トポロジーを用いた代数学の基本定理の証明

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トポロジーを使って, 代数学の基本定理の証明をしてみたいと思います。

代数学の基本定理とは

代数学の基本定理

$f (x) \in C [x]$ は, 定数多項式でないとする。このとき, $f (α) = 0$ となる $α \in C$ が存在する。

この定理を代数学の基本定理というのであった。すなわち, 定数多項式でない複素係数の $n$ 次方程式は, すべての解が複素数となる。だから「実数係数の $n$ 次方程式が実数解を必ずもつわけではないから, 複素数を考えよう」と同じようなことは考えなくてもよいということである。

用語の準備

以降 $S^{1}$ は $C$ 内の円周, つまり
$\begin{array}{r} S^{1} := {z \in C ∣ | z | = 1} \end{array}$
とします。

持ち上げ

$p : R \to C$ を $p (t) = e^{2 π i t} (t \in R)$ で定める。 $1 \in S^{1}$ を始点とする道 $α : [0, 1] \to S^{1}$ に対して, $p \circ \tilde{α} = α$ かつ, $\tilde{α} (0) = 0$ を満たす $\tilde{α} : [0, 1] \to R$ が一意的に存在する。この $\tilde{α}$ を $0$ を始点とする $α$ の持ち上げという。

写像度

$S^{1}$ 内の $1 \in S^{1}$ を基点とする閉道 $α$ に対して
$\begin{array}{r} \deg α = \tilde{α} (1) \end{array}$
とすると, $\deg α \in Z$ で, $\deg α$ を $α$ の写像度という。そして, $S^{1}$ 内の $1 \in S^{1}$ を基点とする閉道 $α, β$ に対し, $α$ と $β$ がホモトープであることと $\deg α = \deg β$ は同値である。

この2つの定理の証明は今回はしないが, 例をひとつ挙げよう。

持ち上げと写像度の例

$n$ を正の整数とする。 $α : [0, 1] \to S^{1}$ を
$\begin{array}{r} α (s) = e^{2 n π i s} (s \in [0, 1]) \end{array}$
で定めると, $\tilde{α}$ は
$\begin{array}{r} \tilde{α} (s) = n s (s \in [0, 1]) \end{array}$
で, そして
$\begin{array}{r} \deg α = n \end{array}$
である。

代数学の基本定理の証明

大体の証明

$f (x)$ がモニックなときに, 上の主張が成り立つことを示せば十分である。背理法で示そう。ある $f (x) \in C [x]$ が存在して

$f (x)$ はモニック
$f (x)$ は定数多項式ではない
任意の $z \in C$ に対し, $f (z) \neq 0$

が成り立つとする。
$\begin{array}{r} n 次多項式 f (x) := x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0} \in C [x] \end{array}$
が, この(i), (ii), (iii)をすべて満たすとする。そうすると, $r$ を非負の実数として, $S^{1}$ 内の $1$ を基点とするループ $α_{r} : [0, 1] \to S^{1}$ を
$\begin{array}{r} α_{r} (s) = \frac{f (r e^{2 π i s})}{| f (r e^{2 π i s}) |} \cdot \frac{| f (r) |}{f (r)} (s \in [0, 1]) \end{array}$
で定めることができ, $α_{r}$ と $α_{0}$ はホモトープである。なぜなら, 写像 $H : [0, 1] \times [0, 1] \to S^{1}$ を
$\begin{array}{r} H (s, t) := \frac{f ((1 - t) r e^{2 π i s})}{| f ((1 - t) r e^{2 π i s}) |} \cdot \frac{| f ((1 - t) r) |}{f ((1 - t) r)} ((s, t) \in [0, 1] \times [0, 1]) \end{array}$
と定めれば, $H$ は連続で,
$\begin{array}{r} {\begin{aligned} H (s, 0) = α_{r} (s) (s \in [0, 1]) \\ H (s, 1) = α_{0} (s) (s \in [0, 1]) \\ H (0, t) = H (1, t) = 1 (t \in [0, 1]) \end{aligned} \end{array}$
であるからである。次に, $S^{1}$ 内の $1$ を基点とするループ $β : [0, 1] \to S^{1}$ を
$\begin{array}{r} β (s) = e^{2 π i s n} (s \in [0, 1]) \end{array}$
で定めると, 実は, $r$ が十分大きければ, $α_{r}$ と $β$ はホモトープである（後で示す）。以上から, $α_{0}$ と $β$ はホモトープであるので
$\begin{array}{r} \deg α_{0} = \deg β \end{array}$
が成り立つ。ところが, $α_{0}$ は定値道なので, $\deg α_{0} = 0$ で, 一方, $β$ は定義から, $\deg β = n$ であるから
$\begin{array}{r} \deg α_{0} \neq \deg β \end{array}$
である。これは矛盾である。したがって, 背理法から, 代数学の基本定理が示された。

後で示すと書いた主張の証明

$r > 0$ が十分大きければ, $α_{r}$ と $β$ はホモトープである。

$\begin{array}{r} \frac{| a_{0} |}{r^{n}} + \frac{| a_{1} |}{r^{n - 1}} + \dots + \frac{| a_{n - 1} |}{r} \to 0 (r \to 0) \end{array}$
なので, $r > 0$ が十分大きいとき
$\begin{array}{r} \frac{1}{2} > \frac{| a_{0} |}{r^{n}} + \frac{| a_{1} |}{r^{n - 1}} + \dots + \frac{| a_{n - 1} |}{r}, \end{array}$
つまり
$\begin{array}{r} \frac{1}{2} r^{n} > | a_{0} | + | a_{1} | r + \dots + | a_{n - 1} | r^{n - 1} \dots (*) \end{array}$
である。 $(*)$ を満たす $r$ を任意に固定する。また
$\begin{aligned} | f (r e^{2 π i s}) | & ≧ | (r e^{2 π i s})^{n} | - | a_{0} + \dots + a_{n - 1} r e^{2 π i s} | (∵ 三角不等式) \\ ≧ | (r e^{2 π i s})^{n} | - (| a_{0} | + \dots + | a_{n - 1} | | r e^{2 π i s} |) (∵ 三角不等式) \\ = r^{n} - (| a_{0} | + \dots + | a_{n - 1} | r^{n - 1}) \dots (* *) \end{aligned}$
である。 $(*), (* *)$ を用いると
$\begin{array}{r} | f (r e^{2 π i s}) | > \frac{1}{2} r^{n} \dots (* * *) \end{array}$
が成り立つ。よって, 任意の $(s, t) \in [0, 1] \times [0, 1]$ に対し
$\begin{aligned} | (1 - t) f (r e^{2 π i s}) + t r e^{2 π i s n} | & = | f (r e^{2 π i s}) + t (- f (r e^{2 π i s}) + r e^{2 π i s n}) | \\ ≧ | f (r e^{2 π i s}) | - t | \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j} (r e^{2 π i n s})^{j} | \\ > \frac{1}{2} r^{n} - | \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j} (r e^{2 π i n s})^{j} | \\ = | f (r e^{2 π i s}) | - \frac{1}{2} r^{n} \\ > 0 (∵ (* * *)) \end{aligned}$
この $r$ を用いて, 写像 $G : [0, 1] \times [0, 1] \to R$ を
$\begin{array}{r} G (s, t) := (1 - t) f (r e^{2 π i s}) + t r e^{2 π i s n} ((s, t) \in [0, 1] \times [0, 1]) \end{array}$
で定めることができ, 写像 $H^{'} [0, 1] \times [0, 1] \to S^{1}$ を
$\begin{array}{r} H^{'} (s, t) := \frac{G (s, t)}{| G (s, t) |} \cdot \frac{| G (0, t) |}{G (0, t)} ((s, t) \in [0, 1] \times [0, 1]) \end{array}$
で定めると, $H^{'}$ は連続で
$\begin{array}{r} {\begin{aligned} H^{'} (s, 0) = α_{r} (s) (s \in [0, 1]) \\ H^{'} (s, 1) = β (s) (s \in [0, 1]) \\ H^{'} (0, t) = H^{'} (1, t) = 1 (t \in [0, 1]) \end{aligned} \end{array}$
なので, $α_{r}$ と $β$ はホモトープである。