ネイピア数が$e<3$を満たすことの簡潔な証明を高校範囲(マクローリン展開等を使わない)で考えて見ました.
$e<3$
$f(x)=2.985984^{x}=1.2^{6x}$とおく。
$f$"$(x)>0$より$f$'$(x)$は単調増加し、
$a=-1/6$とおくと$a<0$だから
$log3$$>$
$log(1.2^6)=
f'(0)>\frac{f(0)-f(a)}{0-a}
=\frac{1-\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}}=1$
よって$e<3$である。
綺麗に数字が噛み合ってますね.
見てくださった方ありがとうございます.