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二つの操作を組み合わせたものの一般化

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はじめに

 こんにちはn=1です。今回は、コラッツ予想の関数を一般化することから、偶数と奇数で操作の変わる関数についてやってきます。

コラッツ予想の関数とは

 コラッツ予想の関数とはここでは
$f(2\mathbb{N})=\mathbb{N}$
$f(2\mathbb{N}+1)=3(2\mathbb{N}+1)+1$
とします。
 また、偶数と奇数で操作が変わる関数も同じで
$F(2\mathbb{N})=a$
$F(2\mathbb{N}+1)=b$
としておきます。

準備

 では、まずコラッツ予想の関数を一般化したいと思います。

あくまで上の定義を満たす関数の一つであるだけで、本当にこれが一般解かはわかりません。

偶数なら$\frac{1}{2}n$、奇数なら$3n+1$となるので、2つの数の中央をとって差分を足し引きさせれば定義にのっとる形にできるので、
$f(n)=x+(-1)^{n}y$
というかたちにできると分かります。
 上の定義から偶数を代入すると$f(2\mathbb{N})=x+y=\frac{1}{2}\mathbb{N}$で、奇数を代入すると
$f(2\mathbb{N}+1)=x-y=3(2\mathbb{N}+1)+1$となるので
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=\frac{1}{2}n \\ x-y=3n+1 \end{array} \right. \end{eqnarray}
となり解は$x=\frac{7n+2}{4}$,$y=-\frac{5n+2}{4}$なので、コラッツ予想の関数は、
$f(n)=\frac{7n+2}{4}+(-\frac{5n+2}{4})(-1)^{n}$
となります。

本題

 それでは本題の偶奇で変わる関数について書いていきます。ですが解き方は同じなので、
$F(n)=x+(-1)^{n}y$
$F(2\mathbb{N})=x+y=a$,$F(2\mathbb{N}+1)=x-y=b$
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=a \\ x-y=b \end{array} \right. \end{eqnarray}
$x=\frac{a+b}{2}$,$y=\frac{a-b}{2}$
$F(n)=\frac{a+b}{2}+(\frac{a-b}{2})(-1)^{n}$
となります。なので、偶奇で操作の変わる関数は上記の通りです。

最後に

 今回は具体例としてコラッツ予想を挙げたのですが、あくまで今回のように考えるとそうなるというだけです。実際、前回投稿したNの総除を偶奇で出力されるものを入力し今回の式に代入してもおそらく成り立たないと思います(やってみましたがそもそも奇数の時0になりませんでした)。
 以上で終わりです今回の投稿を見てくださりありがとうございます。

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