で体積を求めます。
$$V=\pi \cos \frac{\pi }{4}{\int }_0^{\pi }(x-x-\sin 2x{)}^{2}dx$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}2xdx$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi {\int }_0^{\pi }(\frac{1}{2}-\frac{\cos 4x}{2})dx$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi (\frac{1}{2}\pi )$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{4}{\pi }^2$$