二項係数の３乗和の別の表現

はじめまして。

$\sum_{k =0}^{n}{}_n \mathrm{ C }_k^3$

はFranel Numberと呼ばれていますが、Σを含まない簡潔な表記は見つかっていないようです。今回この有限和の新たな表現を考えました。

天下りな発想

大学への数学（２０２３年の多分６月号）の今月の宿題は、二項係数入り恒等式を証明させる問題でしたが、この問題を私は確率的解釈をすることで証明しました。
　そこで、このアイデアをFranel Numberに用いましょう!

確率の問題設定

明らかに$p_n＝\sum_{i=0}^{n}{}_n \mathrm{ C }_k^3/2^{3n})$と表せますね。$p_n$に関する式をほかにも導きたいです。そこで次の変数を用意します。

　コインA,B,Cの表が出た回数をそれぞれ$a_n,b_n,c_n$とおき、$X_n=\frac{1}{2}({\left| a_n-b_n \right|+\left| b_n-c_n \right|+\left| c_n-a_n \right|)}$と定義します。このとき、$P(X_n=0)=p_n$です。$X_n$が$0$以上$n$以下の整数値をとることは、三角不等式や$0\leq a_n,b_n,c_n\leq n$より分かります。
　$P(X_n=k)$を考えます。
　$X_n=max(a_n,b_n,c_n)-min(a_n,b_n,c_n)=k$なので、$(max(a_n,b_n,c_n),min(a_n,b_n,c_n))=(n-i,n-k-i)$（ただし$0\leq i\leq n-k$）です。$i$のときの確率を$Y_k,_i$とします。$Y_k,_i$は「３枚のコインを$n$回投げて、最大値が$n-i$、最小値が$n-k-i$である確率」ですから、
　　　$Y_k,_i=(6\sum_{j=n-k-i+1}^{n-i-1}{}{ n \choose n-i }{ n \choose n-k-i }{ n \choose j }+3{ n \choose n-i }{ n \choose n-k-i }({ n \choose n-k-i }+{ n \choose n-i })/2^{3n}$
　　　（第一項は３枚のコインの表が出た回数がすべて違うとき、第二項はそうでないときです）

　したがって、$\sum_{k=0}^{n} P(X_n=k)=1$なので、
　$P(X_n=0)=1-\sum_{k=1}^{n} P(X_n=k)=1-\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=0}^{n-k}Y_k,_i $
よって、
$\sum_{k=0}^{n}{}_n \mathrm{ C }_k^3=2^{3n}-\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=0}^{n-k}(6\sum_{j=n-k-i+1}^{n-i-1}{}{ n \choose n-i }{ n \choose n-k-i }{ n \choose j }+3{ n \choose n-i }{ n \choose n-k-i }({ n \choose n-k-i }+{ n \choose n-i }) \square$

結論

　という訳で、Franel Numberは$2^{3n}-\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=0}^{n-k}(6\sum_{j=n-k-i+1}^{n-i-1}{}{ n \choose n-i }{ n \choose n-k-i }{ n \choose j }+3{ n \choose n-i }{ n \choose n-k-i }({ n \choose n-k-i }+{ n \choose n-i })$と表されます！

………Σが３重ですね。。。

感想

　今回初めてMathlogの記事を書きました。間違い等あれば指摘おねがいします。今回用いた確率解釈はほかにも応用できそう。