AOMC001に参加したよって話

はじめまして.
AOMC001 P1を解いたので感想をということで.

本題

$m = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ とおくと$m \le n \le (m+1)^2 \Longleftrightarrow m^2 \le n \le m^2+2m+1$ である.
$n,m$がともに整数であることから$m^2 \le n \le m^2+2m$である.
また,分母は $\lfloor n+\sqrt{n} \rfloor = n+m$ となる.
ここで$n \equiv -m \pmod{n+m}$ であるから,
$$n^3 \equiv -m^3 \pmod{n+m}$$
したがって,$n+m \mid n^3$ は,$n+m \mid m^3$ となることと同値である.
$\displaystyle k = \frac{m^3}{n+m}$ とおくと,
$m^2 \le n \le m^2+2m$ より,分母は $m^2+m \le n+m \le m^2+3m$ の範囲にある.これより,
$$\frac{m^3}{m^2+3m} \le k \le \frac{m^3}{m^2+m}$$
$$ \Longleftrightarrow m - 3 + \frac{9}{m+3} \le k \le m - 1 + \frac{1}{m+1}$$
$m \ge 1$ であるため、$k$ は $m-3 < k < m$ を満たす.
よって,$k=m-1, m-2$ とわかる.
$k = m-1$ のとき
$$n+m = \frac{m^3}{m-1} $$ $$ \qquad 　 = m^2 + m + 1 + \frac{1}{m-1}$$
$m=2$は明らか.
よって$n=6$
$k = m-2$ のとき
$$n+m = \frac{m^3}{m-2} $$ $$\qquad 　= m^2 + 2m + 4 + \frac{8}{m-2}$$
分母の範囲$n+m \le m^2+3m$ を満たさなければならないので,
$$m^2 + 2m + 4 + \frac{8}{m-2} \le m^2+3m$$
$$ \Longleftrightarrow 4 + \frac{8}{m-2} \le m$$ $$ \Longleftrightarrow m(m-6) \ge 0$$
これを満たす正整数は $m \ge 6$ である.
よって$m=6,10$
したがって$n=48,115$
以上より$n = 6, 48, 115$

感想

整数が一問しかなくて悲しいなと.
P1が一番簡単らしいけど十分難しいです.私はそう思いますよ.はい.
当たり前ですけど$k$の評価ができたら勝ちですかね.強いて言えば$k=m-2$のとき,焦って$m=3,4,6,10$にしないことです(誰もしないか...)
とにかく！楽しかったです！！皆さんお疲れ様です🍵