2025年共通テスト数学2BC第5問解説

はじめに

こんにちは，Nayuta Itoです．今回は2025年に行われた共通テスト数学2BCの第5問（確率統計）の解説をしていきたいと思います．問題自体の難易度はそこまで高くはないですが，試験本番で焦ってしまうと結構単純ミスを起こしそうな問題です．私も1問間違えました．間違いなどがあれば指摘いただけますと幸いです．

第5問解説

問題文は他サイトを参照してください．

(1)

$ Z = \frac{X - 110}{20} $とおくと，$ Z $は標準正規分布に従い，求める確率は$ P(0 \leqq Z \leqq 1.5) $である．したがって，$ P(110 \leqq X \leqq 140) $は正規分布表の$ 1.50 $の位置にある値，すなわち$ 0.\boldsymbol{4332} $である．
平均が$ n $，成功確率が$ p $である二項分布の平均(期待値)は$ np $であるから，$ Y $の平均(期待値)は$ 200000 \cdot 0.4332 = \boldsymbol{86640}(④) $である．

共通テストあるあるですが，1ページ目の表はほとんど使いません．正規分布に従う確率変数$ X $に対して，$ \frac{X - \text{平均}}{\text{標準偏差}} $の値を$ Z $で表すことがよくあります．このとき，$ Z $は標準正規分布に従うので，正規分布表が与えられていれば$ Z $を経由することで$ X $の値の範囲と確率を相互に変換することができます．

(2)

$ W_1, W_2, \cdots, W_n $は互いに独立なので，$ \overline{W} $の分散は$ \frac{1}{n^2}(\sigma^2 + \sigma^2 + \cdots + \sigma^2) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \boldsymbol{\frac{\sigma^2}{n}} (⑥) $である．また，標準偏差は$ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $である．
実際に得られたデータの平均を$ \overline{w} $とすると，$ 95\% $信頼区間は$ \overline{w} - \frac{1.96\sigma}{\sqrt{n}} \leqq m \leqq \overline{w} + \frac{1.96\sigma}{\sqrt{n}} $であるから，$ B - A = 2 \cdot \frac{1.96\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\boldsymbol{3.92\sigma}}{\sqrt{n}}(⑤) $である．
$ \sigma = 20 $のとき，$ B - A \leqq 4 $を満たす$ n $は
\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{1.96\sigma}{\sqrt{n}} \leqq& 4 \\ \frac{2 \cdot 1.96 \cdot 20}{\sqrt{n}} \leqq& 4 \\ 2 \cdot 1.96 \cdot 20 \leqq& 4 \sqrt{n} \\ (2 \cdot 1.96 \cdot 20)^2 \leqq& 16n \\ (1 \cdot 1.96 \cdot 10)^2 \leqq& n \\ n \geqq& (20 - 0.4)^2 \end{eqnarray*}
と求められ，$ 2 $乗の展開公式を用いてこれを計算すると$ B - A \leqq 4 $を満たす最小の自然数$ n $が$ n = \boldsymbol{385} $であることがわかる．

正規分布の和は再び正規分布となり(このような性質を再生性といいます)，和の平均は平均の和，和の分散は分散の和となります．
正規分布を$ N(a, b) $と書いたとき，その平均は$ a $，標準偏差は$ \sqrt{b} $です．このようになっている理由の一つとして，多変量正規分布と整合性が取ることがあげられます．多変量では分散に相当するものが行列になるので，標準偏差より分散の方が扱いやすくなるからです．
また，信頼区間の幅はいつもの$ \times 1.96 $ではなくその$ 2 $倍となることに注意してください．
大学入試，特に共通テストが$ 78.4 \times 78.4 $なんていう計算を要求することはほとんどありません．何らかの式変形により$ 1 $桁か$ 2 $桁の掛け算に還元できる可能性が高いです．

(3)

対立仮説とは検証したい仮説のことなので，この問題での対立仮説は$ \boldsymbol{m < 110}(⓪) $である．
帰無仮説が正しいと仮定すると，(2)で求めたことから，$ \overline{W} $は$ N\left(110, \frac{20^2}{400}\right) = \boldsymbol{N(110, 1)}(⑤) $に従う．
$ Z = \frac{\overline{W} - 110}{\sqrt{1}} $とおくと，$ Z $は標準正規分布に従うから，$ P\left(\overline{W} \leqq 108.2\right) $は$ P(Z \leqq -1.8) $と等しく，これは正規分布表の$ 1.80 $の値を$ 0.5 $から引いた値である．よって，その値は$ 0.5 - 0.4641 = 0.\boldsymbol{0359} $である．この値をパーセント表示した値は有意水準$ 5\% $より小さいから，帰無仮説は棄却される(①)．したがって，有意水準$ 5\% $で今年収穫されるレモンの重さの母平均は$ 110\,\mathrm{g} $より軽いと判断できる(⓪)．