組み合わせとmnCnの形式的冪級数

まず以下の補題を示します.

ラストパート

補題2の式を
$$a_n:=m\times\sum_{n_1+n_2+\dots+n_{m-1}=n-1}\frac{1}{(m-1)n_1+1}\binom{mn_1}{n_1}\cdot\frac{1}{(m-1)n_2+1}\binom{mn_2}{n_2}\cdots\frac{1}{(m-1)n_{m-1}+1}\binom{mn_{m-1}}{n_{m-1}}$$
とすると, 直線 $(m-1)y=x$ 上の格子点を $(0,0)$ を除いてちょうど $k$ 回通り, $((m-1)n,n)$ へと進む経路数の総数は
$$\sum_{n_1+n_2+\dots+n_k=n}a_{n_1}a_{n_2}\cdots a_{n_k}=[x^n]\Big(\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\Big)^k$$
であるから, $k=0,1,\dots$ で総和を取ることで, $(0,0)$ から $((m-1)n,n)$ への経路の総数について以下の等式を得る.
$$\begin{aligned} \binom{mn}{n}&=\sum_{k=0}^{\infty}[x^n]\Big(\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\Big)^k\\\\ &=[x^n]\sum_{k=0}^{\infty}\Big(\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\Big)^k\\\\ &=[x^n]\frac{1}{1-\Big(\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\Big)} \end{aligned}$$
補題2より,
$$\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i=mx\Big(\sum_{i=0}\frac{1}{(m-1)i+1}\binom{mi}{i}x^i\Big)^{m-1}$$
したがって,
$$ \sum_{n=0}^\infty \binom{mn}{n}x^n=\frac{1}{1-mx\Big(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(m-1)n+1}\binom{mn}{n}x^n\Big)^{m-1}}$$
が成立.