関数方程式を解く#0【用語解説】

はじめに

こんにちは、Pirozhqiです。
今回は拙作「 関数方程式を解く 」シリーズをよりわかりやすく読むために、関数方程式に使われる用語を紹介していこうと思います。
これからも新たな用語を発見次第更新していく予定です！

基礎用語

問題文などで用いられる用語を説明します．

関数

集合の全ての値に対して別の集合の値を返す関係付けのこと．
集合$A,B$をそれぞれ$$A=\lbrace1,2,3\rbrace,B=\lbrace1,2,3,4,5\rbrace$$
とすると，「関数 $f:A\to B$」は例えば
$$f(1)=3,f(2)=3,f(3)=4$$
のようなものを表します．返される値は$A$内のそれぞれの値に対して独立に決まることに留意してください．（「$f(1)=2$」だからといって「$f(x)=x+1$」が全ての$x$で成り立つなどと決めることはできません！）

定義域

上の例での集合$A$のこと．

変域

上の例での集合$B$のこと．

値域

関数が実際にとる値の範囲のこと．
「変域」は関数が返す可能性がある範囲全体を指すという点で明確に区別されることに留意してください．

$\mathbb{R}$

実数全体の集合のこと．

$\mathbb{Q}$

有理数全体の集合のこと．

$\mathbb{Z}$

整数全体の集合のこと．

$\in$

「ある要素が集合の元である」という意味の記号．
「$a\in B$」で「$a$が$B$の元である」ことを表す．

$\forall$

「任意の」という意味の記号．
「$\forall x\in\mathbb{R}$」で「任意の実数$x$」を表す．

$\exists$

「ある」という意味の記号．
「$\exists y\in\mathbb{R}$」で「ある実数$y$が存在する」ことを表す．

また，集合の記号には，その右下に付加情報を付けることでさらに限られた集合を指すことができます．例えば$\mathbb{R}_{\geq0}$で非負実数全体の集合を表します．

発展用語

解法の説明などで用いられる単語を説明します．

単射

「関数$f:A\to B$が単射である」とは，$$\forall s,t\in A，f(s)=f(t)\Rightarrow s=t$$
であることを表します．つまり「関数がある値を返すような値が高々一つのみ存在する」ことを表します．

全射

「関数$f:A\to B$が全射である」とは，
$$\forall t\in B，\exists s\in A，f(s)=t$$
であることを表します．つまり，$f(x)$が任意の変域内の値をとれることを表します．

単調増加

「関数$f:A\to B$が単調である」とは，
$$\forall s,t\in A，f(s)\geq f(t)\leftrightarrow s\geq t$$
であることを表します．つまり，$f$に与えられる値が大きくなるほど$f$が返す値も大きくなるということです．特に等号がつかないものを「狭義単調増加」，つくものを「広義単調増加」と呼びます．

単調減少

上と同様．