バーンサイドの補題の証明

結合法則は明らかだから, 演算で閉じていることと, 単位元と逆元をともにもつことを示せばよい。$g,h\in Stab(x)$とする。
$$\begin{array}{rl}(gh)\ast x& =g\ast (h\ast x)(\because 群の作用の定義の(2))\\ & =g\ast x(\because 群の作用の定義の(1))\\ & =x(\because 群の作用の定義の(1))\end{array}$$
であるから, $Stab(x)$は演算で閉じている。そして
$$\begin{array}{r}{1}_G\ast x=x(\because 群の作用の定義の(1))\end{array}$$
であるから, $1_G\in Stab(x)$である。
$$\begin{array}{r}g\ast x=x\end{array}$$
なので
$$\begin{array}{r}{g}^{-1}\ast (g\ast x)=g^{-1}\ast x,\end{array}$$
つまり
$$\begin{array}{r}(g^{-1}g)\ast x=g^{-1}\ast x(\because 群の作用の定義の(2))\end{array}$$
で, $g^{-1}g=1_g$なので
$$\begin{array}{r}{1}_G\ast x=g^{-1}\ast x\end{array}$$
である。すなわち
$$\begin{array}{r}{g}^{-1}\ast x=x(\because 群の作用の定義の(1))\end{array}$$
である。よって, $g^{-1}\in Stab(x)$である。

以上から,
$$\begin{array}{r}Stab(x):=\{g\in G\mid g\ast x=x\}\end{array}$$
は$G$の部分群である。

$x,y,z$を集合$X$の任意の元とする。$x\sim x$は, 群の作用の定義(1)$1\ast x=x$からすぐにわかる。$x\sim y$であるとき
$$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }g\in G,y=g\ast x\end{array}$$
なので
$$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }g\in G,g^{-1}\ast y=g^{-1}\ast (g\ast x)\end{array}$$
群の作用の定義の(2)より$g^{-1}\ast (g\ast x)=(g^{-1}g)\ast x$で, 当然$g^{-1}g=1_G$だから
$$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }g\in G,g^{-1}\ast y=x\end{array}$$
である。よって
$$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }h\in G,x=h\ast y\end{array}$$
なので, $y\sim x$である。$x\sim y$と$y\sim z$が成り立つとすると
$$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }g\in G,y=g\ast x,かつ\mathrm{\exists }h\in G,z=h\ast y\end{array}$$
なので
$$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }g,h\in G,z=h\ast (g\ast x)\end{array}$$
である。群の作用の定義(2)を用いると
$$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }g,h\in G,z=(h\ast g)\ast x\end{array}$$
なので
$$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }{g}^{\prime }\in G,z=g^{\prime }\ast x\end{array}$$
が成り立つ。以上から, $X$上の関係$\sim$が, 同値関係であることが示された。

まず, 右向きの矢印が成り立つのを示そう。$x\sim y$とする。このとき
$$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }g\in G,y=g\ast x\end{array}$$
だから
$$\begin{array}{r}\mathcal{O}(x)\supset \mathcal{O}(y)\end{array}$$
である。そして, $x\sim y$なら, $y\sim x$であったから
$$\begin{array}{r}\mathcal{O}(x)\subset \mathcal{O}(y)\end{array}$$
でもある。よって
$$\begin{array}{r}\mathcal{O}(x)=\mathcal{O}(y)\end{array}$$
が成り立つ。次に, 逆が成り立つことを示そう。$\mathcal{O}(x)=\mathcal{O}(y)$であるとする。$g\ast x\in \mathcal{O}(x)$
$$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }h\in G,h\ast y=g\ast x\end{array}$$
だから
$$\begin{array}{r}\mathrm{\exists }h\in G,y=(h^{-1}g)\ast x\end{array}$$
よって, $x\sim y$である。以上から
$$\begin{array}{r}x\sim y⟺\mathcal{O}(x)=\mathcal{O}(y)\end{array}$$
が成り立つ。

$$\begin{array}{rl}\sum _{x\in X}{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x)|}}& =({\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x)|}}+{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(y)|}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(z)|}})+({\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x^{\prime })|}}+{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(y^{\prime })|}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(z^{\prime })|}})+\cdots +({\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x^{\prime \prime })|}}+{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(y^{\prime \prime })|}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(z^{\prime \prime })|}})\\ & =({\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x)|}}+{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x)|}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x)|}})+({\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x^{\prime })|}}+{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x^{\prime })|}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x^{\prime })|}})+\cdots +({\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x^{\prime \prime })|}}+{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x^{\prime \prime })|}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x^{\prime \prime })|}})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x)|}}\cdot |\mathcal{O}(x)|+{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x^{\prime })|}}\cdot |\mathcal{O}(x^{\prime })|+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x^{\prime \prime })|}}\cdot |\mathcal{O}(x^{\prime \prime })|\\ & =1+1\cdots +1\\ & =|X/G|\end{array}$$

$g$を$G$の任意の元として, $Y_g\subset G\times X$を
$$\begin{array}{r}{Y}_g:=\{(g,x)\in G\times X\mid g\ast x=x\},\end{array}$$
そして, $x$を集合$X$の元として$Y(x)\subset G\times X$を
$$\begin{array}{r}Y(x):=\{(g,x)\in G\times X\mid g\in G,g\ast x=x\}\end{array}$$
と定めると, 明らかに
$$\begin{array}{r}\sum _{g\in G}|Y_g|=\sum _{x\in X}|Y(x)|\end{array}$$
である（$g,x$のどちらを固定するかの違い。受験数学の格子点の数え上げのときに用いた考え方に近い）。そして, 当然
$$\begin{array}{r}\sum _{g\in G}|Y_g|=\sum _{g\in G}|X^g|\end{array}$$
である。なぜなら, $X^g\ni x\mapsto (g,x)\in Y_g$が全単射だからである。そして
$$\begin{array}{r}\sum _{x\in G}|Y(x)|=\sum _{x\in G}|Stab(x)|\end{array}$$
である。なぜなら, $Stab(x)\ni g\mapsto (g,x)\in Y(x)$が全単射だからである。したがって
$$\begin{array}{r}\sum _{g\in G}|X^g|=\sum _{x\in G}|Stab(x)|\end{array}$$
を得る。

ラグランジュの定理から
$$\begin{array}{r}|Stab(x)|={\displaystyle \frac{|G|}{|G/Stab(x)|}}\end{array}$$
なので
$$\begin{array}{r}|G/Stab(x)|=|\mathcal{O}(x)|\end{array}$$
が成り立つことを示せばよい。そのために$f:G/Stab(x)\to \mathcal{O}(x)$
$$\begin{array}{r}f(gStab(x))=g(x)(gStab(x)\in G/Stab(x))\end{array}$$
がwell-definedでしかも全単射であることを示そう。
$$\begin{array}{rl}gStab(x)=hStab(x)& ⟺g^{-1}h\in Stab(x)\\ & ⟺(g^{-1}h)\ast x=x(\because Stab(x)の定義)\\ & ⟺g\ast x=h\ast x(\because 群の作用の定義の(2))\end{array}$$
なので, $f$は写像としてwell-definedで, 単射であることが示された。全射は自明である。なぜなら任意の$\mathcal{O}(x)$の元$g\ast x$に対し, $G/Stab(x)$の元$gStab(x)$がとれるからである。

$$\begin{array}{rl}\sum _{x\in X}|Stab(x)|& =\sum _{x\in X}{\displaystyle \frac{|G|}{|\mathcal{O}(x)|}}(\because 補題8)\\ & =|G|\sum _{x\in X}{\displaystyle \frac{1}{|\mathcal{O}(x)|}}\\ & =|G||X/G|(\because 補題5)\end{array}$$
で
$$\begin{array}{r}\sum _{g\in G}|X^g|=\sum _{x\in G}|Stab(x)|(\because 補題7)\end{array}$$
なので
$$\begin{array}{r}\sum _{x\in G}|X^g|=|G||X/G|,\end{array}$$
つまり
$$\begin{array}{r}|X/G|={\displaystyle \frac{1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^g|\end{array}$$
を得る。