2025年共通テスト数学2BC第5問解説

はじめに

こんにちは，Nayuta Itoです．今回は2025年に行われた共通テスト数学2BCの第5問（確率統計）の解説をしていきたいと思います．問題自体の難易度はそこまで高くはないですが，試験本番で焦ってしまうと結構単純ミスを起こしそうな問題です．私も1問間違えました．間違いなどがあれば指摘いただけますと幸いです．

第5問解説

問題文は他サイトを参照してください．

(1)

$Z = \frac{X - 110}{20}$ とおくと， $Z$ は標準正規分布に従い，求める確率は $P (0 ≦ Z ≦ 1.5)$ である．したがって， $P (110 ≦ X ≦ 140)$ は正規分布表の $1.50$ の位置にある値，すなわち $0. 4332$ である．
平均が $n$ ，成功確率が $p$ である二項分布の平均(期待値)は $n p$ であるから， $Y$ の平均(期待値)は $200000 \cdot 0.4332 = 86640 (④)$ である．

共通テストあるあるですが，1ページ目の表はほとんど使いません．正規分布に従う確率変数 $X$ に対して， $\frac{X - 平均}{標準偏差}$ の値を $Z$ で表すことがよくあります．このとき， $Z$ は標準正規分布に従うので，正規分布表が与えられていれば $Z$ を経由することで $X$ の値の範囲と確率を相互に変換することができます．

(2)

$W_{1}, W_{2}, \dots, W_{n}$ は互いに独立なので， $\overset{―}{W}$ の分散は $\frac{1}{n^{2}} (σ^{2} + σ^{2} + \dots + σ^{2}) = \frac{n σ^{2}}{n^{2}} = \frac{σ^{2}}{n} (⑥)$ である．また，標準偏差は $\frac{σ}{\sqrt{n}}$ である．
実際に得られたデータの平均を $\overset{―}{w}$ とすると， $95 %$ 信頼区間は $\overset{―}{w} - \frac{1.96 σ}{\sqrt{n}} ≦ m ≦ \overset{―}{w} + \frac{1.96 σ}{\sqrt{n}}$ であるから， $B - A = 2 \cdot \frac{1.96 σ}{\sqrt{n}} = \frac{3.92 σ}{\sqrt{n}} (⑤)$ である．
$σ = 20$ のとき， $B - A ≦ 4$ を満たす $n$ は
$\begin{array}{rc} 2 \cdot \frac{1.96 σ}{\sqrt{n}} ≦ & 4 \\ \frac{2 \cdot 1.96 \cdot 20}{\sqrt{n}} ≦ & 4 \\ 2 \cdot 1.96 \cdot 20 ≦ & 4 \sqrt{n} \\ (2 \cdot 1.96 \cdot 20)^{2} ≦ & 16 n \\ (1 \cdot 1.96 \cdot 10)^{2} ≦ & n \\ n ≧ & (20 - 0.4)^{2} \end{array}$
と求められ， $2$ 乗の展開公式を用いてこれを計算すると $B - A ≦ 4$ を満たす最小の自然数 $n$ が $n = 385$ であることがわかる．

正規分布の和は再び正規分布となり(このような性質を再生性といいます)，和の平均は平均の和，和の分散は分散の和となります．
正規分布を $N (a, b)$ と書いたとき，その平均は $a$ ，標準偏差は $\sqrt{b}$ です．このようになっている理由の一つとして，多変量正規分布と整合性が取ることがあげられます．多変量では分散に相当するものが行列になるので，標準偏差より分散の方が扱いやすくなるからです．
また，信頼区間の幅はいつもの $\times 1.96$ ではなくその $2$ 倍となることに注意してください．
大学入試，特に共通テストが $78.4 \times 78.4$ なんていう計算を要求することはほとんどありません．何らかの式変形により $1$ 桁か $2$ 桁の掛け算に還元できる可能性が高いです．

(3)

対立仮説とは検証したい仮説のことなので，この問題での対立仮説は $m < 110 (⓪)$ である．
帰無仮説が正しいと仮定すると，(2)で求めたことから， $\overset{―}{W}$ は $N (110, \frac{20^{2}}{400}) = N (110, 1) (⑤)$ に従う．
$Z = \frac{\overset{―}{W} - 110}{\sqrt{1}}$ とおくと， $Z$ は標準正規分布に従うから， $P (\overset{―}{W} ≦ 108.2)$ は $P (Z ≦ - 1.8)$ と等しく，これは正規分布表の $1.80$ の値を $0.5$ から引いた値である．よって，その値は $0.5 - 0.4641 = 0. 0359$ である．この値をパーセント表示した値は有意水準 $5 %$ より小さいから，帰無仮説は棄却される(①)．したがって，有意水準 $5 %$ で今年収穫されるレモンの重さの母平均は $110 g$ より軽いと判断できる(⓪)．