トポロジーを用いた代数学の基本定理の証明

$f(x)$がモニックなときに, 上の主張が成り立つことを示せば十分である。背理法で示そう。ある$f(x)\in\mathbb{C}[x]$が存在して

1. $f(x)$はモニック
2. $f(x)$は定数多項式ではない
3. 任意の$z\in\mathbb{C}$に対し, $f(z)\neq{0}$

が成り立つとする。
\begin{align*} n次多項式f(x):=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}\in\mathbb{C}[x] \end{align*}
が, この(i), (ii), (iii)をすべて満たすとする。そうすると, $r$を非負の実数として, $S^{1}$内の$1$を基点とするループ$\alpha_{r}:[0, 1]\to{S^{1}}$を
\begin{align*} \alpha_{r}(s)=\dfrac{f(re^{2\pi{i}s})}{|f(re^{2\pi{i}s})|}\cdot\dfrac{|f(r)|}{f(r)}\quad (s\in[0, 1]) \end{align*}
で定めることができ, $\alpha_{r}$と$\alpha_{0}$はホモトープである。なぜなら, 写像$H:[0, 1]\times[0, 1]\to{S^{1}}$を
\begin{align*} H(s, t):=\dfrac{f((1-t)re^{2\pi{i}s})}{|f((1-t)re^{2\pi{i}s})|}\cdot\dfrac{|f((1-t)r)|}{f((1-t)r)}\quad ((s, t)\in[0, 1]\times[0, 1]) \end{align*}
と定めれば, $H$は連続で,
\begin{equation*} \begin{aligned} \left\{\, \begin{aligned} &H(s, 0)=\alpha_{r}(s)\quad (s\in[0, 1])\\ &H(s, 1)=\alpha_{0}(s)\quad (s\in[0, 1])\\ &H(0, t)=H(1, t)=1\quad (t\in[0, 1]) \end{aligned} \right. \end{aligned} \end{equation*}
であるからである。次に, $S^{1}$内の$1$を基点とするループ$\beta:[0, 1]\to{S}^{1}$を
\begin{align*} \beta(s)=e^{2\pi{i}sn}\quad (s\in[0, 1]) \end{align*}
で定めると, 実は, $r$が十分大きければ, $\alpha_{r}$と$\beta$はホモトープである（後で示す）。以上から, $\alpha_{0}$と$\beta$はホモトープであるので
\begin{align*} \deg{\alpha_{0}}=\deg{\beta} \end{align*}
が成り立つ。ところが, $\alpha_{0}$は定値道なので, $\deg{\alpha_{0}}=0$で, 一方, $\beta$は定義から, $\deg{\beta}=n$であるから
\begin{align*} \deg{\alpha_{0}}\neq{\deg{\beta}} \end{align*}
である。これは矛盾である。したがって, 背理法から, 代数学の基本定理が示された。

\begin{align*} \dfrac{|a_{0}|}{r^{n}}+\dfrac{|a_{1}|}{r^{n-1}}+\cdots+\dfrac{|a_{n-1}|}{r}\to{0}\quad(r\to{0}) \end{align*}
なので,$r>0$が十分大きいとき
\begin{align*} \dfrac{1}{2}>\dfrac{|a_{0}|}{r^{n}}+\dfrac{|a_{1}|}{r^{n-1}}+\cdots+\dfrac{|a_{n-1}|}{r}, \end{align*}
つまり
\begin{align*} \dfrac{1}{2}r^{n}>|a_{0}|+|a_{1}|r+\cdots+|a_{n-1}|r^{n-1}\quad\cdots{(\ast)} \end{align*}
である。$(\ast)$を満たす$r$を任意に固定する。また
\begin{align*} |f(re^{2\pi{i}s})|&\geqq{|(re^{2\pi{i}s})^{n}|-|a_{0}+\cdots+a_{n-1}re^{2\pi{i}s}|} \quad (\because\, 三角不等式)\\ &\geqq{|(re^{2\pi{i}s})^{n}|-(|a_{0}|+\cdots+|a_{n-1}||re^{2\pi{i}s}|)}\quad (\because\, 三角不等式)\\ &=r^{n}-(|a_{0}|+\cdots+|a_{n-1}|r^{n-1})\quad\cdots{(\ast\ast)} \end{align*}
である。$(\ast), (\ast\ast)$を用いると
\begin{align*} |f(re^{2\pi{i}s})|>\dfrac{1}{2}r^{n}\quad\cdots(\ast\ast\ast) \end{align*}
が成り立つ。よって, 任意の$(s, t)\in[0, 1]\times[0, 1]$に対し
\begin{align*} |(1-t)f(re^{2\pi{i}s})+tre^{2\pi{i}sn}|&=|f(re^{2\pi{i}s})+t(-f(re^{2\pi{i}s})+re^{2\pi{i}sn})|\\ &\geqq{|f(re^{2\pi{i}s})|-t\left|\sum_{j=0}^{n-1}a_{j}(re^{2\pi{i}ns})^{j}\right|}\\ &>\dfrac{1}{2}r^{n}-\left|\sum_{j=0}^{n-1}a_{j}(re^{2\pi{i}ns})^{j}\right|\\ &=|f(re^{2\pi{i}s})|-\dfrac{1}{2}r^{n}\\ &>0\quad (\because\, (\ast\ast\ast)) \end{align*}
この$r$を用いて, 写像$G:[0, 1]\times[0, 1]\to{\mathbb{R}}$を
\begin{align*} G(s, t):=(1-t)f(re^{2\pi{i}s})+tre^{2\pi{i}sn}\quad ((s, t)\in[0, 1]\times[0, 1] ) \end{align*}
で定めることができ, 写像$H^{\prime}[0, 1]\times[0, 1]\to{S}^{1}$を
\begin{align*} H^{\prime}(s, t):=\dfrac{G(s, t)}{|G(s, t)|}\cdot\dfrac{|G(0, t)|}{G(0, t)}\quad ((s, t)\in[0, 1]\times[0, 1]) \end{align*}
で定めると, $H^{\prime}$は連続で
\begin{equation*} \begin{aligned} \left\{\, \begin{aligned} &H^{\prime}(s, 0)=\alpha_{r}(s)\quad (s\in[0, 1])\\ &H^{\prime}(s, 1)=\beta(s)\quad (s\in[0, 1])\\ &H^{\prime}(0, t)=H^{\prime}(1, t)=1\quad (t\in[0, 1]) \end{aligned} \right. \end{aligned} \end{equation*}
なので, $\alpha_{r}$と$\beta$はホモトープである。