OMC対策（G分野：角度追跡）

本記事の前提知識

　外心，内心，垂心と，円周角の定理を知っておけば十分である．

角度追跡とは

　競技数学のG分野における，基本中の基本技が角度追跡である．高校数学のカリキュラムの中では「角度追跡」という名称では出現しないし，受験数学でも見かけたことがないので，競技数学に限る技だと言っていいだろう．角度追跡は基本技でありながら，国際数学オリンピックの問題を解く際にもよく用いられる．G分野に取り組むためには，まず身につけなければならない技だと言えよう．
　ここまでの前置きをすると，どんなにすごい技かと思われるかもしれない．しかし何ということはない，名前の通り，角度を追いかけていくだけである．
　具体例を示そう．

例題１

　 $△ A B C$ の外心を $O$ ，垂心を $H$ とするとき， $∠ O A C = ∠ H A B$ を示せ．

略解

∠ O A C = ∠ H A B = 90 ° - ∠ A B C

となる．

例題２

　 $△ A B C$ の辺 $B C$ 上に点 $D$ を取ったところ，以下が成立した．
$A B = A C = C D, A D = B D$
　このとき $A B : B C$ を求めよ．

略解

∠ A B C = θ

とおいて角度追跡すれば

△ A B C \sim △ D A B

を得る．よって

B D : A B = A B : B C

である．

A B = 1, B C = x

とおいて二次方程式を解けば，

A B : B C = 1 : \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

を得る．

　重要なのは例題２だろう．角度追跡によって，二等辺三角形や相似に気付いて展望が開けることは，ままあるのだ．
　角度追跡の重要性を感じるには，やはりいくつか問題を解いてみるのがいいだろう．

OMCの例題

OMC177(C)
OMC109(D)
OMC075(F)

　以下の二問は，角度追跡に加えて，少しのアイディアが必要な問題である．

OMC163(B)
OMC203(F)

角度追跡から得られる重要な性質

　最後に，角度追跡によって得られる重要な性質を二つ紹介しておく．どちらも，競技数学ではよく使われる性質であり，G分野が得意な人は間違いなく覚えているものだ．
　角度追跡の練習問題として，実際に証明してみるとよいだろう．

内心傍心補題（トリリウムの定理）の一部

　 $△ A B C$ の内心を $I$ とし， $A I$ と外接円 $A B C$ の交点を $M (\neq A)$ とするとき， $M B = M C = M I$ ．

略証

∠ B I M = ∠ B A I + ∠ I B A

，

∠ I B M = ∠ M B C + ∠ I B C = ∠ M A C + ∠ I B C

より示せる．

垂心の性質

　 $△ A B C$ の垂心を $H$ とする．

$A H$ と $B C$ の交点を $D$ ， $A H$ と外接円 $A B C$ の交点を $X (\neq A)$ とするとき $B H = B X, D H = D X$ ．
$B C$ の中点を $M$ とし， $A Y$ が外接円 $A B C$ の直径であるとき $M H = M Y$ ．