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積分 問題②

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はじめに

こんにちは、ベーコンです。今回は積分の二回目です。ぜひ最後まで読んでいってください。

問題

$y=x+\sin{2x}\quad (0\leq x\leq\pi)と直線y=xによって囲まれた図形を、$
直線$y=x$まわりに1回転してできる図形の体積を求めなさい。

考えたい人用空白











解説

傘型積分と呼ばれる方法で体積を求めます。
$$V=\pi\cos{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{\pi}(x-x-\sin{2x})^2dx$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi\int_{0}^{\pi}\sin^2{2x}dx$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi\int_{0}^{\pi}(\frac{1}{2}-\frac{\cos{4x}}{2})dx$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi(\frac{1}{2}\pi)$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{4}\pi^2$$

さいごに

最後まで読んでいただきありがとうございます。積分は後二回やります。次回は京都大学の過去問の類題をやります。

追記

ミスが発覚したので修正しました。

投稿日:2023531
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