ラマヌジャンのある円周率公式の初等的な証明と一般化

はじめに

　この記事ではラマヌジャンの発見した円周率公式
$$\frac{1}{\pi }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{s}{)}_n(1-\frac{1}{s}{)}_n}{(1{)}_n^3}\frac{An+B}{C^n}(s=2,3,4,6)$$
の初等的な導出とその一般化について紹介していきます。
　以下$(x{)}_n$をポッホハマー記号、つまり
$$(x{)}_n=x(x+1)\cdots (x+n-1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+n)}{\mathrm{\Gamma }(x)}$$
とします。

WZ-methodとCarlsonの定理

　例えば上の$\sum$の中身
$$A(n)=\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{s}{)}_n(1-\frac{1}{s}{)}_n}{(1{)}_n^3}(an+b)z^n$$
は
$$\frac{A(n+1)}{A(n)}=\frac{(\frac{1}{2}+n)(\frac{1}{s}+n)(1-\frac{1}{s}+n)}{(n+1{)}^3}\frac{a(n+1)+b}{an+b}z$$
を満たすのでhypergeometric termとなります。
　そしてこのような数列の和$\sum A(n)$を変形するのにWZ-methodという興味深い手法があります。

　もしhypergeometric term$G(n,k)$に対しWZ-pairとなる$F(n,k)$が存在すれば
$$\sum _{n=a}^b(G(n,k+1)-G(n,k))=F(b+1,k)-F(a,k)$$
が成り立ちます。特に
$$F(0,k)=0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}F(n,k)=0$$
であれば
$$f(k)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}G(n,k)$$
は$k$に依らず一定となります。
　いま$k$は整数としていましたが$F,G$が$k$についての複素関数に拡張できるとき、$f$は$f(k+1)=f(k)$なる周期関数ということになります。そして実は適当な条件下で$f$は複素関数としても一定となることが示せます。

　これを用いると適当な複素数$k_0$に対して特殊値$f(k_0)$を求めることで$k$に依らない等式
$$f(k_0)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}G(n,k)$$
が得られることとなります。
　まだ漠然としているのでまずは一つ具体例を見ていくこととしましょう。

Ekhad, Zeilberger (1994)

　わずか$1$ページのこの論文では円周率公式
$$\frac{2}{\pi }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(4n+1)\frac{(\frac{1}{2}{)}_n^3}{(1{)}_n^3}$$
の次のような一般化を証明しています。

　実際$k\mapsto k-\frac{1}{2}$とすると
$$\frac{(1{)}_k}{(\frac{1}{2}{)}_k}\cdot \frac{2}{\pi }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(4n+1)\frac{(\frac{1}{2}{)}_n^2(\frac{1}{2}-k{)}_n}{(1{)}_n^2(1+k{)}_n}$$
と表せるので、$k=0$において
$$\frac{2}{\pi }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(4n+1)\frac{(\frac{1}{2}{)}_n^3}{(1{)}_n^3}$$
が得られることがわかります。

Zeilbergerの定理

　上ではWZ-methodを使うことで
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}G(n,k)=1$$
という等式が得られましたが、さらにここからある二重数列$G_j(n,k)$を構成することで
$$1=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}G(n,k)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{G}_1(n,k)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{G}_2(n,k)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{G}_3(n,k)=\cdots$$
という恒等式を増産することができます。

　詳細は読めていないので雰囲気で説明する。詳しくは Zeilberger (1993) を参照されたい。

Guilleraの公式

　そんなこんなでアレコレした結果Guillera (2006,2010)では次のような結果が紹介されています(certificateについては元論文を参照してください)。
　なお$\sum$の中身は$k=0$のとき
$$\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{s}{)}_n(1-\frac{1}{s}{)}_n}{(1{)}_n^3}$$
になる部分と$(\frac{1}{2}{)}_n/(\frac{1}{2}{)}_n=1$になる部分に分けて書いています。

Guillera (2006)

$$\begin{array}{rl}\frac{(1{)}_k}{(\frac{1}{2}{)}_k}\cdot \frac{4}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{2}-k{)}_n(\frac{1}{2}+k{)}_n}{(1{)}_n^2(1+k{)}_n}\frac{6n+2k+1}{2^{2n}}\\ 2^k\frac{(1{)}_k}{(\frac{1}{2}{)}_k}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}-k{)}_n(\frac{1}{2}+k{)}_n^2}{(1{)}_n^2(1+k{)}_n}\frac{6n+2k+1}{2^{3n}}\\ \frac{(1{)}_k}{(\frac{1}{2}{)}_k}\cdot \frac{16}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{2}-k{)}_n(\frac{1}{2}+k{)}_n}{(1{)}_n^2(1+\frac{k}{2}{)}_n}\frac{(\frac{1}{2}+k{)}_n}{(\frac{1}{2}+\frac{k}{2}{)}_n}\frac{(2n+1)(42n+5)+k(56n+4k+12)}{2^{6n}(2n+k+1)}\\ \\ \frac{(1{)}_k}{(\frac{1}{2}{)}_k}\cdot \frac{8}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{4}-\frac{k}{2}{)}_n(\frac{3}{4}-\frac{k}{2}{)}_n}{(1{)}_n^2(1+k{)}_n}\frac{20n+2k+3}{2^{2n}}\\ {\left(\frac{4}{3}\right)}^k\frac{(1{)}_k}{(\frac{1}{2}{)}_k}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\phantom{(-1{)}^n}\frac{(\frac{1}{2}+k{)}_n(\frac{1}{4}-\frac{k}{2}{)}_n(\frac{3}{4}-\frac{k}{2}{)}_n}{(1{)}_n^2(1+k{)}_n}\frac{8n+2k+1}{3^{2n}}\\ {\left(\frac{4}{3}\right)}^k\frac{(1{)}_k}{(\frac{1}{2}{)}_k}\cdot \frac{16\sqrt{3}}{3\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}-k{)}_n(\frac{1}{4}+\frac{k}{2}{)}_n(\frac{3}{4}+\frac{k}{2}{)}_n}{(1{)}_n^2(1+\frac{k}{2}{)}_n}\frac{(\frac{1}{2}+k{)}_n}{(\frac{1}{2}+\frac{k}{2}{)}_n}\frac{(2n+1)(28n+3)+k(36n+4k+8)}{2^{4n}{3}^n(2n+k+1)}\\ \\ \frac{(1{)}_n^2}{(\frac{1}{2}{)}_n^2}\cdot \frac{8}{{\pi }^2}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}{)}_n^3(\frac{1}{2}-k{)}_n(\frac{1}{2}+k{)}_n}{(1{)}_n^3(1+k{)}_n^2}\frac{20n^2+12kn+8n+2k+1}{2^{2n}}\\ \frac{(1{)}_n^2}{(\frac{1}{2}{)}_n^2}\cdot \frac{32}{{\pi }^2}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\phantom{(-1{)}^n}\frac{(\frac{1}{2}{)}_n^3(\frac{1}{4}-\frac{k}{2}{)}_n(\frac{3}{4}-\frac{k}{2}{)}_n}{(1{)}_n^3(1+k{)}_n^2}\frac{120n^2+84kn+34n+10k+3}{2^{4n}}\end{array}$$
　
$$\begin{array}{rlrl}\frac{2}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}{)}_n^3}{(1{)}_n^3}(4n+1)& & =\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\frac{1}{2}{)}_n^3}{(1{)}_n^3}\frac{6n+1}{2^{2n}}\\ \frac{4}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\frac{1}{2}{)}_n^3}{(1{)}_n^3}\frac{6n+1}{2^{2n}}& & =\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{4}{)}_n(\frac{3}{4}{)}_n}{(1{)}_n^3}\frac{20n+3}{2^{4n}}\\ \frac{2\sqrt{2}}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}{)}_n^3}{(1{)}_n^3}\frac{6n+1}{2^{3n}}& & =\frac{1}{4}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{4}{)}_n(\frac{3}{4}{)}_n}{(1{)}_n^3}\frac{48n^2+32n+3}{2n+1}\frac{1}{2^{6n}}\\ \frac{8}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{4}{)}_n(\frac{3}{4}{)}_n}{(1{)}_n^3}\frac{20n+3}{2^{4n}}& & =\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\frac{1}{2}{)}_n^3}{(1{)}_n^3}\frac{42n+5}{2^{6n}}\\ \frac{2\sqrt{3}}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{4}{)}_n(\frac{3}{4}{)}_n}{(1{)}_n^3}\frac{8n+1}{6^{2n}}& & =\frac{3}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{4}{)}_n(\frac{3}{4}{)}_n}{(1{)}_n^3}\frac{28n+3}{2^{6n}{3}^n}\end{array}$$

Guillera (2010)

$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{1}{4}\right)}^k\frac{(1{)}_k^2}{(\frac{1}{4}{)}_k(\frac{3}{4}{)}_k}\cdot \frac{2}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{2}-k{)}_n^2}{(1{)}_n(1+k{)}_n^2}(4n+1)\\ {\left(\frac{16}{27}\right)}^k\frac{(1{)}_k^2}{(\frac{1}{6}{)}_k(\frac{5}{6}{)}_k}\cdot \frac{4}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\phantom{(-1{)}^n}\frac{(\frac{1}{2}-k{)}_n(\frac{1}{2}+k{)}_n(\frac{1}{2}+3k{)}_n}{(1{)}_n(1+k{)}_n(1+2k{)}_n}\frac{6n+6k+1}{2^{2n}}\\ {\left(\frac{32}{27}\right)}^k\frac{(1{)}_k^2}{(\frac{1}{6}{)}_k(\frac{5}{6}{)}_k}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}-k{)}_n(\frac{1}{2}+k{)}_n(\frac{1}{2}+3k{)}_n}{(1{)}_n(1+k{)}_n(1+2k{)}_n}\frac{6n+6k+1}{2^{3n}}\\ \frac{(1{)}_k^2}{(\frac{1}{4}{)}_k(\frac{3}{4}{)}_k}\cdot \frac{16}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{2}-k{)}_n(\frac{1}{2}+2k{)}_n}{(1{)}_n(1+k{)}_n(1+\frac{k}{2}{)}_n}\frac{(\frac{1}{2}+k{)}_n}{(\frac{1}{2}+\frac{k}{2}{)}_n}\frac{(2n+1)(42n+5)+k(84n+24k+26)}{2^{6n}(2n+k+1)}\\ \\ {\left(\frac{16}{27}\right)}^k\frac{(1{)}_k^2}{(\frac{1}{6}{)}_k(\frac{5}{6}{)}_k}\cdot \frac{8}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}+k{)}_n(\frac{1}{4}+\frac{3k}{2}{)}_n(\frac{3}{4}+\frac{3k}{2}{)}_n}{(1{)}_n(1+k{)}_n^2}\frac{20n+18k+3}{2^{2n}}\\ \frac{(1{)}_k^2}{(\frac{1}{6}{)}_k(\frac{5}{6}{)}_k}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\phantom{(-1{)}^n}\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{4}+\frac{3k}{2}{)}_n(\frac{3}{4}+\frac{3k}{2}{)}_n}{(1{)}_n(1+k{)}_n^2}\frac{8n+6k+1}{3^{2n}}\\ \frac{(1{)}_k^2}{(\frac{1}{6}{)}_k(\frac{5}{6}{)}_k}\cdot \frac{16\sqrt{3}}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}-k{)}_n(\frac{1}{4}{)}_n(\frac{3}{4}{)}_n}{(1{)}_n(1+k{)}_n^2}\frac{(\frac{1}{2}+3k{)}_n}{(\frac{1}{2}{)}_n}\frac{(2n+1)(28n+3)+k(40n+18)}{2^{4n}{3}^n(2n+1)}\\ \\ \frac{(1{)}_k^2}{(\frac{1}{3}{)}_k(\frac{2}{3}{)}_k}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\phantom{(-1{)}^n}\frac{(\frac{1}{2}+k{)}_n(\frac{1}{3}{)}_n(\frac{2}{3}{)}_n}{(1{)}_n(1+k{)}_n(1+2k{)}_n}\frac{6n+6k+1}{2^n}\\ \frac{(1{)}_k^2}{(\frac{1}{4}{)}_k(\frac{3}{4}{)}_k}\cdot \frac{12\sqrt{3}}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{3}+k{)}_n(\frac{2}{3}+k{)}_n}{(1{)}_n(1+k{)}_n(1+\frac{k}{2}{)}_n}\frac{(\frac{1}{2}+2k{)}_n}{(\frac{1}{2}+\frac{k}{2}{)}_n}\frac{(2n+1)(51n+7)+k(114n+36k+37)}{2^{4n}(2n+k+1)}\\ 4^k\frac{(1{)}_k^2}{(\frac{1}{6}{)}_k(\frac{5}{6}{)}_k}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}-k{)}_n(\frac{1}{3}+k{)}_n(\frac{2}{3}+k{)}_n}{(1{)}_n(1+k{)}_n(1+3k{)}_n}\frac{(\frac{1}{2}+3k{)}_n}{(\frac{1}{2}{)}_n}\frac{(2n+1)(5n+1)+k(16n+6k+7)}{(4/3{)}^{2n}(2n+1)}\\ \\ {\left(\frac{32}{27}\right)}^k\frac{(1{)}_k^2}{(\frac{1}{6}{)}_k(\frac{5}{6}{)}_k}\cdot \frac{32\sqrt{2}}{\pi }& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(\frac{1}{2}-k{)}_n(\frac{1}{6}+k{)}_n(\frac{5}{6}+k{)}_n}{(1{)}_n(1+k{)}_n(1+\frac{k}{2}{)}_n}\frac{(\frac{1}{2}+k{)}_n}{(\frac{1}{2}+\frac{k}{2}{)}_n}\frac{(2n+1)(154n+15)+k(352n+108k+108)}{(8/3{)}^{3n}(2n+k+1)}\end{array}$$

　やべ～
　ちなみにJ. Guilleraはこの他にも$q$-類似による一般化など様々な公式を量産しているようなので興味があれば調べてみてはいかがでしょうか。